Ισομορφισμός

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε.

Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα και

ένα

-module.
Αν

είναι ελεύθερο

-module με rank

, πώς μπορούμε να δείξουμε ότι $\text{Hom}_R(F,M)\cong M\times \cdots \times M$ (

φορές) ;
Μπορείτε να μου δώσετε μία ιδέα;

BAGGP93 · #2

Γεια σου Ειρήνη.

Έχουμε ότι $\displaystyle{F\cong R^{n}$ ως $\displaystyle{R}$ - πρότυπα. Άρα,

λόγω μεταθετικότητας του $\displaystyle{R}$ , έχουμε ισομορφισμούς $\displaystyle{R}$ - προτύπων

$\displaystyle{\begin{aligned} \rm{Hom}_{R}(F,M)&\cong \rm{Hom}_{R}(R^n,M)\\&\cong \prod_{i=1}^{n} \rm{Hom}_{R}(R,M)\\&\cong\prod_{i=1}^{n}M\end{aligned}}$

και η τελευταία ισχύει διότι η απεικόνιση $\displaystyle{\Phi:\rm{Hom}_{R}(R,M)\to M\,,f\mapsto \Phi(f)=f(1_{R})$

είναι ισομορφισμός $\displaystyle{R}$ - προτύπων.

Ειρήνη 33 · #3

BAGGP93 έγραψε:η απεικόνιση $\displaystyle{\Phi:\rm{Hom}_{R}(R,M)\to M\,,f\mapsto \Phi(f)=f(1_{R})$

είναι ισομορφισμός $\displaystyle{R}$ - προτύπων.

Για να δείξουμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι ισομορφισμός κάνουμε τα εξής;

Έστω $f,g\in \text{Hom}_R(R,M)$ .
Έχουμε ότι
$\\ \Phi (f+g)=(g+g)(1_R)=f(1_R)+g(1_R)=\Phi (f)+\Phi (g) \\ \Phi (af)=(af)(1_R)=af(1_R)=a\phi (f)$
Άρα η $\Phi$ είναι ομομορφισμός.

Έστω $\Phi (f)=\Phi (g)$ . Τότε f(1_R)=g(1_R)

.
Άρα $f(r)=rf(1_R)=rg(1_R)=g(r), \forall r\in R$ .
Άρα η $\phi$ είναι 1-1.

Για κάθε $y\in M$ ορίζουμε την

ως εξής:
$f: R\rightarrow M$ με f(r)=ry

Άρα για κάθε $y\in M$ έχουμε ότι $\Phi (f)=f(1_R)=y$ .
Οπότε η $\Phi$ είναι επί.

Ειρήνη 33 · #4

BAGGP93 έγραψε:Έχουμε ότι $\displaystyle{F\cong R^{n}$ ως $\displaystyle{R}$ - πρότυπα. Άρα,

λόγω μεταθετικότητας του $\displaystyle{R}$ , έχουμε ισομορφισμούς $\displaystyle{R}$ - προτύπων

$\displaystyle{\begin{aligned} \rm{Hom}_{R}(F,M)&\cong \rm{Hom}_{R}(R^n,M)\\&\cong \prod_{i=1}^{n} \rm{Hom}_{R}(R,M)\\&\cong\prod_{i=1}^{n}M\end{aligned}}$

Σε ποιό σημείο χρησιμοποιούμε την μεταθετικότητα του

;

BAGGP93 · #5

Ειρήνη 33 έγραψε:
BAGGP93 έγραψε:η απεικόνιση $\displaystyle{\Phi:\rm{Hom}_{R}(R,M)\to M\,,f\mapsto \Phi(f)=f(1_{R})$

είναι ισομορφισμός $\displaystyle{R}$ - προτύπων.

Για να δείξουμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι ισομορφισμός κάνουμε τα εξής;

Έστω $f,g\in \text{Hom}_R(R,M)$ .
Έχουμε ότι
$\\ \Phi (f+g)=(g+g)(1_R)=f(1_R)+g(1_R)=\Phi (f)+\Phi (g) \\ \Phi (af)=(af)(1_R)=af(1_R)=a\phi (f)$
Άρα η $\Phi$ είναι ομομορφισμός.

Έστω $\Phi (f)=\Phi (g)$ . Τότε .
Άρα $f(r)=rf(1_R)=rg(1_R)=g(r), \forall r\in R$ .
Άρα η $\phi$ είναι 1-1.

Για κάθε $y\in M$ ορίζουμε την ως εξής:
$f: R\rightarrow M$ με
Άρα για κάθε $y\in M$ έχουμε ότι $\Phi (f)=f(1_R)=y$ .
Οπότε η $\Phi$ είναι επί.

