ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Απάντηση
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5589
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Ιαν 26, 2017 9:19 pm

Μια καλή επαναληπτική άσκηση με βάση ένα ερώτημα του σχολικού είναι η παρακάτω :

ΘΕΜΑ

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x{{e}^{1\,-\,x}} .

Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Β. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της fκαι να κάνετε τη γραφική παράσταση της f .

Ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη {{C}_{f}} , τον άξονα x'x και την ευθεία x=3 .

Μπ

Στο συνημμένο αρχείο υπάρχει και η λύση από τη συνάδελφο Φωτεινή Καλδή, την οποία και ευχαριστώ !!!
Συνημμένα
Θέμα με βάση το σχολικό.pdf
(117.68 KiB) Μεταφορτώθηκε 208 φορές


Λέξεις Κλειδιά:
σχολικο
θεμα
γενικο
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5555
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 27, 2017 12:59 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια καλή επαναληπτική άσκηση με βάση ένα ερώτημα του σχολικού είναι η παρακάτω :

ΘΕΜΑ

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x{{e}^{1\,-\,x}} .

Α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Β. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .

Δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της fκαι να κάνετε τη γραφική παράσταση της f .

Ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη {{C}_{f}} , τον άξονα x'x και την ευθεία x=3 .
Δεν έχω δει τη λύση της Φωτεινής αλλά μιας και την έπιασα το αναρτώ. Φωτεινή και Μπάμπη συμπαθάτε με.

(α) - (β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με πρώτη παράγωγο την f'(x)=e^{1-x}(1-x) , \; x \in \mathbb{R} και δεύτερη παράγωγο την f''(x)=e^{1-x}(x-2) , \;x \in \mathbb{R}. Η μονοτονία και κοιλότητα φαίνονται στον επόμενο πίνακα:
monotony.png
monotony.png (28.44 KiB) Προβλήθηκε 1000 φορές
Έχουμε ακρότατο στο x=1 όπου η f εκεί παρουσιάζει ολικό μέγιστο με f(1)=1 ενώ σημείο καμπής στο x=2 και μάλιστα f(2)=2e^{-1}.

(γ) - (δ) Η f έχει μόνο οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα x'x στο +\infty αφού δε μπορεί να παρουσιάζει κατακόρυφες ασύμπτωτες εφόσον είναι συνεχής στο \mathbb{R} και όπως εύκολα διαπιστώνουμε δεν υπάρχει ασύμπτωτη στο -\infty. Το σύνολο τιμών αυτής είναι το (-\infty, 1] αφού το σύνολο τιμών στα επιμέρους διαστήματα μονοτονίας είναι το (-\infty, 1] και (0, 1]. Παίρνοντας την ένωση βγάζουμε το ζητούμενο.

Σύμφωνα με τα παραπάνω η γραφική παράσταση της f είναι η παρακάτω:
graph.jpg
graph.jpg (6.53 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές
(ε) Παρατηρούμε ότι f(0)=0. Επίσης στο διάστημα [0, 3] η f είναι τετριμμένα θετική. Οπότε το εμβαδόν είναι ίσο με:
\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{0}^{3} f(x) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{3} x e^{1-x} \, {\rm d}x\\ &= \left [ -x e^{1-x} \right ]_0^3 + \int_{0}^{3} e^{1-x} \, {\rm d}x\\ &= -3 e^{-2} -\left [ e^{1-x} \right ]_0^3 \\ &=e - \frac{4}{e^2} \end{aligned} Μπάμπη, ποιο ερώτημα του σχολικού είναι;

Κώδικας: Επιλογή όλων

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color, colorT = red!30, colorC = yellow!20,colorL = cyan!80, colorV = lightgray!20, espcl=2]{x /1 , f'' /1, f' /1 , f /2 }
{-\infty , 1, 2, +\infty}
\tkzTabLine {,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{,+,z,-,t,- }
\makeatother
\begin{scope}[>->,line width=1pt,>=stealth]
\draw (2.9,-4.5) to [bend left=30] (4.4,-3.5);

\draw (4.5, -3.5) to [bend left=10] (6.4, -3.7);
\draw (6.6 , -3.7) to [bend right=10] (8.7, -4);
\end{scope}
\end{tikzpicture}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14833
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 27, 2017 10:06 am

[quote="Tolaso J Kos"]
Μπάμπη, ποιο ερώτημα του σχολικού είναι;

Γεια σου Τόλη!

Είναι η άσκηση 2i) της A' Ομάδας στο κεφάλαιο της κυρτότητας (στο δικό μου βιβλίο είναι στη σελίδα 277.)


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5555
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: ΘΕΜΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 27, 2017 2:12 pm

george visvikis έγραψε: Γεια σου Τόλη!

Είναι η άσκηση 2i) της A' Ομάδας στο κεφάλαιο της κυρτότητας (στο δικό μου βιβλίο είναι στη σελίδα 277.)
Γιώργο, ευχαριστώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης