Από κυρτή σε κυρτή

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Από κυρτή σε κυρτή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm

Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle R συνάρτηση \displaystyle f και έστω ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) με εξίσωση \displaystyle y=ax+b
εφάπτεται της \displaystyle {{C}_{f}} στο σημείο \displaystyle A(c,f(c)) .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο \displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c  \\ 
   \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c  \\ 
\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R .
β) Αν επιπλέον η \displaystyle f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle R με \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0 , τότε η \displaystyle g είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Υ.Γ. : (1/11, 10:36) Διόρθωσα την εκφώνηση με βάση τα σχόλια των συναδέλφων παρακάτω. Τους ευχαριστώ .
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Πέμ Νοέμ 01, 2018 10:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από κυρτή σε κυρτή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Οκτ 31, 2018 11:51 pm

exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle R συνάρτηση \displaystyle f και έστω ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) με εξίσωση \displaystyle y=ax+b
εφάπτεται της \displaystyle {{C}_{f}} στο σημείο \displaystyle A(c,f(c)) .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο \displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c  \\ 
   \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c  \\ 
\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R .
β) Αν επιπλέον η \displaystyle f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle R με \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0 , τότε η \displaystyle g είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Υ.Γ. : Ενδεχομένως το τελευταίο ερώτημα να μπορεί να απαντηθεί μόνο με την απαίτηση η \displaystyle f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο \displaystyle R .
Καλό βράδυ κ.Καλαθάκη. Στο Β, και όσον αφορά την g, νομίζω ότι πρέπει να μπουν κάποιοι περιορισμοί για την f π.χ. κυρτή .

Γράφω μια λύση για το Βα) με τη προυπόθεση ότι f κυρτή. Ισχύει το γενικό αποτέλεσμα

\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-{f}'(x_0)(x-x_0)-\frac{{f}''(x_0)}{2}(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2}=0

από το οποίο παίρνουμε αμέσως \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-{f}'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}= \frac{{f}''(x_0)}{2}

Το παραπάνω προκύπτει από μια εφαρμογή του DLH. Έτσι λοιπόν έχουμε

\lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}= \lim_{x\rightarrow c^{+}}\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{x-c} =\lim_{x\rightarrow c^{+}}\sqrt{\frac{f(x)-ax-b}{(x-c)^2}}=\sqrt{\frac{{f}''(c)}{2}}

και

\lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}= \lim_{x\rightarrow c^{-}}-\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{x-c} = lim_{x\rightarrow c^{-}}\frac{\sqrt{f(x)-ax-b}}{c-x} = \lim_{x\rightarrow c^{-}}\sqrt{\frac{f(x)-ax-b}{(x-c)^2}}

=\sqrt{\frac{{f}''(c)}{2}}.

Άρα g παραγωγίσιμη στο c και κατά τα γνωστά παραγωγίσιμη και σε όλα τα υπόλοιπα σημεία.

Edit: Μια εφαρμογή του DLH όχι δύο. Ευχαριστώ τον κ.Καλαθάκη για την παρατήρηση.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Πέμ Νοέμ 01, 2018 11:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Από κυρτή σε κυρτή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Νοέμ 01, 2018 1:58 am

exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

...μια αντιμετώπιση στο ενδιαφέρον θέμα του Γιώργη...όπως πάντα...

α. Είναι προφανώς η f παραγωγίσιμη για x\ne 0 με {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\frac{{{e}^{x}}-1}{2\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}},x<0  \\ 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{2\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}},x>0  \\ 
\end{matrix} \right. ή

{f}'(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},x<0  \\ 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},x>0  \\ 
\end{matrix} \right. επομένως

{f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},\,\,\,x\ne 0 και στο x=0 έχουμε

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{-x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{|x|}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}} και επειδή

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2} άρα

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} και \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}}{|x|}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}} και επειδή

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2} άρα \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} επομένως παραγωγίσιμη και στο x=0 με {f}'(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}

β. Τώρα η {f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)},\,\,\,x\ne 0 είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και από

2f(x){f}'(x)={{e}^{x}}-1,\,\,\,x\ne 0 παραγωγίζοντας έχουμε ότι 2{f}'(x){f}'(x)+2f(x){f}''(x)={{e}^{x}}\Leftrightarrow 2f(x){f}''(x)={{e}^{x}}-2{{({f}'(x))}^{2}}=

={{e}^{x}}-\frac{{{({{e}^{x}}-1)}^{2}}}{2{{f}^{2}}(x)}=\frac{2{{e}^{x}}{{f}^{2}}(x)-{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}=\frac{2{{e}^{x}}({{e}^{x}}-x-1)-{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)}=

=\frac{{{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1}{2{{f}^{2}}(x)} και τελικά {f}''(x)=\frac{{{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1}{4{{f}^{3}}(x)},\,\,x\ne 0

Τώρα για την συνάρτηση g(x)={{e}^{2x}}-2x{{e}^{x}}-1,\,\,x\in R είναι g(0)=0 και

{g}'(x)=2{{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}=2{{e}^{x}}({{e}^{x}}-1-x)>0,\,\,x\ne 0 άρα η g είναι γνήσια αύξουσα στο R επομένως για

x<0\Rightarrow g(x)<0 και για x>0\Rightarrow g(x)>0 έτσι η {f}''(x)=\frac{g(x)}{4{{f}^{3}}(x)},\,\,x\ne 0

είναι για x<0 αφού και f(x)<0 είναι {f}''(x)>0 και για x>0 αφού και f(x)>0 είναι {f}''(x)>0

Επιπλέον επειδή \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2f(x)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}}{\frac{f(x)}{x}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{f}'(0)}=\frac{\sqrt{2}}{2}={f}'(0)η {f}'

είναι συνεχής και επειδή {f}''(x)>0 για x\ne 0 είναι γνήσια αύξουσα οπότε σύμφωνα με τον ορισμό κυρτή στο R

....τώρα :sleeping: :sleeping: :sleeping:

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από κυρτή σε κυρτή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 01, 2018 9:15 am

exdx έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 1:23 pm
Α. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,,\,\,\,\,x\le 0  \\ 
   \,\,\,\,\,\sqrt{{{e}^{x}}-x-1}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x>0  \\ 
\end{matrix} \right.
α) Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R.
β) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Β. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle R συνάρτηση \displaystyle f και έστω ότι η ευθεία \displaystyle (\varepsilon ) με εξίσωση \displaystyle y=ax+b
εφάπτεται της \displaystyle {{C}_{f}} στο σημείο \displaystyle A(c,f(c)) .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο \displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   -\sqrt{f(x)-ax-b},\,\,x\le c  \\ 
   \sqrt{f(x)-ax-b},\,\,\,\,x>c  \\ 
\end{matrix} \right. είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R .
β) Αν επιπλέον η \displaystyle f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \displaystyle R με \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0 , τότε η \displaystyle g είναι κυρτή στο \displaystyle R.

Υ.Γ. : Ενδεχομένως το τελευταίο ερώτημα να μπορεί να απαντηθεί μόνο με την απαίτηση η \displaystyle f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
και κυρτή στο \displaystyle R .
Παρατηρήσεις.

Το Βα) χωρίς την υπόθεση ότι η συνάρτηση είναι κυρτή είναι χωρίς νόημα.

Αν f(x)=1-x^{2} και c=0 τότε η g δεν ορίζεται στο \displaystyle R .

Στο Ββ) η υπόθεση \displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0

είναι απαραίτητη.

Για την f(x)=e^{-x} δεν ισχύει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης