Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

#21

$\Gamma 3$ . Αλλιώς για την πλάγια ασύμπτωτη.

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {h(x) - x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\ln ({e^x} + 1)} \right)}$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{e^x} + 1} \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\ln ({e^x} + 1)} \right)\mathop = \limits^{u = {e^x} + 1} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \ln u = 0}$

Άρα η ευθεία με εξίσωση $\boxed{y=x}$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_h

στο $\displaystyle{ - \infty }$

spege · #22

Christos75 έγραψε:
spege έγραψε:το Γ4 δεν μου αρέσει ....ισως να έχει πρόβλημα
Σπύρος

Σαν τι πρόβλημα?

ακυρο

melakou · #23

Βαγγέλης Κορφιάτης έγραψε:Καλημέρα συνάδελφοι.
Είμαι νέος στο δίκτυο και δεν έχω εξοικειωθεί με το περιβάλλον.
Νομίζω ότι η πρόταση γ στο Α θέμα πρέπει να χαρακτηριστεί λάθος.
Πιθανόν η συνάρτηση να ορίζεται σε μεμονωμένο σημείο στο οποίο να παρουσιάζει το ολικό μέγιστο.
Το ολικό μέγιστο δεν είναι κατ' ανάγκην ούτε το supremum των τοπικών μεγίστων.

Γιατί να έχεις άδικο;

#24

ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεώρημα , σχολικό σελ 251
Α2. Ορισμός , σχολικό σελ 273
Α3. Ορισμός , σχολικό σελ 150
Α4.
α. Λάθος , σχολικό σελίδα 91
β. Σωστό , σχολικό σελίδα 178
γ. Σωστό , σχολικό σελίδα 260
δ. Σωστό , Θεώρημα, σχολικό σελίδα 332
ε. Λάθος , Σχολικό : Προκύπτει από το σχόλιο σελίδα 254

alexandropoulos · #25

Christos75 έγραψε:
spege έγραψε:το Γ4 δεν μου αρέσει ....ισως να έχει πρόβλημα
Σπύρος

Σαν τι πρόβλημα?

Δεν διαθετω χρόνο να δώσω τη λύση.. Θα έλεγα μάλιστα ότι είναι και απλό

tsalikdimd · #26

Μια διαφορετική αντιμετώπιση του Δ2 α
Για $\displaystyle{\chi \in \left( { - \infty ,0} \right)}$ η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής στο 0 με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\mathop e\nolimits^x - 1}}{x} = 0}$ άρα f( $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right)}$ )=(0,1) άρα f(χ)>0 για κάθε χ<0 Όμοια δουλεύουμε για χ>0 για να αποδείξουμε την μοναδικότητα της ρίζας αφού $\displaystyle{\int\limits_1^{2f(x)} {f(u)du > 0} }$

koshnaranek · #27

Επειδή είμαι πολύ νέος συνάδελφος θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση σε όλους εσάς που ασχολείστε πολλά χρόνια με το μάθημα

Θυμάστε κάποια χρόνια που τα θέματα να ήταν ευκολότερα?
εμένα μου φαίνονται πολύ εύκολα, δηλαδή όποιος έχει δουλέψει ένα 1-2 βοηθήματα γράφει πολύ καλά, αλλά ίσως να κάνω λάθος, ποια είναι η γνώμη σας σε αυτό?

xgastone · #28

Εύκολα ή δύσκολα; Θα παρακαλούσα τους συναδέλφους να απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση μετά από ένα μήνα, που θα βγούν και τα επίσημα στατιστικά του υπουργείου.
Η απόδοση των μαθητών και ΜΟΝΟ ΑΥΤΗ , μπορεί να δώσει απάντηση σε αυτό το ερώτημα.

efakop · #29

Μια διαφορετική προσέγγιση στο Δ2 α θα μπορούσε να είναι εξής;

Η f θετική στο R (μέσω συνόλου τιμών) και συνεχής κατ' επέκταση το ολοκλήρωμα θα είναι μηδέν αν και μόνο αν τα άκρα είναι ίσα.

perpant · #30

xgastone έγραψε:Εύκολα ή δύσκολα; Θα παρακαλούσα τους συναδέλφους να απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση μετά από ένα μήνα, που θα βγούν και τα επίσημα στατιστικά του υπουργείου.
Η απόδοση των μαθητών και ΜΟΝΟ ΑΥΤΗ , μπορεί να δώσει απάντηση σε αυτό το ερώτημα.

Θα συμφωνήσω. Η κουβέντα εύκολα-δύσκολα αυτή τη στιγμή δημοσίως δεν προσφέρει κάτι. Μας παρακολουθούν και μαθητές.

#31

Νομίζω ότι έχει ξεχαστεί το Γ4)

Γ4)

Είναι $\displaystyle \varphi \left( x \right) = {e^x}\left( {h\left( x \right) + \ln 2} \right) = {e^x}\left( {x + \ln \frac{2}{{{e^x} + 1}}} \right),\;\;x \in IR$

Είναι $\displaystyle \varphi \left( 0 \right) = 0$ και $\displaystyle \varphi \left( x \right) > 0$ για $\displaystyle x > 0$

Είναι $\displaystyle E = \int_{\,0}^{\,1} {\left( {{e^x}h\left( x \right) + {e^x} \cdot \ln 2} \right)dx} = \int_{\,0}^{\,1} {{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }hx\,dx} + \ln 2\int_{\,0}^{\,1} {{e^x}\,dx} =$

$\displaystyle = \left[ {{e^x}\;h\left( x \right)} \right]_0^1 - \int_{\,0}^{\,1} {{e^x}{{\left( {h\left( x \right)} \right)}^\prime }\,dx} + \ln 2\left( {{e^1} - {e^0}} \right) = {e^1} \cdot h\left( 1 \right) - {e^0} \cdot h\left( 0 \right) - \int_{\,0}^{\,1} {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}\,dx} + e\ln 2 - \ln 2 =$

$\displaystyle \begin{array}{l} = e\left( {1 - \ln (e + 1} \right) + \ln 2 - \int_{\,0}^{\,1} {\frac{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^\prime }}}{{{e^x} + 1}}\,dx} + e \cdot \ln 2 - \ln 2 = \\ = e - e \cdot \ln \left( {e + 1} \right) - \left[ {\ln \left( {{e^x} + 1} \right)} \right]_0^1 + e \cdot \ln 2 = \\ = e + \left( {e + 1} \right)\ln \left( {\frac{2}{{e + 1}}} \right)\;\;\tau .\mu . \end{array}$

#32

Λύση του Γ4: Είναι

$\displaystyle{\varphi \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow h\left( x \right) = - \ln 2 = h\left( 0 \right) \Leftrightarrow x = 0}$

και

$\displaystyle{\varphi \left( x \right) > 0 \Leftrightarrow h\left( x \right) > - \ln 2 = h\left( 0 \right) \Leftrightarrow x > 0}$

αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Άρα, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με

$\displaystyle{E = \int_0^1 {\varphi \left( x \right)} dx = \int_0^1 {{e^x}} \left[ {x - \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + \ln 2} \right]dx = }$

$\displaystyle{ = \int_0^1 {{e^x}} \ln \left( {\frac{{2{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)dx = \int_0^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }} \ln \left( {\frac{{2{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)dx = }$

$\displaystyle{ = \left[ {{e^x}\ln \left( {\frac{{2{e^x}}}{{{e^x} + 1}}} \right)} \right]_0^1 - \int_0^1 {{e^x}} \frac{{{e^x} + 1}}{{2{e^x}}}\frac{{2{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right) - 2{e^x} \cdot {e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx = }$

$\displaystyle{ = e\ln \left( {\frac{{2e}}{{e + 1}}} \right) - e \cdot \ln 1 - \int_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx} = }$

$\displaystyle{ = e\ln \left( {\frac{2}{{e + 1}}} \right) + e - \left[ {\ln \left( {{e^x} + 1} \right)} \right]_0^1 = }$

$\displaystyle{ = e\ln \left( {\frac{2}{{e + 1}}} \right) + e - \ln \left( {e + 1} \right) + \ln 2 = }$

$\displaystyle{ = \boxed{\left( {e + 1} \right)\ln \left( {\frac{2}{{e + 1}}} \right) + e}}$ τ.μ.

thanasis kopadis · #33

Για το Δ2)α) απάντηση μαθητή, που τη θέτω για τη γνώμη σας:
Απέδειξε ότι η

είναι διάφορη του μηδενός και συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο, οπότε εν συντομία, θα πρέπει τα άκρα του ολοκληρώματος να είναι ίσα, άρα έλυσε την εξίσωση 2f΄(x)=1

.

Christos75 · #34

Με προλάβανε οι...«προγραφήσαντες»!!! Κι εγώ το ίδιο έχω βρει πάντως οπότε προσυπογράφω.

asteriosc · #35

Καλημερα σας!
Εκφερωντας αποψη σαν πρωτοετης φοιτητης,της γενιας των πανελληνιων του 2013, πιστευω οτι για οποιον ειχε δουλεψει αρκετα τα θεματα ηταν βατα(ευκολοτερα απο το περσινα κατ΄ εμε) και καλυπταν ενα μεγαλο μερος της υλης..Η μονη δυσκολια που ισως υπηρχε για εναν μαθητη ειναι σ' ολο το Δ2 και ιδιαιτερα στο β που αναφερεται στο ρυθμο μεταβολης, ενα κεφαλαιο της υλης που δεν καλυπτεται οσο θα επρεπε ουτε απο σχολεια αλλα ουτε απο τα περισσοτερα φροντηστηρια!Ευτυχως για τους μαθητες η κατανομη των μοναδων στα θεματα-υποερωτηματα ηταν καλυτερη σ σχεση με περυσι...

Ζωβοΐλης Ηλίας · #36

Για το Γ4, καλό θα ήταν να βλέπαμε και μια λύση με αντικατάσταση!

dgk · #37

Νομίζω ότι στο Θέμα Δ2 β υπάρχει αστοχία. Το υλικό σημείο δε διέρχεται αναγκαστικά από το (0,1)

. Επισυνάπτω ένα παράδειγμα (αρχείο ggb).

bokalos · #38

koshnaranek έγραψε:Επειδή είμαι πολύ νέος συνάδελφος θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση σε όλους εσάς που ασχολείστε πολλά χρόνια με το μάθημα

Θυμάστε κάποια χρόνια που τα θέματα να ήταν ευκολότερα?
εμένα μου φαίνονται πολύ εύκολα, δηλαδή όποιος έχει δουλέψει ένα 1-2 βοηθήματα γράφει πολύ καλά, αλλά ίσως να κάνω λάθος, ποια είναι η γνώμη σας σε αυτό?

Θα μου επιτρέψεις να σου πω την άποψη μου, με την μικρή εμπειρία των 10 ετών που προετοιμάζω μαθητές για τις εξετάσεις.

Στα "εύκολα" αυτά θέματα...

1) Οι αδιάβαστοι μαθητές θα γράψουν μέχρι 3/20 (ανάλογα τι θα τους σφυρίξουν...)
2) Οι επιφανειακά διαβασμένοι μαθητές θα γράψουν πιθανόν: την θεωρία και τα ερωτήματα Β1, Β2, Β3, Γ1, Γ3, Δ1
δηλαδή στο περίπου θα γράψουν 12/20
(αν και αυτή η κατηγορία μαθητών είναι ικανοί σπάνια για το καλύτερο και συνήθως για το χειρότερο!)
3) Οι καλά διαβασμένοι μαθητές θα γράψουν επιπλέον τα ερωτήματα Γ2, Γ4, Δ2 (β) και θα βρούν την μοναδική ρίζα στο Δ2(α ) καθώς και τις δύο από τις τρεις ρίζες στο Δ3 , δηλαδή στο περίπου θα γράψουν 18/20
4)...και οι άριστοι θα γράψουν άριστα 20/20!

Βέβαια εγώ δεν θεωρώ ότι το 20/20 είναι κάτι τόσο απλό (ούτε καν για τον καθηγητή

) γιατί ένα γραπτό που γράφεται με τέτοια πίεση και σε τέτοιο χρονικό περιορισμό δεν έχει καμία σχέση με τις άρτια επιμελημένες λύσεις που βλέπουμε στο mathematica...και συνήθως μετά λέμε, ναι μωρέ έτσι θα το έλυνα και εγώ... αλλά με πρόλαβαν...

Προσωπικά λοιπόν κρίνω ότι τα θέματα φέτος απευθύνοταν σε μαθητές και για την ακρίβεια απευθύνονταν σε ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ και μακάρι να μην ήταν ένα πυροτέχνημα.

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά...

ArgirisM · #39

melakou έγραψε:
Βαγγέλης Κορφιάτης έγραψε:Καλημέρα συνάδελφοι.
Είμαι νέος στο δίκτυο και δεν έχω εξοικειωθεί με το περιβάλλον.
Νομίζω ότι η πρόταση γ στο Α θέμα πρέπει να χαρακτηριστεί λάθος.
Πιθανόν η συνάρτηση να ορίζεται σε μεμονωμένο σημείο στο οποίο να παρουσιάζει το ολικό μέγιστο.
Το ολικό μέγιστο δεν είναι κατ' ανάγκην ούτε το supremum των τοπικών μεγίστων.
Γιατί να έχεις άδικο;

Το βιβλίο αναφέρει ρητά πως αναφερόμαστε σε συναρτήσεις ορισμένες είτε σε διάστημα, είτε σε ένωση διαστημάτων, αποκλείοντας έτσι την περίπτωση του μεμονωμένου σημείου.
Πολύ νορμάλ γενικά τα θέματα. Μόνο γράψιμο είχαν. Ο ρυθμός μεταβολής ναι μεν αιφνιδίασε, αλλά δεν ήταν κάτι πραγματικά δύσκολο.

nikolaos p. · #40

Πολύ καλά τα θέματα. Καλά αποτελέσματα σε όσους έγραψαν σήμερσ!

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Μέλη σε σύνδεση