Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

#1

Από διαγωνισμό μαθηματικών στο 2009 επιλέγω την παρακάτω άσκηση.Το αρχείο δεν έχει λύσεις, αλλά αυτή δεν θα δυσκολέψει τους μαθητές ,τουλάχιστον της Γ΄Γυμνασίου.

ΑΣΚΗΣΗ

Να λύσετε στο σύνολο $\mathbb N$ την εξίσωση :

$\displaystyle{\frac {x^2+2}{2x+1} + \frac {x^2+3}{2x+2} +\frac {x^2+4}{2x+3} +...+\frac {x^2+2010}{2x+2009} = 2009}$

Μπάμπης

papel · #2

Μια γρηγορη σκεψη ειναι η ακολουθη παμε το 2009 απο την αλλη μερια
και το σπαμε σε 2009 αρνητικες μοναδες μια για καθε κλασμα.Παραγοντοποιωντας
καταλληλα βγαινει το (χ-1)^2*[αθροισμα 1/(2χ+κ)].Προφανως για χ=1 ικανοποειται.
Υπαρχει αλλη?

#3

papel έγραψε:Μια γρηγορη σκεψη ειναι η ακολουθη παμε το 2009 απο την αλλη μερια
και το σπαμε σε 2009 αρνητικες μοναδες μια για καθε κλασμα.Παραγοντοποιωντας
καταλληλα βγαινει το (χ-1)^2*[αθροισμα 1/(2χ+κ)].Προφανως για χ=1 ικανοποειται.
Υπαρχει αλλη?

Πολύ ωραία !

Η αγκύλη είναι θετική , οπότε αυτή είναι η μοναδική λύση.

Μπάμπης

papel · #4

Οντως ωραια η παρατηρηση για την αγκυλη και τελειωνει το θεμα.Παντως
κυριε Μπαμπη τα πραγματα που γαβγιζουν πρεπει να τα προσεχουμε γιατι
καμια φορα δαγκωνουν και μαλιστα ασχημα.

#5

Πάμε άλλη μια γρήγορη...
Είναι : $\displaystyle{\displaystyle \left( {x - 1} \right)^2 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow x^2 \geqslant 2x - 1,\forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow x^2 + 2 \geqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{{x^2 + 2}} {{2x + 1}} \geqslant 1,\forall x \in \mathbb{N}(1) }$
με την ισότητα να αληθεύει για ν=1.
Με όμοιο τρόπο λαμβάνω και :
$\displaystyle{\displaystyle \begin{gathered} \frac{{x^2 + 3}} {{2x + 2}} \geqslant 1,\forall x \in \mathbb{N}(2) \hfill \\ \frac{{x^2 + 4}} {{2x + 3}} \geqslant 1,\forall x \in \mathbb{N}(3) \hfill \\ ................ \hfill \\ \frac{{x^2 + 2010}} {{2x + 2009}} \geqslant 1,\forall x \in \mathbb{N}(2009) \hfill \\ \end{gathered} }$ , με τις ισότητες να ισχύουν όλες για χ=1.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις 2009 ανισότητες, έχουμε:

$\ \frac{{x^2 + 2}} {{2x + 1}} + \frac{{x^2 + 3}} {{2x + 2}} + ......\frac{{x^2 + 2010}} {{2x + 2009}} \geqslant 2009,\forall x \in \mathbb{N} \hfill \\ \end{gathered} \]$
και η ισότητα αληθεύει για χ=1.

papel · #6

Χρηστο αφου προσθετεις κατα μελη προκυπτει 2009 και οχι 1 στο τελικο αθροισμα.
Εξηγεις συντομα?

#7

Λάθος στο γράψιμο της άσκησης...Απ'ότι φαίνεται διορθώθηκε.Φυσικά και κάνει 2009. Συγνώμη!

p_gianno · #8

Καλησπέρα
μια λύση με γνώσεις μικρότερες αυτών της γ γυμνασίου.

equation.pdf: (53.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 139 φορές

Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Re: Εξίσωση που ...γαυγίζει, αλλά δεν δαγκώνει !

Μέλη σε σύνδεση