Η μικρότερη περίμετρος

#1

Από όλα τα τρίγωνα ABC

με μήκη πλευρών θετικούς ακέραιους και για τα οποία ισχύει

$\widehat A=2\widehat B$ και $\widehat C>90^\circ,$ να βρείτε εκείνο που έχει την μικρότερη περίμετρο.

Η πηγή μετά τις λύσεις.

Henri van Aubel · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 20, 2023 11:29 am
Από όλα τα τρίγωνα με μήκη πλευρών θετικούς ακέραιους και για τα οποία ισχύει

$\widehat A=2\widehat B$ και $\widehat C>90^\circ,$ να βρείτε εκείνο που έχει την μικρότερη περίμετρο.

Η πηγή μετά τις λύσεις.

Edit. Θα γράψω μετά τη λύση.

#3

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 21, 2023 7:46 am

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 20, 2023 11:29 am
Από όλα τα τρίγωνα με μήκη πλευρών θετικούς ακέραιους και για τα οποία ισχύει

$\widehat A=2\widehat B$ και $\widehat C>90^\circ,$ να βρείτε εκείνο που έχει την μικρότερη περίμετρο.

Η πηγή μετά τις λύσεις.
Έστω $\widehat{A}=2\theta$ και $\widehat{B}=\theta$ οπότε $\widehat{C}=180^\circ-3\theta > 90^\circ\Longleftrightarrow \theta < 30^\circ$

Επιπλέον , έχουμε $\displaystyle\frac{a}{\sin 2\theta }=\frac{b}{\sin \theta }=\frac{c}{\sin 3\theta }=\frac{a+b+c}{\sin 2\theta +\sin \theta +\sin 3\theta }\left ( \bigstar \right )$

Θα πρέπει $a\in \mathbb{N}^{\ast }$ και επιπλέον είναι $\displaystyle b=\frac{a}{2\cos \theta }\in \mathbb{N}^{\ast }$ και $\displaystyle c=\frac{a\sin 3\theta }{\sin 2\theta }=\frac{a(3-4\sin ^{2}\theta) }{2\cos \theta }=\frac{a(4\cos ^{2}\theta -1)}{2\cos \theta }\in \mathbb{N}^{\ast }$

Επιπλέον φανερά δοκιμάζω για είναι $a=2\cos \theta$ και $\displaystyle c=\frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }=4\cos ^{2}\theta -1$

Συνεπώς, το ελάχιστο επιτυγχάνεται (περίμετρος) όταν στην θέση ελαχίστου έχουμε $c=4\cos ^{^{2}}\theta -1=4\cdot \left ( \frac{3}{2} \right )^{2}-1=8$

Η περίμετρος είναι

Σημείωση: Το $\cos \theta$ δέχεται τιμή $\displaystyle\frac{3}{2}> \cos 30^\circ$ αφού $\displaystyle\theta \in \left ( 0,\frac{\pi }{6} \right )$

Καλημέρα Κώστα

Προφανώς και το συνημιτονο δεν μπορεί να πάρει τιμή 3/2 >1

Henri van Aubel · #4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Να πω δυο λόγια για τον φάκελο. Η άσκηση προφανώς δεν είναι για Θαλή Ευκλείδη. Από την άλλη δεν είναι

ούτε καθαρή Γεωμετρία, ούτε καθαρή θεωρία αριθμών. Η άσκηση λοιπόν τοποθετήθηκε εκεί ελλείψει φακέλου

Γενικά-Αρχιμήδη, εκεί όπου ήθελα να την κατατάξω.

#6

Έχουμε

$\displaystyle \frac{b}{\sin{B}} = \frac{a}{\sin{A}} = \frac{a}{\sin(2B)} = \frac{a}{2\sin{B}\cos{B}} \implies \cos{B} = \frac{a}{2b}$

Επίσης

$\displaystyle \cos{B} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

άρα

$\displaystyle a^2c = a^2b + c^2b - b^3 \implies a^2(c-b) = b(c-b)(c+b)$

Όμως $c \neq b$ διότι διαφορετικά θα είχαμε $C = B < 90^{\circ}$ . Άρα a^2 = b(c+b)

.

