Mία σχετικά απλή λύση που έχω να προτείνω, είναι η εξής:
Ζητάμε ρίζα (μοναδική) της εξίσωσης

στο διάστημα

.
Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της

, η οποία είναι η

, που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο

.
Για

είναι

, οπότε στο

, άρα και στο ζητούμενο διάστημα, είναι

, λόγω της μονοτονίας.
Ισχύει

. Τα

είναι θετικοί αριθμοί, οπότε με απλές πράξεις διάταξης προκύπτει ότι

ή αλλιώς

.
Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση

, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα
![\left [ 1,3 \right ] \left [ 1,3 \right ]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/41e90f251b40e00b757355c1b0d77c11.png)
που μας ενδιαφέρει και επιπλέον

, όπως προκύπτει από τα παραπάνω. Η

, δηλαδή, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα
![\left [ 1,3 \right ] \left [ 1,3 \right ]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/41e90f251b40e00b757355c1b0d77c11.png)
. Έτσι, για τον αριθμό

που, σύμφωνα με την

, βρίσκεται μεταξύ των

και

, υπάρχει τουλάχιστον ένας

τέτοιος, ώστε

ή
Για να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική, θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης

. Είναι

στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα, άρα και

, οπότε η εξίσωση

, που είναι η

, έχει μόνο μία ρίζα, την

και αυτή βρίσκεται στο διάστημα

.