Υπερδιπλάσιο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11636
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υπερδιπλάσιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 19, 2020 11:00 am

Υπερδιπλάσιο.png
Υπερδιπλάσιο.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
Στις προεκτάσεις των πλευρών AB , AD , του ορθογωνίου ABCD , θεωρούμε σημεία E , Z

αντίστοιχα , ώστε τα E , C , Z , να είναι συνευθειακά . α) Δείξτε ότι : xy=12 .

β) Δείξτε ότι : (AEZ)\geq 24 ... γ) Βρείτε το ελάχιστο μήκος της EZ , ώστε : (AEZ)=25 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4652
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Υπερδιπλάσιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 19, 2020 11:56 am

Χρόνια πολλά με υγεία κι αισιοδοξία σε όλους!

Από την ομοιότητα των AEZ, BCE είναι  \displaystyle \frac{x}{{4 + x}} = \frac{3}{{y + 3}} \Leftrightarrow xy + 3x = 12 + 3x \Leftrightarrow xy = 12.

Είναι  \displaystyle \left( {AEZ} \right) = \left( {ABCD} \right) + \left( {BCE} \right) + \left( {DZC} \right) = 12 + \frac{{3x}}{2} + 2y = 12 + \frac{{3x}}{2} + \frac{{24}}{x} .

Οι θετικοί αριθμοί  \displaystyle \frac{{3x}}{2},\;\;\frac{{24}}{x} έχουν σταθερό γινόμενο, άρα το άθροισμα τους είναι ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν μπορεί να γίνουν ίσοι). Αυτό συμβαίνει όταν  \displaystyle \frac{{3x}}{2} = \frac{{24}}{x} \Leftrightarrow x = 4 .

Οπότε  \displaystyle \left( {AEZ} \right) = 12 + \frac{{3x}}{2} + \frac{{24}}{x} \ge 24.

 \displaystyle \left( {AEZ} \right) = 25 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} + \frac{{24}}{x} = 13 \Leftrightarrow 3{x^2} - 26x + 48 = 0 , που έχει λύσεις  \displaystyle x = 6\;\;\; \vee \;\;\;x = \frac{8}{3} .

Για x=6 είναι  \displaystyle E{Z^2} = 125 και για  \displaystyle x = \frac{8}{3} είναι  \displaystyle E{Z^2} = \frac{{3625}}{{36}} < 110 ,
οπότε για  \displaystyle x = \frac{8}{3} το EZ= \sqrt{\frac{{3625}}{{36}}} είναι το ελάχιστο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9371
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπερδιπλάσιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 19, 2020 1:20 pm

Χρόνια Πολλά!
Υπερδιπλάσιο.Ι.png
Υπερδιπλάσιο.Ι.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές
Ένα επιπλέον ερώτημα, αν μου επιτρέπει ο Θανάσης. Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου AEZ όταν AC\bot EZ.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4652
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Υπερδιπλάσιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 19, 2020 6:32 pm

Μια απάντηση μόνο με καθαρή Γεωμετρία για να στείλω τις ευχές μου και στον Γιώργο.

Aπό Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ABC είναι AC = 5.

Άπό την ομοιότητα των BCE, ABC είναι  \displaystyle \frac{{CE}}{5} = \frac{3}{4} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow \left( {CE = \frac{{15}}{4}\;\; \vee \;\;x = \frac{9}{4}} \right)

και από την ομοιότητα των DCZ, DCA είναι  \displaystyle \frac{{CZ}}{5} = \frac{4}{3} = \frac{y}{4} \Leftrightarrow \left( {CE = \frac{{20}}{3}\;\;\; \vee \;\;y = \frac{{16}}{3}} \right)

Οπότε  \displaystyle {P_{ABC}} = 4 + \frac{9}{4} + \frac{{15}}{4} + \frac{{20}}{3} + \frac{{16}}{3} + 3 = 25.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες