Καλό μεσημέρι σε όλους. Μια ακόμη προσέγγιση Ισεμβαδικά με μια ευθεία . PNG.PNG Το μισό του συνολικού εμβαδού είναι μια πράσινη μαζί με μια κίτρινη περιοχή. Αρκεί να είναι $\left ( CIA \right )=\left (EZH \right )$ τότε η $IC$ είναι κατάλληλη (όχι μοναδική βεβαίως). Έχουμε $\left ( CIA \right )=\le...

Καλημέρα! Σταύρο και Γιώργηδες σας ευχαριστώ για την κάλυψη του θέματος. Παρόμοια λύση, συνοπτικά Θέτω $sinx=y ... 0< y\leq 1$ . Η $\dfrac{ay}{b+y}$ γίνεται μέγιστη στο μέγιστο της $\dfrac{y}{b+y}$ κι' αυτή στο ελάχιστο της $\dfrac{b+y}{y}=\dfrac{b}{y}+1$ δηλ. όταν το $sinx=y$ γίνεται μέγιστο , άρα...

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους. Το παρόν θέμα έχει την ίδια αφετηρία με αυτό αλλά στην συνέχεια πήρε την ακόλουθη διαδρομή: Υπολογισμένη καθετότητα.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=54^{0}$ και $BC=\Phi +3$ όπου $\Phi $ ο χρυσός αριθμός. Το $N \in BC$ με $NC=1$ και το $E \in AN$ ώστε...

Καλό βράδυ-Καλημέρα σε όλους! Έχω την αίσθηση ότι το παρακάτω θέμα έχει προβληθεί αλλά θεωρώ πως θα τραβήξει το ενδιαφέρον και σε αρκετούς -κυρίως νεότερους-που δεν το γνωρίζουν. 19-10 Τριχοτόμηση γωνίας!.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$. Το σημείο $N \in BC$ ώστε $BN=2NC$. Εντοπίζουμε το $E \in A...

Καλό βράδυ. Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ξεχωριστές λύσεις! Ακόμη μία με τη βοήθεια και του σχήματος. Από το Φ στο π..ΙΙ PNG.PNG Είναι $\widehat{B}=\widehat{C}=54^{0}$ και $\widehat{BZE}=2\cdot 18^{0}=36^{0}$ άρα $\widehat{BEZ}=90^{0}$ δηλ $BZ$ διάμετρος. Έχουμε $cos18^{0}=\dfrac{BM}{BH}...

Γεια σας. Με άριστα το 10.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC=15$ και $BC=18$.Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο $E$ επί της πλευράς $AB$. Η $CE$ τέμνει την διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο σημείο $H$. Ο κύκλος που ορίζουν τα $B,E,H$ τέμνει ξανά την $BC$ στο $N$. Να δειχθεί ότι ισχύει $BN\leq 10$ . $24$ ώρες γ...

Καλησπέρα. Ας θεωρήσουμε την παράσταση $\Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx}$ όπου τα $a,b$ είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί ενώ το $x$ μεταβάλλεται στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$. Να βρεθεί η τιμή του $x$ που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση $\Pi \left ( x \right )$...

Χαιρετώ τους φίλους! Μετά και τις νέες εξαιρετικές προσθήκες από τους Γιώργο και Αλέξανδρο ας δούμε τον σκοπό για τον οποίο ζήτησα τη σχέση μεταξύ των $k$ και $m$ ( δείτε την ανάρτηση #8 του παρόντος ) Έχουμε $AF=ma...AE=ka$ οπότε $BF=(1-m)a...DE=(1-k)a$ ενώ $ \boxed{m = \frac{{2(1 - k)}}{{2 - k}}}...

Καλό βράδυ σε όλους! Μια λογιστική λύση Ισόπλευρα και μέσα.PNG Αν $L$ το μέσον του $AS$ αρκεί να δείξουμε ότι $LM=LN=MN$ Έστω $BM=1$ (μονάδα μέτρησης) και $BS=k$. Τότε έχουμε: Στο τρίγωνο $LAM$ είναι $AM=\sqrt{3}..AL=1-\dfrac{k}{2}$ και $\widehat{LAM}=30^{0}$. Στο $BMN$ είναι $BM=1..BN=k/2$ και $\w...

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Ratio για την ενασχόληση με το θέμα. Όμως.. Καθώς το $E$ διατρέχει την πλευρά $AB$ η $BZ$ δεν είναι διάμετρος του κύκλου . Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το $(BZ)$ γίνεται μέγιστο όταν η $BZ$ γίνει διάμετρος.. Μέγιστο..ΙΙ.PNG Αν $BZ$ διάμετρος αυτό σημαίνει $\widehat{BCE}=\w...

Καλή Κυριακή! Με αφορμή άλλο θέμα έφτασα στο ανοικτό (*) θέμα που ακολουθεί Τρίγωνο, κύκλος σε...καλά χέρια!.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC$ και $M$ το μέσον της $BC$. Το σημείο $E$ κινείται στην πλευρά $AB$. Η $CE$ τέμνει την $AM$ στο $H$ και ο κύκλος των $B,E,H$ τέμνει την $BC$ και στο $...

Καλημέρα σε όλους! Από το Φ στο π.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $AB=AC...\widehat{A}=72^{0}$ και $M$ το μέσον της $BC$. Θεωρούμε το $E \in AB$ ώστε $\widehat{BCE}=18^{0}$. Η $CE$ τέμνει την $AM$ στο $H$. Αν $BC=5\Phi cm$ ( $\Phi $ , ο χρυσός αριθμός ) τότε Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκο...

Καλημέρα! Με χρήση του σχήματος Α.Π KARKAR.PNG Τα $P,H$ είναι τα μέσα των $AZ,CE$ με $AZ \parallel EC$. Τότε , ως γνωστόν , η $PH$ διέρχεται από την τομή $M$ των διαγωνίων $AE,ZC$ του τραπεζίου $ZECA$ Αν $BC=AD=a...BE=DZ=b$ τότε $AP=\dfrac{a+b}{2}$ και $BH=a+\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{a+b}{2}$ άρα $AP= ...

Καλό βράδυ! Αν μέσον του τότε οπότε το παραλληλόγραμμο , άρα .

Ακόμη και . Προκύπτει .
Φιλικά Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους! Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ για τις πλήρεις λύσεις!! Για τα ζητούμενα ΙΙ και ΙΙΙ (είχα τον λόγο μου να ) γνωρίζω ότι ισχύουν γενικότερα. Το πρώτο δεν σκέφτηκα να το ελέγξω.. Ο Αλέξανδρος έχει βεβαίως .. :10sta10: δίκιο! :clap2: Άλλωστε μπορώ να φέρω..αντίρρηση σ'αυτόν που.. :...

Καλή Κυριακή. Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG Το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $E \in AD$ με $AE=3ED$. Η $CE$ τέμνει την $BD$ στο $Z$ . Ο κύκλος που ορίζουν τα $A,E,Z$ τέμνει την $BD$ και στο $H$ ενώ την $AB$ και στο $F$. Να δείξετε ότι : Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα ...

Καλό μήνα! Μια όψιμη προσέγγιση Αχ έλατο..νέο.PNG Ας είναι $BM=MC=DN=1$ τότε $BC=AD=2$ Θέτω $DM=k \Rightarrow BD=1-k..DC=k+1$. Έχουμε $\widehat{HBD}=\widehat{DAC}=\omega $ οπότε $\dfrac{HD}{BD}=\varepsilon \varphi \omega =\dfrac{DC}{AD}\Rightarrow HD=\dfrac{1-k^{2}}{2}$ και $HN=ND-HD=\dfrac{1+k^{2}...

Καλησπέρα. Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη σας ευχαριστώ! Μία ακόμη προσέγγιση Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG Φέρνω τα ύψη $PN,PM$ των εν.. λόγω τριγώνων.Όπως στην (#8) ανάρτηση του δημοφιλούς θέματος Η εκ του Nagel.. βρίσκουμε $\boxed{PN\cdot BZ=PM\cdot DE}$. Απ' αυτή παίρνουμε $\dfrac{PN}{PM}=\dfrac{DE}{...

Καλή εβδομάδα σε όλους! Να ευχαριστήσω τον αγαπητό angvl για την ενασχόλησή του με το θέμα. Νομίζω όμως ότι πρέπει να το αντιμετωπίσουμε και με τον λόγο $\dfrac{DC}{BD}$ ως τυχαίο-μεταβλητό ... εδώ στη λύση είναι σταθερός (ως δοσμένη σχέση) : $\dfrac{DC}{BD}=2$... Ένα ακόμη ευχαριστώ στον Γιώργο - ...

Καλή Κυριακή σε όλους . Ισότητα γωνιών.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ το $AD$ είναι ύψος με $AD=BC$ . Έστω $M,N$ τα μέσα των $BC,AD$ αντιστοίχως. Η μεσοκάθετος του $MN$ τέμνει την $AD$ στο $H$. Να δειχθεί ότι $B\widehat{H}D=\widehat{C}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος. Δεκτή κάθε λύση , ακόμη και με ύλη Γυμνασίου!