Αν $d = \gcd(a,b,c) > 1$ τότε το τρίγωνο με πλευρές a/d,b/d,c/d

είναι όμοιο με το τρίγωνο ABC

, με ακέραια μήκη πλευρών, και με μικρότερη περίμετρο, άτοπο. Άρα d = 1

.

Πρέπει το

να είναι τέλειο τετράγωνο. Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει

πρώτος ώστε $p^{2m+1}|b$ αλλά $p^{2m+2} \nmid p$ . Τότε $p^{m+1}|a$ , άρα p|c+b

και

. Αλλά τότε $\gcd(a,b,c) = p > 1$ , άτοπο.

Ας γράψουμε b = m^2

. Τότε

για κάποιο φυσικό

και

. Πρέπει

άρα

ή ισοδύναμα n < 2m

. Άρα $n \leqslant 2m-1$ . Επίσης, επειδή $C > 90^{\circ}$ πρέπει

$\displaystyle c^2 > a^2+b^2 \implies n^4 + m^4 - 2m^2n^2 > m^4 + m^2n^2 \implies n^2 > 3m^2$

Αν m=1

τότε $3 < n^2 \leqslant 1$ , απορρίπτεται.
Αν m=2

τότε $12 < n^2 \leqslant 9$ , απορρίπτεται.
Αν m=3

τότε $27 < n^2 \leqslant 25$ , απορρίπτεται.
Αν m=4

τότε $48 < n^2 \leqslant 49$ , που δίνει n=7

. Τότε

που δίνει περίμετρο

. (Αυτό επιτρέπεται. Τα μήκη είναι όντως πλευρών τριγώνου. Η ανισότητα n^2 > 3m^2

δίνει

και $C > 90^{\circ}$ . Τέλος έχουμε $\cos{B} = (28^2+33^2-16^2)/(2 \cdot 28 \cdot 33) = 7/8$ . Επίσης $28/\sin{A} = 16/\sin{B} = 14/\sin{B}\cos{B} = 28/\sin{2B}$ που δίνει A=2B

. (Το $A = 180^{\circ}-2B$ απορρίπτεται επειδή $A+2B < A+B+C = 180^{\circ}$ .)

Αυτή είναι και η μικρότερη περίμετρος αφού για $m \geqslant 5$ έχουμε n^2 > 75

και τότε

.

Henri van Aubel · #7

Κι εγώ το βρήκα τελικά χθες 77, αφού την κοίταξα και την αντιμετώπισα ως θεωρία αριθμών στην ουσία. Η λύση όμως του Δημήτρη νομίζω μαντεύει ότι m=4 κατά τύχη που δίνει τρίγωνο πλευρών 16,28,33 (ικανοποιείται η τριγωνική ανισότητα ) και μετά απαντάει . Δηλαδή αν έβγαινε π.χ m=100 θα έπαιρνε 100 περιπτώσεις ;;

#8

Δεν είναι εντελώς τυχαίο. Οι ανισότητες μπήκαν για να είναι όντως πλευρές αμβλυγωνίου τριγώνου.

Θέλουμε να ικανοποιούνται οι ανισότητες $\sqrt{3}m < n \leqslant (2m-1)$ και είναι λογικό ότι μάλλον το μικρότερο

θα είναι το βέλτιστο. Για κάποια

μπορεί να μην έχουμε καμία τιμή του

που να μας κάνει. Για ποια

θα έχουμε τιμή του

που να μας κάνει; Αν και μόνο αν $\sqrt{3}m \leqslant 2m-1$ αφού τότε θα μας κάνει η τιμή n = 2m-1

. Αυτό είναι ισοδύναμο με $\displaystyle m \geqslant \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3} \approx 3.7$

Άρα οι m=1,2,3

απορρίπτονται και πάμε από το

και μετά.

Θα μπορούσα να γράψω αυτό το επιχείρημα αλλά επειδή ο έλεγχος των πρώτων τριών τιμών ήταν συντομότερος το απέφυγα.

Αν όμως η ανισότητα ήταν π.χ. $\sqrt[10]{1000}m < n \leqslant (2m-1)$ τότε θα έπρεπε να κάνουμε το πιο πάνω για να βρούμε $m \geqslant \frac{1}{2-\sqrt[10]{1000}} \approx 211.07$ .

Henri van Aubel · #9

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 22, 2023 2:16 pm
Δεν είναι εντελώς τυχαίο. Οι ανισότητες μπήκαν για να είναι όντως πλευρές αμβλυγωνίου τριγώνου.

Θέλουμε να ικανοποιούνται οι ανισότητες $\sqrt{3}m < n \leqslant (2m-1)$ και είναι λογικό ότι μάλλον το μικρότερο θα είναι το βέλτιστο. Για κάποια μπορεί να μην έχουμε καμία τιμή του που να μας κάνει. Για ποια θα έχουμε τιμή του που να μας κάνει; Αν και μόνο αν $\sqrt{3}m \leqslant 2m-1$ αφού τότε θα μας κάνει η τιμή . Αυτό είναι ισοδύναμο με $\displaystyle m \geqslant \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3} \approx 3.7$

Άρα οι απορρίπτονται και πάμε από το και μετά.

Θα μπορούσα να γράψω αυτό το επιχείρημα αλλά επειδή ο έλεγχος των πρώτων τριών τιμών ήταν συντομότερος το απέφυγα.

Αν όμως η ανισότητα ήταν π.χ. $\sqrt[10]{1000}m < n \leqslant (2m-1)$ τότε θα έπρεπε να κάνουμε το πιο πάνω για να βρούμε $m \geqslant \frac{1}{2-\sqrt[10]{1000}} \approx 211.07$ .

Πολύ ωραία, τώρα έγινε πληρέστερη η λύση !

Θεωρώ ότι έτσι έπρεπε να εργαστείς και στην λύση, έτσι ώστε να πείσεις τον αναγνώστη ότι δεν επιλέγεις τυχαία .

#10

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 22, 2023 2:44 pm

Πολύ ωραία, τώρα έγινε πληρέστερη η λύση ! Θεωρώ ότι έτσι έπρεπε να εργαστείς και στην λύση, έτσι ώστε να πείσεις τον αναγνώστη ότι δεν επιλέγεις τυχαία .

Ο Δημήτρης διακρίνεται για την ορθότητα της σκέψης του και την πληρότητα των λύσεών του.
Οι αναρτήσεις του είναι υποδειγματικές. Δεν έχει ανάγκη να πείσει κανέναν.

Henri van Aubel · #11

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 22, 2023 4:46 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 22, 2023 2:44 pm

Πολύ ωραία, τώρα έγινε πληρέστερη η λύση ! Θεωρώ ότι έτσι έπρεπε να εργαστείς και στην λύση, έτσι ώστε να πείσεις τον αναγνώστη ότι δεν επιλέγεις τυχαία .
Ο Δημήτρης διακρίνεται για την ορθότητα της σκέψης του και την πληρότητα των λύσεών του.
Οι αναρτήσεις του είναι υποδειγματικές. Δεν έχει ανάγκη να πείσει κανέναν.

Το ξέρω, ο Δημήτρης είναι φοβερός!

Δεν το εννοούσα για κακό το ''να πείσει''. Εννοείται ότι δεν έχει ανάγκη να πείσει κανέναν.

#12

Να δώσω την πηγή που υποσχέθηκα.

Η άσκηση είναι από το βιβλίο Geometric Probems on Maxima and Minima των
Titu Andreescu-Oleg Mushkarov-Luchezar Stoyanov.

Η μικρότερη περίμετρος

Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Re: Η μικρότερη περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση