Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

saranick · #1

Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , με
με $f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ , για κάθε $x \in R$ .
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι $f(x)=e^x-1, x\in R.$ .

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.

#2

saranick έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , με
με $f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ , για κάθε $x \in R$ .
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι $f(x)=e^x-1, x\in R.$ .

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.

Θέτω $\displaystyle \int_0^1 {{e^{1 - x}}f(x)dx = a \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x) = {e^x}} - a$ και

$\displaystyle a = \int_0^1 {{e^{1 - x}}} ({e^x} - a)dx = \left[ {ex + a{e^{1 - x}}} \right]_0^1 = e + a - ae \Leftrightarrow$ $\boxed{a=1} ,$ απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

#3

saranick έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.

Εννοείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ως $\displaystyle f(x) = {e^x} - \int_0^1 {{e^{1 - t}}} f(t)dt$ ;

saranick · #4

Αυτό πιστεύω και εγώ.
Νομίζω οτι δεν στέκει αλλιώς η ασκηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 2:23 pm

saranick έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Εννοείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ως $\displaystyle f(x) = {e^x} - \int_0^1 {{e^{1 - t}}} f(t)dt$ ;

Όχι. Μια χαρά είναι διατυπωμένη η άσκηση.
Τουλάχιστον για κανονικά Μαθηματικά.

nikkru · #6

saranick έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , με
με $f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ , για κάθε $x \in R$ .
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι $f(x)=e^x-1, x\in R.$ .

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.

Η μεταβλητή ολοκλήρωσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος,

οπότε είτε γράψουμε $\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx$ είτε γράψουμε $\int_{0}^{1}e^{1-t}f(t)dt$ είναι το ίδιο πράγμα.

Εξάλλου στη συγκεκριμένη άσκηση δεν μπερδεύονται η μεταβλητή της f (στο αριστερό μέλος της ισότητας) με την μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Η λύση της άσκησης είναι βέβαια αυτή που δίνει ο Γιώργος παραπάνω.

saranick · #7

Πράγματι η μεταβλητή στο ολοκληρωμα είναι ναι μεν ελεύθερη, αλλά δεν εξαρτάται από την δική μας επιλογή. Πόσο φανερό είναι όμως στα μάτια των μαθητών; Είναι κάτι που πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι θα το καταλάβουν οι μαθητές;

saranick · #8

Δηλαδή αν αυτό το θέμα έμπαινε σε πανελλήνιες εξετάσεις θα θεωρούσαμε ότι είναι σωστά διατυπωμένο;

#9

saranick έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 5:49 pm
Πράγματι η μεταβλητή στο ολοκληρωμα είναι ναι μεν ελεύθερη, αλλά δεν εξαρτάται από την δική μας επιλογή. Πόσο φανερό είναι όμως στα μάτια των μαθητών; Είναι κάτι που πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι θα το καταλάβουν οι μαθητές;

Γιατί να μην το καταλάβουν οι μαθητές; Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο:

Στην έκφραση $\displaystyle \int_\alpha ^\beta {f(x)dx}$ το γράμμα

είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έτσι, για

παράδειγμα, οι εκφράσεις $\displaystyle \int_\alpha ^\beta {f(x)dx},$ $\displaystyle \int_\alpha ^\beta {f(t)dt}$ συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός.

#10

Η συζήτηση έχει ξαναγίνει , όμως δεν τη βρίσκω .
Το συμπέρασμα , με το οποίο συμφωνώ , ήταν όπως η δημοσίευση του Γιώργου ακριβώς πάνω .

saranick · #11

Ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας.
Πιστεύω ομως οτι Παρόλο που το σχολικό βιβλίο αναφέρει καθαρά τη δυνατότητα αλλαγής της μεταβλητής, οι περισσότεροι μαθητές δεν θα μπορούσαν να διακρίνουν την τοπικότητα της μεταβλητής χ.

Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Μέλη σε σύνδεση