Υπερδιπλάσιο

KARKAR · #1

: Υπερδιπλάσιο.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 1500 φορές

Στις προεκτάσεις των πλευρών AB , AD

, του ορθογωνίου ABCD

, θεωρούμε σημεία E , Z

αντίστοιχα , ώστε τα E , C , Z

, να είναι συνευθειακά . α) Δείξτε ότι : xy=12

.

β) Δείξτε ότι : $(AEZ)\geq 24$ ... γ) Βρείτε το ελάχιστο μήκος της

, ώστε :

.

#2

Χρόνια πολλά με υγεία κι αισιοδοξία σε όλους!

Από την ομοιότητα των AEZ, BCE

είναι $\displaystyle \frac{x}{{4 + x}} = \frac{3}{{y + 3}} \Leftrightarrow xy + 3x = 12 + 3x \Leftrightarrow xy = 12.$

Είναι $\displaystyle \left( {AEZ} \right) = \left( {ABCD} \right) + \left( {BCE} \right) + \left( {DZC} \right) = 12 + \frac{{3x}}{2} + 2y = 12 + \frac{{3x}}{2} + \frac{{24}}{x}$ .

Οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle \frac{{3x}}{2},\;\;\frac{{24}}{x}$ έχουν σταθερό γινόμενο, άρα το άθροισμα τους είναι ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν μπορεί να γίνουν ίσοι). Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle \frac{{3x}}{2} = \frac{{24}}{x} \Leftrightarrow x = 4$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {AEZ} \right) = 12 + \frac{{3x}}{2} + \frac{{24}}{x} \ge 24$ .

$\displaystyle \left( {AEZ} \right) = 25 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} + \frac{{24}}{x} = 13 \Leftrightarrow 3{x^2} - 26x + 48 = 0$ , που έχει λύσεις $\displaystyle x = 6\;\;\; \vee \;\;\;x = \frac{8}{3}$ .

Για x=6

είναι $\displaystyle E{Z^2} = 125$ και για $\displaystyle x = \frac{8}{3}$ είναι $\displaystyle E{Z^2} = \frac{{3625}}{{36}} < 110$ ,
οπότε για $\displaystyle x = \frac{8}{3}$ το $EZ= \sqrt{\frac{{3625}}{{36}}}$ είναι το ελάχιστο.

#3

Χρόνια Πολλά!

: Υπερδιπλάσιο.Ι.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 1471 φορές

Ένα επιπλέον ερώτημα, αν μου επιτρέπει ο Θανάσης. Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου AEZ

όταν $AC\bot EZ.$

#4

Μια απάντηση μόνο με καθαρή Γεωμετρία για να στείλω τις ευχές μου και στον Γιώργο.

Aπό Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ABC

είναι

.

Άπό την ομοιότητα των BCE, ABC

είναι $\displaystyle \frac{{CE}}{5} = \frac{3}{4} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow \left( {CE = \frac{{15}}{4}\;\; \vee \;\;x = \frac{9}{4}} \right)$

και από την ομοιότητα των DCZ, DCA

είναι $\displaystyle \frac{{CZ}}{5} = \frac{4}{3} = \frac{y}{4} \Leftrightarrow \left( {CE = \frac{{20}}{3}\;\;\; \vee \;\;y = \frac{{16}}{3}} \right)$

Οπότε $\displaystyle {P_{ABC}} = 4 + \frac{9}{4} + \frac{{15}}{4} + \frac{{20}}{3} + \frac{{16}}{3} + 3 = 25$ .

Υπερδιπλάσιο

Υπερδιπλάσιο

Re: Υπερδιπλάσιο

Re: Υπερδιπλάσιο

Re: Υπερδιπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση