A' ΔΕΣΜΗ 1994

parmenides51 · #1

1. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2{x^{2}}\,\, , x \in R}$
i) Αν $\displaystyle{(\varepsilon)}$ είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης $\displaystyle{C_f}$ της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{M(2\alpha,8\alpha^2) \,\,\, , \alpha>0}$ ,
να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C_f}$ , την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και τον άξονα $\displaystyle{y'y}$ .
ii) Έστω $\displaystyle{\theta}$ η γωνία που σχηματίζει η $\displaystyle{(\varepsilon)}$ με την ευθεία $\displaystyle{MO}$ , όπου $\displaystyle{O}$ είναι η αρχή των αξόνων.
Να εκφράσετε την $\displaystyle{\epsilon \phi \theta}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{\alpha}$ και να βρείτε την μέγιστη τιμή της $\displaystyle{\epsilon \phi \theta}$ όταν το $\displaystyle{\alpha}$ μεταβάλλεται ( $\displaystyle{\alpha>0}$ ).
β) Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f }$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{[1,e]}$ με $\displaystyle{0<f(x)<1}$ και $\displaystyle{f '(x){\color{red}\ge }0 }$ για κάθε $\displaystyle{x\in [1,e]}$ ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός $\displaystyle{x_o\in (1,e)}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{f(x_0)+x_0 \ln x_0=x_0}$

2. α) Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων $\displaystyle{{{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{z}^{3}}+z=0}$ και $\displaystyle{{{z}^{16}}+2{{z}^{14}}+1=0}$ .
β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{z,w,w_1}$ τέτοιους ώστε $\displaystyle{w=z-zi\,\,\,\, ,{{w}_{1}}=\frac{1}{\alpha}+\alpha i\,\,\,, \alpha\in \mathbb{R}^*}$ .
Να δείξετε ότι αν το $\displaystyle{\alpha}$ μεταβάλλεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}^*}$ και ισχύει $\displaystyle{w={{\bar{w}}_{1}}}$ , τότε η εικόνα $\displaystyle{P}$ του $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.

3. α) Έστω $\displaystyle{\rho}$ πραγματικός αριθμός $\displaystyle{A(x),B(x)}$ πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές ώστε $\displaystyle{B(\rho)\ne 0}$ και το $\displaystyle{A(x) }$ έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του $\displaystyle{2}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{A(x)B(x)=(x- \rho)^2f(x)}$ , αν και μόνο αν $\displaystyle{A(\rho)=A'(\rho)=0}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\nu}$ ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του $\displaystyle{ 1}$ .
Να βρείτε τις τιμές των $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ για τις οποίες το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)={x^{\nu}(\nu x^3+\kappa x^2 + \lambda x+8)}$ έχει παράγοντα το $\displaystyle{(x-2)^2}$ .

4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής με εστία το σημείο $\displaystyle{E\left( \frac{p}{2},0\right)}$ και διευθετούσα την ευθεία $\displaystyle{\delta : x=-\frac{p}{2}}$ είναι $\displaystyle{{y^{2}}=2px}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\nu}$ θετικός ακέραιος και $\displaystyle{\Omega =\left\{ 0,1,2,3,... ,2\nu \right\}}$ ένας δειγματικός χώρος.
Δίνονται οι πιθανότητες $\displaystyle{P(\kappa)=\frac{1}{{{2}^{\kappa}}}$ για $\displaystyle{\kappa=1,2,3,... ,2\nu }$ . Να υπολογίσετε :
i) Την πιθανότητα $\displaystyle{P(0)}$
ii) Την πιθανότητα $\displaystyle{P(A)}$ του ενδεχομένου $\displaystyle{A=\left\{ 2,4,6,... ,2\nu \right\}}$

edit
Διορθώθηκε η φορά της ανισότητας στο 1β

σωστός ο Χρήστος (Christos75)

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

2. α) Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων $\displaystyle{{{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{z}^{3}}+z=0}$ και $\displaystyle{{{z}^{16}}+2{{z}^{14}}+1=0}$ .
β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{z,w,w_1}$ τέτοιους ώστε $\displaystyle{w=z-zi\,\,\,\, ,{{w}_{1}}=\frac{1}{\alpha}+\alpha i\,\,\,, \alpha\in \mathbb{R}^*}$ .
Να δείξετε ότι αν το $\displaystyle{\alpha}$ μεταβάλλεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}^*}$ και ισχύει $\displaystyle{w={{\bar{w}}_{1}}}$ , τότε η εικόνα $\displaystyle{P}$ του $\displaystyle{z}$ στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.

Καλησπέρα.

Λύση

α)Για $\displaystyle{z\in\mathbb{C}}$ έχουμε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(z^2+1\right)^2+z^3+z=0&\Leftrightarrow \left(z^2+1\right)^2+z\left(z^2+1\right)=0\\&\Leftrightarrow \left(z^2+1\right)\left(z^2+z+1\right)=0\\&\Leftrightarrow \left(z+i\right)\left(z-i\right)\left(z+\frac{1+\sqrt{3}\,i}{2}\right)\left(z+\frac{1-\sqrt{3}\,i}{2}\right)=0\\&\Leftrightarrow z=-i\ \lor z=i\ \lor z=\frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}\ \lor z=\frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}\end{aligned}}$

Έχουμε τώρα ότι

$\displaystyle{\left(-i\right)^{16}+2\left(-i\right)^{14}+1=1-2+1=0}$

$\displaystyle{i^{16}+2i^{14}+1=1-2+1=0}$

Έστω $\displaystyle{z_1=\frac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}\,\,,z_2=\frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

Τότε, $\displaystyle{z_1^2+z_1+1=0\Rightarrow \left(z_1-1\right)\left(z_1^2+z_1+1\right)=0\Rightarrow z_1^3-1=0\Rightarrow z_1^3=1}$

Ομοίως, βρίσκουμε ότι $\displaystyle{z_2^3=1}$

Έτσι,

$\displaystyle{z_1^{16}+2z_1^{14}+1=\left(z_1^3\right)^5\cdot z+2\left(z_1^3\right)^4\cdot z_1^2+1=z_1+z_1^2+1+z_1^2=z_1\neq 0}$

$\displaystyle{z_2^{16}+2z_2^{14}+1=\left(z_2^3\right)^5\cdot z+2\left(z_2^3\right)^4\cdot z_2^2+1=z_2+z_2^2+1+z_2^2=z_2^2\neq 0}$

Συνεπώς, οι δοσμένες εξισώσεις, έχουν ως κοινές λύσεις του μιγαδικούς $\displaystyle{z_1=-i\,\,,z_2=i}$

β)Από την σχέση $\displaystyle{w=\bar{w_1}}$ έχουμε, $\displaystyle{z-z\,i=\frac{1}{\alpha}-\alpha\,i\,\,,\alpha\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}}$

Έστω $\displaystyle{z=c+d\,i\,\,,c,d\in\mathbb{R}}$ ένας μιγαδικός με την παραπάνω ιδιότητα.Τότε,

$\displaystyle{c+d\,i+d-c\,i=\frac{1}{\alpha}-\alpha\,i\Rightarrow c+d=\frac{1}{\alpha}\,\,\kappa \alpha \iota\,\,d-c=-\alpha\neq 0}$

Η πρώτη σχέση, με τη βοήθεια της δεύτερης, δίνει,

$\displaystyle{c+d=\frac{1}{c-d}\Rightarrow c^2-d^2=1}$

edit:Διόρθωση λάθους

Christos75 · #3

parmenides51 έγραψε: 4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής με εστία το σημείο $\displaystyle{E\left( \frac{p}{2},0\right)}$ και διευθετούσα την ευθεία $\displaystyle{\delta : x=-\frac{p}{2}}$ είναι $\displaystyle{{y^{2}}=2px}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\nu}$ θετικός ακέραιος και $\displaystyle{\Omega =\left\{ 0,1,2,3,... ,2\nu \right\}}$ ένας δειγματικός χώρος.
Δίνονται οι πιθανότητες $\displaystyle{P(\kappa)=\frac{1}{{{2}^{\kappa}}}$ για $\displaystyle{\kappa=1,2,3,... ,2\nu }$ . Να υπολογίσετε :
i) Την πιθανότητα $\displaystyle{P(0)}$
ii) Την πιθανότητα $\displaystyle{P(A)}$ του ενδεχομένου $\displaystyle{A=\left\{ 2,4,6,... ,2\nu \right\}}$

Λύση

α) Θεωρία

β)
i) Μας δίνεται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega =\left \{ 0,1,3,4,...,2\nu \right.\left. \right \}}$ και ο τύπος

$\displaystyle{P(\kappa )=\frac{1}{2^{\kappa }}, \kappa =1,2,3,...,\nu }$

Θέλουμε να υπολογίσουμε την $\displaystyle{P(0)}$

Από τον ορισμό της πιθανότητας έχουμε ότι
$\displaystyle{P(\Omega )=P(0)+P(1)+P(2)+...+P(2\nu )\Leftrightarrow P(0)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{2\nu }}=1\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{P(0)=1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{2\nu }}) (1)}$

Αλλά $\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{2\nu }}}$ είναι γεωμετρική πρόοδος με

$\displaystyle{\alpha_{1}=\frac{1}{2}}$ και λόγο $\displaystyle{\lambda =\frac{1}{2}}$

Συνεπώς $\displaystyle{S_{\nu }=\frac{\alpha _{1}(\lambda ^{\nu }-1)}{\lambda -1}}$

εν προκειμένω έχουμε $\displaystyle{S_{2\nu }=\frac{\alpha _{1}(\lambda ^{2\nu }-1)}{\lambda -1}}$

Οπότε προκύπτει $\displaystyle{S_{2\nu }=\frac{1}{2}\frac{(1/2)^{2\nu }-1}{(1/2)-1}=1-(1/2)^{2\nu } }$

Άρα τελικά $\displaystyle{P(0)=1-S_{2\nu }=1-1+(\frac{1}{2})^{2\nu }=(\frac{1}{2})^{2\nu }}$

που είναι και η ζητούμενη πιθανότητα.

ii) Με παρόμοιο τρόπο έχουμε ότι $\displaystyle{A=\left \{ 2,4,6,...,2\nu \left. \right \} \right.}$

και ισχύει από τον ορισμό της πιθανότητας $\displaystyle{P(A)=P(2)+P(4)+P(6)+...+P(2\nu )=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+...+\frac{1}{2^{2\nu }}}$

και πάλι έχουμε γεωμετρική πρόοδο με λόγο αυτή τη φορά $\displaystyle{\lambda =\frac{1}{2^{2}}}$

Άρα τελικά θα έχουμε $\displaystyle{P(A)=S_{\nu }=\frac{1}{2^{2}}\frac{(1/4)^\nu -1}{(1/4)-1}=...=\frac{4^{\nu }-1}{3.4^{\nu }}}$

όπου είναι και ζητούμενη πιθανότητα του ενδεχομένου

Christos75 · #4

parmenides51 έγραψε: 3. α) Έστω $\displaystyle{\rho}$ πραγματικός αριθμός $\displaystyle{A(x),B(x)}$ πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές ώστε $\displaystyle{B(\rho)\ne 0}$ και το $\displaystyle{A(x) }$ έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του $\displaystyle{2}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{A(x)B(x)=(x- \rho)^2f(x)}$ , αν και μόνο αν $\displaystyle{A(\rho)=A'(\rho)=0}$ .
β) Έστω $\displaystyle{\nu}$ ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος του $\displaystyle{ 1}$ .
Να βρείτε τις τιμές των $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ για τις οποίες το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)={x^{\nu}(\nu x^3+\kappa x^2 + \lambda x+8)}$ έχει παράγοντα το $\displaystyle{(x-2)^2}$ .

Λύση

Θα αποδείξουμε πρώτα το ευθύ.

$\displaystyle{(\Rightarrow )}$

Έχουμε λοιπόν $\displaystyle{A(x).B(x)=(x-\rho )^{2}.f(x) (1)}$

Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{A(\rho )=A'(\rho )=0}$

Πράγματι, για $\displaystyle{x=\rho}$ στην σχέση (1)

έχουμε
$\displaystyle{A(\rho ).B(\rho )=(\rho -\rho )^2.f(\rho )\Leftrightarrow A(\rho ).B(\rho )=0\overset{B(\rho )\neq 0}{\rightarrow} A(\rho )=0(2)}$

Εν συνεχεία παραγωγίζοντας την σχέση (1)

έχουμε $\displaystyle{[A(x).B(x)]'=[(x -\rho )^2.f(x)]'\Rightarrow A'(x).B(x)+A(x).B'(x)=2(x-\rho ).f(x)+f'(x).(x-\rho )^2 (3)}$

Εν συνεχεία, θέτουμε στην (3)

την τιμή $\displaystyle{x=\rho}$ και έχουμε

$\displaystyle{A'(\rho ).B(\rho ) +A(\rho ).B'(\rho )=2(\rho -\rho )f(\rho )+f'(\rho )(\rho -\rho )^{2}\Leftrightarrow A'(\rho ).B(\rho ) +A(\rho ).B'(\rho )=0}$

$\displaystyle{\xrightarrow[B(\rho )\neq 0]{A(\rho )=0}A'(\rho )=0 (4)}$

Από (3), (4)

τελικά προκύπτει $\displaystyle{A(\rho )=A'(\rho )=0}$

Θα αποδείξουμε το αντίστροφο τώρα.

$\displaystyle{(\Leftarrow )}$

Έστω ότι $\displaystyle{A(\rho )=0}$ και αφού $\rho$ ρίζα του πολυωνύμου A(x)

τότε υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{\varphi (x)}$

το πολύ πρώτου βαθμού :

$\displaystyle{A(x)=(x-\rho ).\varphi (x)}$ Επίσης $\displaystyle{A'(x)=(x-\rho )'.\varphi (x)+(x-\rho )\varphi '(x)}$

Αφού $\displaystyle{A'(\rho )=0\Rightarrow \varphi (\rho )+(\rho -\rho )\varphi '(x)=0}$ δηλαδή $\displaystyle{\varphi (\rho )=0}$ που σημαίνει ότι $\rho$

ρίζα του πολυωνύμου $\varphi$ συνεπώς υπάρχει πολυώνυμο, έστω K(x)

τέτοιο ώστε $\displaystyle{\varphi (x)=(x-\rho ).K(x)}$ όπου

πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού.

Τελικά έχουμε λοιπόν $\displaystyle{A(x)=(x-\rho ).(x-\rho ).K(x)=(x-\rho )^{2}.K(x)\overset{. B(x)\neq 0}{\rightarrow} A(x).B(x)=(x-\rho )^{2}.K(x).B(x)}$

Αν θέσουμε $\displaystyle{f(x)=K(x).B(x)}$ θα έχουμε τελικά $\displaystyle{A(x).B(x)=(x-\rho )^{2}.f(x)}$

β)
Θέτουμε $\displaystyle{Q(x)=A(x).B(x)}$ Οπότε συνδυάζοντας αυτό με το ερώτημα α) και αν θέσουμε

$\displaystyle{A(x)=\nu x^{3}+\kappa x^{2}+\lambda x+8 \wedge B(x)=x^{\nu }}$ και αφού $\displaystyle{B(2)=2^{\nu }\neq 0}$

Σύμφωνα με το α) ερώτημα, πρέπει $\displaystyle{A(2)=A'(2)=0}$ Οπότε υπολογίζουμε τις τιμές αυτές:

