Με ψηφία...

[M.S.Vovos]

Να αποδείξετε ότι τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού , δεν αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.

Φιλικά.

[Demetres]

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η . Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με ή , άτοπο.

[M.S.Vovos]

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η . Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με ή , άτοπο.

Πολύ όμορφα κ. Δημήτρη! Ας το συνεχίσουμε. Να βρεθούν τα τελευταία ψηφία του αριθμού αυτού.

Φιλικά.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η . Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με ή , άτοπο.

Πολύ όμορφα κ. Δημήτρη! Ας το συνεχίσουμε. Να βρεθούν τα τελευταία ψηφία του αριθμού αυτού.

Φιλικά.

Ας το δούμε γιατί έχει πλάκα
Αρχικά θα βρω το .Είναι για αυτό θα βρω το .Είναι οπότε θα βρω το .Θέτω
Είναι .Έστω .Πρέπει άρα με δοκιμές είναι ,έστω .Τότε θα είναι
Άρα αν τότε .
Άρα αν τότε
Έστω .Είναι .Επειδή προφανώς θα είναι η οποία με δοκιμές δίνει .Θέτω .
Τότε θα είναι
Άρα το τελευταίο τριψήφιο τμήμα του είναι το .


Έγιναν οι απαραίτητες διορθώσεις.

[Demetres]

Πρόδρομε, επειδή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Euler-Fermat για το . Βγαίνει βέβαια άμεσα ότι .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Πρόδρομε, επειδή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Euler-Fermat για το . Βγαίνει βέβαια άμεσα ότι .

Έχετε δίκιο κύριε Δημήτρη,ευτυχώς διορθώνεται εύκολα.Υπάρχουν και άλλα λάθη στην λύση μου,τα διορθώνω.(πάντως καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα )