A' ΔΕΣΜΗ 1994
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
A' ΔΕΣΜΗ 1994
1. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Αν είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο ,
να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , την ευθεία και τον άξονα .
ii) Έστω η γωνία που σχηματίζει η με την ευθεία , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
Να εκφράσετε την ως συνάρτηση του και να βρείτε την μέγιστη τιμή της όταν το μεταβάλλεται ().
β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα με και για κάθε ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός τέτοιος ώστε
2. α) Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων και .
β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς τέτοιους ώστε .
Να δείξετε ότι αν το μεταβάλλεται στο και ισχύει , τότε η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.
3. α) Έστω πραγματικός αριθμός πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές ώστε και το έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο ώστε , αν και μόνο αν .
β) Έστω ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του .
Να βρείτε τις τιμές των για τις οποίες το πολυώνυμο έχει παράγοντα το .
4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής με εστία το σημείο και διευθετούσα την ευθεία είναι .
β) Έστω θετικός ακέραιος και ένας δειγματικός χώρος.
Δίνονται οι πιθανότητες για . Να υπολογίσετε :
i) Την πιθανότητα
ii) Την πιθανότητα του ενδεχομένου
edit
Διορθώθηκε η φορά της ανισότητας στο 1β σωστός ο Χρήστος (Christos75)
i) Αν είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο ,
να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , την ευθεία και τον άξονα .
ii) Έστω η γωνία που σχηματίζει η με την ευθεία , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
Να εκφράσετε την ως συνάρτηση του και να βρείτε την μέγιστη τιμή της όταν το μεταβάλλεται ().
β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα με και για κάθε ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός τέτοιος ώστε
2. α) Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων και .
β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς τέτοιους ώστε .
Να δείξετε ότι αν το μεταβάλλεται στο και ισχύει , τότε η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.
3. α) Έστω πραγματικός αριθμός πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές ώστε και το έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο ώστε , αν και μόνο αν .
β) Έστω ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του .
Να βρείτε τις τιμές των για τις οποίες το πολυώνυμο έχει παράγοντα το .
4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής με εστία το σημείο και διευθετούσα την ευθεία είναι .
β) Έστω θετικός ακέραιος και ένας δειγματικός χώρος.
Δίνονται οι πιθανότητες για . Να υπολογίσετε :
i) Την πιθανότητα
ii) Την πιθανότητα του ενδεχομένου
edit
Διορθώθηκε η φορά της ανισότητας στο 1β σωστός ο Χρήστος (Christos75)
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Ιούλ 01, 2013 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994
Καλησπέρα.parmenides51 έγραψε:
2. α) Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων και .
β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς τέτοιους ώστε .
Να δείξετε ότι αν το μεταβάλλεται στο και ισχύει , τότε η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.
Λύση
α)Για έχουμε,
Έχουμε τώρα ότι
Έστω
Τότε,
Ομοίως, βρίσκουμε ότι
Έτσι,
Συνεπώς, οι δοσμένες εξισώσεις, έχουν ως κοινές λύσεις του μιγαδικούς
β)Από την σχέση έχουμε,
Έστω ένας μιγαδικός με την παραπάνω ιδιότητα.Τότε,
Η πρώτη σχέση, με τη βοήθεια της δεύτερης, δίνει,
edit:Διόρθωση λάθους
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Δευ Ιούλ 01, 2013 2:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994
Λύσηparmenides51 έγραψε: 4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής με εστία το σημείο και διευθετούσα την ευθεία είναι .
β) Έστω θετικός ακέραιος και ένας δειγματικός χώρος.