$\displaystyle{A(2)=0\Leftrightarrow \nu 2^{3}+\kappa 2^{2}+\lambda .2+8=0\Leftrightarrow 8\nu +4\kappa +2\lambda +8=0\Leftrightarrow 2\kappa +\lambda =-4-4\nu (1)}$

Επίσης $\displaystyle{A'(2)=0\Leftrightarrow 3\nu 2^{2}+2.\kappa .2+\lambda =0\Leftrightarrow 4\kappa +\lambda =-12\nu (2)}$

Από τις σχέσεις (1), (2)

προκύπτει το σύστημα:

$\displaystyle{\begin{Bmatrix} 2\kappa +\lambda =-4-4\nu & \\ 4\kappa +\lambda =-12\nu & \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} 2\kappa +\lambda =-4-4\nu& \\ -4\kappa -\lambda =12\nu& \end{Bmatrix}\overset{(+)}{\rightarrow} \kappa =2-4\nu}$

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση έχω ότι $\displaystyle{\lambda =4\nu -8}$

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2{x^{2}}\,\, , x \in R}$
i) Αν $\displaystyle{(\varepsilon)}$ είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης $\displaystyle{C_f}$ της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{M(2\alpha,8\alpha^2) \,\,\, , \alpha>0}$ ,
να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $\displaystyle{C_f}$ , την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και τον άξονα $\displaystyle{y'y}$ .
ii) Έστω $\displaystyle{\theta}$ η γωνία που σχηματίζει η $\displaystyle{(\varepsilon)}$ με την ευθεία $\displaystyle{MO}$ , όπου $\displaystyle{O}$ είναι η αρχή των αξόνων.
Να εκφράσετε την $\displaystyle{\epsilon \phi \theta}$ ως συνάρτηση του $\displaystyle{\alpha}$ και να βρείτε την μέγιστη τιμή της $\displaystyle{\epsilon \phi \theta}$ όταν το $\displaystyle{\alpha}$ μεταβάλλεται ( $\displaystyle{\alpha>0}$ ).
β) Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f }$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{[1,e]}$ με $\displaystyle{0<f(x)<1}$ και $\displaystyle{f '(x){\color{red}\ge }0 }$ για κάθε $\displaystyle{x\in [1,e]}$ ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός $\displaystyle{x_o\in (1,e)}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{f(x_0)+x_0 \ln x_0=x_0}$

Λύση

α)
i)
Με δεδομένη την συνάρτηση

το σημείο $\displaystyle{M(2\alpha ,8\alpha ^{2}) , \alpha >0}$ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.

Συνεπώς η εξίσωση εφαπτομένης $(\varepsilon )$ στο σημείο

δίνεται από την σχέση

$\displaystyle{(\varepsilon ):y-f(2\alpha )=f'(2\alpha )(x-2\alpha )\vee (\varepsilon ):y=8\alpha x-8\alpha ^{2}, \alpha >0}$

Η παραπάνω ευθεία, τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο $\displaystyle{A(\alpha ,0)}$ και τον άξονα yy'

στο σημείο $\displaystyle{B(0,-8\alpha ^{2})}$

Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από την σχέση
$\displaystyle{E=\int_{0}^{2\alpha }(2x^{2}-8\alpha x+8\alpha ^{2})dx=2\int_{0}^{2\alpha }x^{2}dx-8\alpha \int_{0}^{2\alpha }xdx+8\alpha ^{2}.(2\alpha -0)=}$

$\displaystyle{2[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2\alpha }-8\alpha [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2\alpha }+8\alpha ^{3}=\frac{16\alpha ^{3}}{3}, \alpha >0}$

ii) Είναι $\displaystyle{\lambda _{OM}=\frac{y_{M}-y_{O}}{x_{M}-x_{O}}=\frac{8\alpha ^{2}-0}{2\alpha -0}=4\alpha \Leftrightarrow \lambda _{OM}=4\alpha }$