Εδώ πολύ σωστά. Μόνο, που στην προτελευταία γραμμή, σβήσε το για κάθε $\displaystyle{y\in M}$ . Όπως έγραψες, αν σου δώσουν $\displaystyle{y\in M}$ ,

τότε εσύ ορίζεις την παραπάνω απεικόνιση και έχεις $\displaystyle{\Phi(f)=f(1_{R})=y}$ .

Ειρήνη 33 έγραψε:
BAGGP93 έγραψε:Έχουμε ότι $\displaystyle{F\cong R^{n}$ ως $\displaystyle{R}$ - πρότυπα. Άρα,

λόγω μεταθετικότητας του $\displaystyle{R}$ , έχουμε ισομορφισμούς $\displaystyle{R}$ - προτύπων

$\displaystyle{\begin{aligned} \rm{Hom}_{R}(F,M)&\cong \rm{Hom}_{R}(R^n,M)\\&\cong \prod_{i=1}^{n} \rm{Hom}_{R}(R,M)\\&\cong\prod_{i=1}^{n}M\end{aligned}}$

Σε ποιό σημείο χρησιμοποιούμε την μεταθετικότητα του ;

Αν $\displaystyle{M\,,N}$ είναι δύο $\displaystyle{R}$ - πρότυπα, τότε το σύνολο $\displaystyle{\rm{Hom}_{R}(M,N)}$ εφοδιασμένο

με τη συνήθη πρόσθεση απεικονίσεων, είναι μια αβελιανή ομάδα. 'Οταν ο δακτύλιος δεν είναι μεταθετικός, η σχέση

$\displaystyle{\rm{Hom}_{R}(R^N,M)\cong \prod_{i=1}^{n} \rm{Hom}_{R}(R,M)$ είναι σε επίπεδο αβελιανών ομάδων.

Αν θες να κάνεις την αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left(\rm{Hom}_{R}(M,N),+\right)}$ ένα $\displaystyle{R}$ - πρότυπο, τότε η φυσιολογική

απεικόνιση που μπορείς να ορίσεις, είναι η $\displaystyle{r\cdot f:M\to N\,,(r\cdot f)(x)=r\,f(x)\,\,,\forall\,r\in R\,\,,\forall\,f\in\rm{Hom}_{R}(M,N)\,\,(\ast)}$

Αν ο δακτύλιος δεν είναι μεταθετικός, δες τότε, ότι εν γένει,

$\displaystyle{\begin{aligned} (r\cdot f)(x+s\,y)&=r\,f(x+s\,y)\\&=r\,(f(x)+s\,f(y))\\&=r\,f(x)+(r\,s)\,f(y)\\&\neq r\,f(x)+(s\,r)\,f(y)\\&=(r\cdot f)(x)+s\,(r\cdot f)(y)\end{aligned}}$ .

Αν έχεις τη μεταθετικότητα, τότε η απεικόνιση στην $\displaystyle{(\ast)}$ είναι καλώς ορισμένη και με αυτή παίρνουμε $\displaystyle{R}$ - πρότυπο.

Ένας ισομορφισμός για την $\displaystyle{\rm{Hom}_{R}(R^N,M)\cong \prod_{i=1}^{n} \rm{Hom}_{R}(R,M)}$ είναι ο

$\displaystyle{\Psi:\prod_{i=1}^{n}\rm{Hom}_{R}(R,M)\to \rm{Hom}_{R}(R^n,M)\,\,,\Psi(f_1,...,f_n)(r_1,...,r_n)=\sum_{i=1}^{n}f_{i}(r_i)}$ .

Επιπλέον, αυτή η απεικόνιση ικανοποιεί το ακόλουθο για τυχόντα $\displaystyle{a\in R\,\,,\left(f_1,...,f_n\right)\in\rm{Hom}_{R}(M,N)}$ ,

$\displaystyle{\begin{aligned} \Psi(a\,(f_1,...,f_n))(r_1,...,r_n)&=\Psi(a\,f_1,...,a\,f_n)(r_1,...,r_n)\\&=\sum_{i=1}^{n}(a\,f_{i})(r_i)\\&=\sum_{i=1}^{n}(a\,f_{i}(r_{i}))\\&=a\,\sum_{i=1}^{n}f_{i}(r_{i})\\&=\left(a\,\Psi(f_1,...,f_n)\right)(r_1,...,r_n)\,,\forall\,(r_1,...,r_n)\in R^n\end{aligned}}$

Άρα, η $\displaystyle{\Psi}$ είναι ισομορφισμός $\displaystyle{R}$ - προτύπων και συνεπώς,

$\displaystyle{\rm{Hom}_{R}(R^n,M)\cong \prod_{i=1}^{n}\rm{Hom}_{R}(R,M)}$ ως $\displaystyle{R}$ πρότυπα.

Ισομορφισμός

Ισομορφισμός

Re: Ισομορφισμός

Re: Ισομορφισμός

Re: Ισομορφισμός

Re: Ισομορφισμός

Μέλη σε σύνδεση