Από κυρτή σε κυρτή

#1

Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0 \\ \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\displaystyle R$ συνάρτηση $\displaystyle f$ και έστω ότι η ευθεία $\displaystyle (\varepsilon )$ με εξίσωση $\displaystyle y=ax+b$
εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle A(c,f(c))$ .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c \\ \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c \\ \end{matrix} \right.$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Αν επιπλέον η $\displaystyle f$ είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ με $\displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0$ , τότε η $\displaystyle g$ είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Υ.Γ. : (1/11, 10:36) Διόρθωσα την εκφώνηση με βάση τα σχόλια των συναδέλφων παρακάτω. Τους ευχαριστώ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

exdx έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0 \\ \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ συνάρτηση $\displaystyle f$ και έστω ότι η ευθεία $\displaystyle (\varepsilon )$ με εξίσωση $\displaystyle y=ax+b$
εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle A(c,f(c))$ .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c \\ \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c \\ \end{matrix} \right.$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Αν επιπλέον η $\displaystyle f$ είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\displaystyle R$ με $\displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0$ , τότε η $\displaystyle g$ είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Υ.Γ. : Ενδεχομένως το τελευταίο ερώτημα να μπορεί να απαντηθεί μόνο με την απαίτηση η $\displaystyle f$ να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Καλό βράδυ κ.Καλαθάκη. Στο Β, και όσον αφορά την

, νομίζω ότι πρέπει να μπουν κάποιοι περιορισμοί για την

π.χ. κυρτή .

Γράφω μια λύση για το Βα) με τη προυπόθεση ότι

κυρτή. Ισχύει το γενικό αποτέλεσμα

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-{f}'(x_0)(x-x_0)-\frac{{f}''(x_0)}{2}(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}=0$

από το οποίο παίρνουμε αμέσως $\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-{f}'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}= \frac{{f}''(x_0)}{2}$

Το παραπάνω προκύπτει από μια εφαρμογή του DLH. Έτσι λοιπόν έχουμε

$\lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}= \lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{x-c} =\lim_{x\rightarrow c^{+}}\sqrt{\frac{f(x)-ax-b}{(x-c)^2}}=\sqrt{\frac{{f}''(c)}{2}}$

και

$\lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}= \lim_{x\rightarrow c^{-}}-\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{x-c} = lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{c-x} = \lim_{x\rightarrow c^{-}}\sqrt{\frac{f(x)-ax-b}{(x-c)^2}}$

$=\sqrt{\frac{{f}''(c)}{2}}$ .

Άρα

παραγωγίσιμη στο

και κατά τα γνωστά παραγωγίσιμη και σε όλα τα υπόλοιπα σημεία.

Edit: Μια εφαρμογή του DLH όχι δύο. Ευχαριστώ τον κ.Καλαθάκη για την παρατήρηση.

#3

exdx έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0 \\ \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

...μια αντιμετώπιση στο ενδιαφέρον θέμα του Γιώργη...όπως πάντα...

α. Είναι προφανώς η

παραγωγίσιμη για $x\ne 0$ με ${f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} -\frac{{{e}^{x}}-1}{2\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}},x<0 \\ \frac{{{e}^{x}}-1}{2\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}},x>0 \\ \end{matrix} \right.$ ή

${f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},x<0 \\ \frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},x>0 \\ \end{matrix} \right.$ επομένως

${f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},\,\,\,x\ne 0$ και στο x=0

έχουμε

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{-x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{|x|}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}}$ και επειδή

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2}$ άρα

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ και $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{|x|}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}}$ και επειδή

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2}$ άρα $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ επομένως παραγωγίσιμη και στο x=0

με ${f}'(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

β. Τώρα η ${f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},\,\,\,x\ne 0$ είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και από

$2f(x){f}'(x)={{e}^{x}}-1,\,\,\,x\ne 0$ παραγωγίζοντας έχουμε ότι $2{f}'(x){f}'(x)+2f(x){f}''(x)={{e}^{x}}\Leftrightarrow 2f(x){f}''(x)={{e}^{x}}-2{{({f}'(x))}^{2}}=$

$={{e}^{x}}-\frac{{{({{e}^{x}}-1)}^{2}}}{2{{f}^{2}}(x)}=\frac{2{{e}^{x}}{{f}^{2}}(x)-{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}=\frac{2{{e}^{x}}({{e}^{x}}-x-1)-{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}=$

$=\frac{{{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}$ και τελικά ${f}''(x)=\frac{{{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1}{4{{f}^{3}}(x)},\,\,x\ne 0$

Τώρα για την συνάρτηση $g(x)={{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1,\,\,x\in R$ είναι g(0)=0

και

${g}'(x)=2{{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}=2{{e}^{x}}({{e}^{x}}-1-x)>0,\,\,x\ne 0$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο

επομένως για

$x<0\Rightarrow g(x)<0$ και για $x>0\Rightarrow g(x)>0$ έτσι η ${f}''(x)=\frac{g(x)}{4{{f}^{3}}(x)},\,\,x\ne 0$

είναι για x<0

αφού και

είναι

και για

αφού και

είναι

Επιπλέον επειδή $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}}{\frac{f(x)}{x}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{f}'(0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}={f}'(0)$ η {f}'

είναι συνεχής και επειδή {f}''(x)>0

για $x\ne 0$ είναι γνήσια αύξουσα οπότε σύμφωνα με τον ορισμό κυρτή στο

....τώρα

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

exdx έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0 \\ \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ συνάρτηση $\displaystyle f$ και έστω ότι η ευθεία $\displaystyle (\varepsilon )$ με εξίσωση $\displaystyle y=ax+b$
εφάπτεται της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle A(c,f(c))$ .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c \\ \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c \\ \end{matrix} \right.$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$ .
β) Αν επιπλέον η $\displaystyle f$ είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\displaystyle R$ με $\displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0$ , τότε η $\displaystyle g$ είναι κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Υ.Γ. : Ενδεχομένως το τελευταίο ερώτημα να μπορεί να απαντηθεί μόνο με την απαίτηση η $\displaystyle f$ να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο $\displaystyle R$ .

Παρατηρήσεις.

Το Βα) χωρίς την υπόθεση ότι η συνάρτηση είναι κυρτή είναι χωρίς νόημα.

Αν $f(x)=1-x^{2}$ και c=0

τότε η

δεν ορίζεται στο $\displaystyle R$ .

Στο Ββ) η υπόθεση $\displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0$

είναι απαραίτητη.

Για την $f(x)=e^{-x}$ δεν ισχύει.

Από κυρτή σε κυρτή

Από κυρτή σε κυρτή

Re: Από κυρτή σε κυρτή

Re: Από κυρτή σε κυρτή

Re: Από κυρτή σε κυρτή

Μέλη σε σύνδεση