Από γνωστό τύπο έχουμε ότι $\displaystyle{tan\Theta =\frac{\lambda _{2}-\lambda _{1}}{1+\lambda _{1}.\lambda _{2}}=\frac{8\alpha -4\alpha }{1+8\alpha .4\alpha }=\frac{4\alpha }{1+32\alpha ^{2}}\Leftrightarrow tan\Theta =\frac{4\alpha }{1+32\alpha ^{2}}}$

Αν θέσουμε τελικά $\displaystyle{f(\alpha ) =\frac{4\alpha }{1+32\alpha ^{2}}}$ θα αναζητήσουμε την παράγωγο της συνάρτησης αυτής,

έχουμε $\displaystyle{f'(\alpha ) =(\frac{4\alpha }{1+32\alpha ^{2}})'=\frac{(4\alpha )'(1+32\alpha ^{2})-4\alpha (1+32\alpha ^{2})'}{(1+32\alpha ^{2})^2}=\frac{4(1-32\alpha ^{2})}{(1+32\alpha ^{2})^2}}$

Αναζητούμε το πρόσημο της παραγώγου κατά τα γνωστά και έχουμε

$\displaystyle{f'(\alpha )=0\Leftrightarrow \frac{4(1-32\alpha ^{2})}{(1+32\alpha ^{2})^2}=0\Leftrightarrow 4(1-32\alpha ^{2})=0\Leftrightarrow \alpha =\frac{\sqrt{2}}{8}}$

Επίσης $\displaystyle{f'(\alpha )>0\Leftrightarrow \frac{4(1-32\alpha ^{2})}{(1+32\alpha ^{2})^2}>0\Leftrightarrow 4(1-32\alpha ^{2})>0\Leftrightarrow 0<\alpha <\frac{\sqrt{2}}{8}}$

και $\displaystyle{f'(\alpha )<0\Leftrightarrow \frac{4(1-32\alpha ^{2})}{(1+32\alpha ^{2})^2}<0\Leftrightarrow 4(1-32\alpha ^{2})<0\Leftrightarrow \alpha >\frac{\sqrt{2}}{8}}$

Άρα η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(0,\frac{\sqrt{2}}{8}]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[\frac{\sqrt{2}}{8},+\infty )}$

Συνεπώς, η εν λόγω συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο $\displaystyle{\alpha _{0}=\frac{\sqrt{2}}{8}}$ και έχουμε μέγιστη τιμή την

$\displaystyle{f(\frac{\sqrt{2}}{8})=...=\frac{\sqrt{2}}{4}}$ που είναι και η μέγιστη τιμή για την εφαπτομένη της γωνίας $\Theta$ .

β)

Θεωορούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)+xlnx-x, x\in [1,e]}$

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο διάστημα [1,e]

αφού

είναι γνωστές συνεχής συανρτήσεις και f(x)

συνεχής στο παραπάνω

διάστημα εξ ' υποθέσεως(επειδή είναι παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής).

Επίσης $\displaystyle{g(1)=f(1)+1ln1-1=f(1)-1<0}$ αφού $\displaystyle{f(x)<1 , x\in [1,e]}$

και $\displaystyle{g(e)=f(e)+elne-e=f(e)>0}$ αφού $\displaystyle{f(x)>0, x\in[1,e]}$

Συνεπώς ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, δηλαδή $\displaystyle{\exists x_{0}\in (1,e): g(x_{0})=0\Leftrightarrow f(x_{0})+x_{0}lnx_{0}=x_{0}}$

Επίσης $\displaystyle{g'(x)=(f(x)+xlnx-x)'=f'(x)+lnx+1-1=f'(x)+lnx>0}$ αφού $\displaystyle{f'(x)\geq 0 \wedge lnx>0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in (1,e)}$

Δηλαδή η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα,κατ'επέκταση, το $x_{0}$ που βρήκαμε παραπάνω, είναι μοναδικό.

A' ΔΕΣΜΗ 1994

A' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994

Re: A' ΔΕΣΜΗ 1994

Μέλη σε σύνδεση