Δίνονται οι πιθανότητες για . Να υπολογίσετε :
i) Την πιθανότητα
ii) Την πιθανότητα του ενδεχομένου
α) Θεωρία
β)
i) Μας δίνεται ο δειγματικός χώρος και ο τύπος
Θέλουμε να υπολογίσουμε την
Από τον ορισμό της πιθανότητας έχουμε ότι
Αλλά είναι γεωμετρική πρόοδος με
και λόγο
Συνεπώς
εν προκειμένω έχουμε
Οπότε προκύπτει
Άρα τελικά
που είναι και η ζητούμενη πιθανότητα.
ii) Με παρόμοιο τρόπο έχουμε ότι
και ισχύει από τον ορισμό της πιθανότητας
και πάλι έχουμε γεωμετρική πρόοδο με λόγο αυτή τη φορά
Άρα τελικά θα έχουμε
όπου είναι και ζητούμενη πιθανότητα του ενδεχομένου
Χρήστος Λοΐζος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994
Λύσηparmenides51 έγραψε: 3. α) Έστω πραγματικός αριθμός πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές ώστε και το έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο τέτοιο ώστε , αν και μόνο αν .
β) Έστω ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του .
Να βρείτε τις τιμές των για τις οποίες το πολυώνυμο έχει παράγοντα το .
Θα αποδείξουμε πρώτα το ευθύ.
Έχουμε λοιπόν
Θα δείξουμε ότι
Πράγματι, για στην σχέση έχουμε
Εν συνεχεία παραγωγίζοντας την σχέση έχουμε
Εν συνεχεία, θέτουμε στην την τιμή και έχουμε
Από τελικά προκύπτει
Θα αποδείξουμε το αντίστροφο τώρα.
Έστω ότι και αφού ρίζα του πολυωνύμου τότε υπάρχει πολυώνυμο
το πολύ πρώτου βαθμού :
Επίσης
Αφού δηλαδή που σημαίνει ότι
ρίζα του πολυωνύμου συνεπώς υπάρχει πολυώνυμο, έστω τέτοιο ώστε όπου
πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού.
Τελικά έχουμε λοιπόν
Αν θέσουμε θα έχουμε τελικά
β)
Θέτουμε Οπότε συνδυάζοντας αυτό με το ερώτημα α) και αν θέσουμε
και αφού
Σύμφωνα με το α) ερώτημα, πρέπει Οπότε υπολογίζουμε τις τιμές αυτές:
Επίσης
Από τις σχέσεις προκύπτει το σύστημα:
Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση έχω ότι
Χρήστος Λοΐζος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994
Λύσηparmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται η συνάρτηση
i) Αν είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο ,
να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , την ευθεία και τον άξονα .
ii) Έστω η γωνία που σχηματίζει η με την ευθεία , όπου είναι η αρχή των αξόνων.
Να εκφράσετε την ως συνάρτηση του και να βρείτε την μέγιστη τιμή της όταν το μεταβάλλεται ().
β) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα με και για κάθε ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός τέτοιος ώστε
α)
i)
Με δεδομένη την συνάρτηση το σημείο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.
Συνεπώς η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο δίνεται από την σχέση
Η παραπάνω ευθεία, τέμνει τον άξονα στο σημείο και τον άξονα στο σημείο
Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από την σχέση
ii) Είναι
Από γνωστό τύπο έχουμε ότι
Αν θέσουμε τελικά θα αναζητήσουμε την παράγωγο της συνάρτησης αυτής,
έχουμε
Αναζητούμε το πρόσημο της παραγώγου κατά τα γνωστά και έχουμε
Επίσης
και
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο
Συνεπώς, η εν λόγω συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο και έχουμε μέγιστη τιμή την
που είναι και η μέγιστη τιμή για την εφαπτομένη της γωνίας .
β)
Θεωορούμε την συνάρτηση
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα αφού είναι γνωστές συνεχής συανρτήσεις και συνεχής στο παραπάνω
διάστημα εξ ' υποθέσεως(επειδή είναι παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής).
Επίσης αφού
και αφού
Συνεπώς ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, δηλαδή
Επίσης αφού για κάθε
Δηλαδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα,κατ'επέκταση, το που βρήκαμε παραπάνω, είναι μοναδικό.
Χρήστος Λοΐζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες