Χαίρετε! Τρεις ορθές για μια καθετότητα.png Το $AD$ είναι ύψος του τριγώνου $ABC$ , το $M$ μέσον της $AC$ και το $I \in AB$ ώστε $DI \perp AB$ Το ημικύκλιο διαμέτρου $IM$ τέμνει την $ID$ στο $K$ και $F$ είναι το συμμετρικό του $D$ ως προς το $K$ Αν ο κύκλος των $B,A,F$ τέμνει την $BC$ και στο $S$ τ...

Καλή Κυριακή! Φέρω $TH \perp AB $ και $BQ\perp TS$. Ας είναι $TH=a=3$ και $AH=x$ tan 93.png Είναι $AH \cdot HS=TH^{2}$ άρα $x\left ( 10-x \right )=9$ με δεκτή λύση $x=1$ οπότε $tan\theta =\dfrac{AH}{TH}=\dfrac{1}{3}$ Ακόμη $HS=9$ , με Π.Θ $TS=3\sqrt{10}$ και $BQ\cdot TS=2\left ( BST \right )=TH\cdo...

Καλό βράδυ στους φίλους! Σε Α-γωνία.png [/color][/b] Ο κύκλος τέμνει την $BC$ στα $I,Z$. Τα τρίγωνα $BID$ και $BZD$ έχουν με το $BAD$ την $BD$ κοινή, $DI=DZ=DA$ κι' από μια $20$άρα γωνία. Από κατασκευή το ένα είναι ίσο με το $BAD$ , προφανώς το $BID$ με $\widehat{BID}=100^o$. Με την βοήθεια των γων...

Καλημέρα! Είδα την $\sqrt{5}$ και ..μπήκα, αφού πίσω της .. :) ..κρύβεται ο χρυσός αριθμός $\Phi$. Έστω κύκλος $(O, r)$ και τα εφαπτόμενα τμήματα $SA=ST=y.$ Είναι $DB=DA=r$ και $\displaystyle T\widehat DB = A\widehat ST = \theta. $ Η $DB$ τέμνει την $ST$ στο $N,$ όπου θέτω $BN=NT=x.$ Η $TO$ τέμνει ...

Παραλλαγή τηςπροηγούμενης Είναι οπότε , ενώ συνεπώς . Φιλικά, Γιώργος.

Καλησπέρα! Είναι , ενώ το είναι τόξο αφού . Άρα .

Όπως βλέπω - εκ των υστέρων- είναι η λύση του Κώστα , ας μείνει για το σχήμα..

Χαιρετώ.

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο , όπου ( ο χρυσός αριθμός ).

Να βρεθούν οι ρίζες του . Ζητείται και λύση χωρίς χρήση παραγώγου.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες. Θερμές ευχές στον αγαπητό Μπάμπη Στεργίου!

Καλό βράδυ! Μια ακόμη...περιπλανώμενη Μήκος διχοτόμου .png Στο σχήμα είναι $EDZ \perp AD$ οπότε $AE=AZ=2d$ επομένως $BE=2d-10...ZC=15-2d$ ενώ $EL,ZI \perp BC$. Τα ορθ. τρίγωνα $DEL,DIZ$ είναι ίσα άρα $EL=ZI=m$. Έχουμε $m=\left ( 2d-10 \right )sinB$ αλλά και $m=\left ( 15-2d \right )sinC$ . Έπεται $...

Καλησπέρα! Με χρήση και του σχήματος Διχοτόμος σε τραπέζιο.png Αρκεί το $T$ να ισαπέχει από τις $BA$ και $BC$. Έχουμε $2\left ( TAC \right )=AT\cdot CH$ αλλά και $2\left ( TAC \right )=CT \cdot AO$ οπότε $AT \cdot CH=CT \cdot AO ...(1)$ Ακόμη $\dfrac{TM}{AT}=sin\omega =\dfrac{CH}{CD}\Rightarrow TM\...

Καλημέρα! Είναι αλλά και .

Εξισώνοντας παίρνουμε . Φιλικά, Γιώργος.

Χαιρετώ. Πεντάδα ομοκυκλικών(1).png Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ και την διχοτόμο του $BE$ όπου $BE=AE$. Στην προέκταση της $BC$ παίρνουμε $CD=AB$ . Έστω $(O,R)$ ο κύκλος των $A,B,D$ και οι $BE,AC$ τον τέμνουν στα $Z,H$ αντιστοίχως, ενώ $F$ είναι η τομή των $BD$ και $ZH$. Ι) Να δειχθεί ότι τα $B,E,O,F...

Καλησπέρα σε όλους! 31-1 Χρυσός λόγος.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$. Θεωρούμε το $E \in BC$ ώστε να είναι $\widehat{AEC}=2\widehat{EAC}$. Στην προέκταση της $BC$ παίρνουμε $CI=AE$. Αν είναι $\widehat{BIA}=30^o$ τότε Να εξεταστεί η σχέση του λόγου $\dfrac{\left ( ICA \right )}{(ABE)}$ με τον χρυ...

Χαιρετώ και πάλι! Σε επανάληψη η ωραία λύση του Γιώργου , με άλλα λόγια και μέρος του σχήματος αυτής Σύμφωνα με το σχήμα (παράγραφος 9.7) του σχολικού είναι . Φιλικά, Γιώργος.

Καλό βράδυ ! Με μικρή μόνο παραλλαγή προς το τέλος της λύσης, με χρήση και του σχήματος tan86.png Έχουμε $\varphi =\dfrac{\pi -\theta }{2}$ ενώ δίνεται $tan\theta =2$. Θέτω $OA=1$ και $OB=x$ . Τότε $OE=2...BE=2-x$ ενώ $AE=\sqrt{5}$ Το Θ. διχοτόμου δίνει $\dfrac{2-x}{x}=\sqrt{5}\Rightarrow x=\dfrac{...

Καλό βράδυ σε όλους! Μιας και που ...tan... αναφέραμε πολλές, τις περισσότερες .. :lol: ..ο KARKAR ( Θανάση πολύχρονος! ) ας δουμε μια ακόμη χωρίς εφαπτομένη. Στο αρχικό σχήμα του Φάνη είναι $BE=2\sqrt{13}$ και $CE=\sqrt{225+x^{2}} $. Έχουμε $\left ( ABCD \right )=\left ( ABE \right )+\left ( BEC \...

Καλησπέρα!
Λίγο διαφορετικά: Η εξήγηση θ΄ακολουθήσει...

Όπως βλέπω , με πρόλαβε ο αγαπητός Μιχάλης!

Χαιρετώ! Υπολογισμός εφαπτομένης.png Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο και $E \in AB$. Ο κύκλος των $A,E,C $ τέμνει την $AD$ και στο $Z$. Οι $BD,EZ$ τέμνονται στο $K$ και το $I$ είναι το συμμετρικό του $E$ ως προς το $K$. Αν ισχύει $\dfrac{ZI}{KE}=tan\omega $ , όπου $\omega =\widehat{ADB}$ τότε: Να υπολογί...

Χαιρετώ! Επανέρχομαι λοιπόν για μια ακόμη προσέγγιση , με χρήση του σχήματος 4 Ορθές για μια καθετότητα II.png Αρκεί να είναι το $Z$ ορθόκεντρο του τριγώνου $AEF$. Με το $EP$ ύψος θα δείξουμε ότι και το $FN$ είναι επίσης ύψος του. Το $APED$ (με 2 απέναντι ορθές) είναι εγγράψιμο άρα $\widehat{PEA}=\...

Καλό βράδυ σε όλους! Τα ορθογώνια $OASB , OCTD$ είναι ισεμβαδικά . Τα $N ,M$ είναι τα μέσα των $AS , CT$ και : $L\equiv AC\cap NM$ . α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις $a,b,c,d$ . Ισεμβαδικά...png α) Είναι $(BCD)=(BCA...