Με ψηφία...

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Με ψηφία...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Μαρ 25, 2017 1:58 pm

Να αποδείξετε ότι τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού \displaystyle 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}}, δεν αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Με ψηφία...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 25, 2017 2:48 pm

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η 3,4,5. Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με 2 σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με 2 ή 8, άτοπο.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Με ψηφία...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Μαρ 25, 2017 5:01 pm

Demetres έγραψε:Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η 3,4,5. Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με 2 σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με 2 ή 8, άτοπο.
Πολύ όμορφα κ. Δημήτρη! Ας το συνεχίσουμε. Να βρεθούν τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού αυτού.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Με ψηφία...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 03, 2020 1:17 am

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Μαρ 25, 2017 5:01 pm
Demetres έγραψε:Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η 3,4,5. Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με 2 σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με 2 ή 8, άτοπο.
Πολύ όμορφα κ. Δημήτρη! Ας το συνεχίσουμε. Να βρεθούν τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού αυτού.

Φιλικά.
Ας το δούμε γιατί έχει πλάκα :P
Αρχικά θα βρω το 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}}\pmod{125}.Είναι \rm \varphi (125)=125\cdot \left ( 1-\dfrac{1}{5} \right )=100 για αυτό θα βρω το 3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}\pmod{100}.Είναι \varphi (100)=100\left (1- \dfrac{1}{2} \right )\left ( 1-\dfrac{1}{5} \right )=40 οπότε θα βρω το 4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}\pmod{40}.Θέτω \rm 4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}=K
Είναι \rm K\equiv -1\pmod{5}.Έστω \rm K=5a-1.Πρέπει \rm K\equiv 0\pmod{8} άρα με δοκιμές είναι \rm a\equiv 5\pmod{8},έστω \rm a=8b+5.Τότε θα είναι \rm K=5(8b+5)-1=40b+24\equiv 24\pmod{40}
Άρα αν \rm 4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}=40c+24 τότε \rm 3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}\equiv 3^{40c}\cdot 3^{24}\equiv \left ( 3^6 \right )^4\equiv 29^4\equiv 41^2\equiv 81\pmod{100}.
Άρα αν \rm 3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}=100d+81 τότε \rm 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}}\equiv 2^{100d}\cdot 2^{81}\equiv 16\cdot \left ( 2^7 \right )^{11}\equiv 16\cdot 3^{11}\equiv 48\cdot 118^2\equiv 48\cdot 49\equiv 102\pmod{125}
Έστω \rm 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9}}}}}}}=A.Είναι \rm A=125f+102.Επειδή προφανώς \rm A\equiv 0\pmod{8} θα είναι \rm 5f+6\equiv 0\pmod8 η οποία με δοκιμές δίνει \rm f\equiv 2\pmod8.Θέτω \rm f=8g+2.
Τότε θα είναι \rm A=125\left ( 8g+ 2\right )+102=1000g+352\equiv 352\pmod{1000}
Άρα το τελευταίο τριψήφιο τμήμα του \rm A είναι το \overline{352}.


Έγιναν οι απαραίτητες διορθώσεις.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Απρ 03, 2020 12:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Με ψηφία...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Απρ 03, 2020 11:41 am

Πρόδρομε, επειδή (6,8) \neq 1 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Euler-Fermat για το 6^{7^8^9} \bmod 8. Βγαίνει βέβαια άμεσα ότι 6^{7^8^9} \equiv 0 \bmod 8.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Με ψηφία...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 03, 2020 11:53 am

Demetres έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 11:41 am
Πρόδρομε, επειδή (6,8) \neq 1 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Euler-Fermat για το 6^{7^8^9} \bmod 8. Βγαίνει βέβαια άμεσα ότι 6^{7^8^9} \equiv 0 \bmod 8.
Έχετε δίκιο κύριε Δημήτρη,ευτυχώς διορθώνεται εύκολα.Υπάρχουν και άλλα λάθη στην λύση μου,τα διορθώνω.(πάντως καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα ;) )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης