Καλό βράδυ! Ορθογώνιο τρίγωνο.PNG Από τα ισοσκελή τρίγωνα $BAN,CAM$ παίρνουμε $\widehat{AMC}=90^\circ -\widehat{C}/2$ και $\widehat{ANB}=90^\circ -\widehat{B}/2$. Τότε στο τρίγωνο $MAN$ έχουμε $\widehat{M}+\widehat{N}=180^\circ -\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=135^\circ$ άρα $\widehat{MAN}=45^\c...

Χαιρετώ. Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG Δίνεται το τρίγωνο $ABC$. Το σημείο $R$ διατρέχει την διχοτόμο $AD$ . Η κάθετη από το $R$ προς την $BC$ τέμνει την διάμεσο $AM$ στο $E$ και η παράλληλη από το $E$ προς την $BC$ τέμνει την $AB$ στο $Q$ και την $AC$ στο $F$. Ακόμη, ο κύκλος των $R,E,Q$ τέμν...

Καλό μήνα! Παρά τους χαλεπούς καιρούς, ας αισιοδοξούμε.. Βρείτε τη βάση.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $\widehat {A}=50^\circ$. Το $E \in AB$ ώστε $\widehat {BCE}=40^\circ$. Αν $AE=2$ τότε: Να υπολογιστεί το μήκος της $BC$ . Μερικοί .. :) ..επιμένουν και χωρίς "έτοιμους" τριγωνομετρικούς αρι...

Καλό βράδυ σε όλους. Ακόμη μία , λογιστική με δύο εκφράσεις του εμβαδού. Από $AC \perp BD$ έπεται $\left ( ABCD \right )=AC\cdot BD/2\Rightarrow 4\left ( ABCD \right )^{2}=AC^{2}\cdot BD^{2}=\left ( b^{2}+h^{2} \right )\left ( a^{2}+h^{2} \right )$ ενώ και $4\left ( ABCD \right )^{2}=\left ( a+b \r...

Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG $\bigstar$ Το τρίγωνο $ABC$ έχει πλευρές $\left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right )$ και $I$ το έγκεντρο αυτού. Αν $BE \perp CI$ με $E \in CA$ τότε Να εξεταστεί αν το $I$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ...

Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση, ωραία αντιμετώπιση!

Μόνο στο τέλος είναι οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι .

Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι .. Φιλικά, Γιώργος.

Καλημέρα . Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG Το $I$ είναι το έγκεντρο και το $G$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$ , η $AD$ διχοτόμος του ενώ τα $M,N$ είναι τα μέσα των $AB$ και $AC$. Οι $DM,DN$ τέμνουν τις $IB,IC$ στα $E,P$ αντιστοίχως.Αν $IG \parallel BC$ τότε: Ι) Να εξεταστεί αν το $PIED $ είναι εγγράψ...

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες. Ιδιαίτερες ευχές στον Βαγγέλη Μουρούκο και τον Βαγγέλη Παπαπέτρου!
Καλή δύναμη και πολλή υπομονή σε όλους μας.

Καλό βράδυ.
Οι όροι στο α' μέλος είναι μη αρνητικοί άρα πρέπει , δηλ επιτρεπτές για το οι τιμές : .
Φιλικά, Γιώργος.

Καλησπέρα και χρόνια πολλά! Από ένα θερμό :clap2: στους Ορέστη,Πρόδρομο και Θεοδόση κι' ένα εύγε για τα εντυπωσιακά αντανακλαστικά τους! Ευχαριστώ βεβαίως τους Νίκο και Μιχάλη για την συνδρομή τους. Μια ακόμη προσέγγιση. Πανσέληνος.PNG Στο σχήμα αριστερά είναι $CE=BC$. Με τη βοήθεια των γωνιών προκ...

Καλό βράδυ. Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες επεμβάσεις σας! Το σχήμα που είχα κατά νου είναι περίπου το ίδιο με το τελευταίο του angvl . Ας το δούμε γενικότερα: Σύγκριση εμβαδών.PNG Τα τρία ορθογώνια τρίγωνα είναι προφανώς ίσα συνεπώς τα $BAD$ και $BAC$ με πλευρές $\left ( b,b,a \right )$ και $\...

Καλό βράδυ. Κάθετες κι' αυτές!.PNG Το τραπέζιο $ABCD$ έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και $AD=CD$ ενώ είναι $AB=75$ και $BC=100$. Έστω $M$ το μέσον της $BC$ και σημείο $E \in AD$ ώστε $ME=86$. Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ . Σας ευχα...

Γεια σας. Τρίγωνο και ..πανσέληνος.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $BC=2$ και $AC=1+\sqrt{3}$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν ισχύει $\widehat{C_{\varepsilon \xi }}=2\widehat{B_{\varepsilon \xi }}$ τότε: Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Επειδή ενδέχεται το παρόν να δυσκολέψει (προσωρινά πάν...

Καλό βράδυ! Ευχαριστώ τον νεαρό geoberdenis2004 (να μαντέψω..Γιώργος-$16$άχρονος ; ) και τον Πρόδρομο για τις απαντήσεις, αλλά και τον KARKAR που προσπαθεί να μας '' βάλει σε νόημα". Έχω λοιπόν ένα ακόμη σχήμα που μάλλον καθιστά τα λόγια .. περιττά! Εννοείται πως δεν θα βιαστώ να το υποβάλω. Φιλικά...

Καλό βράδυ! Διχοτόμος ..KARKAR.PNG Το τρίγωνο $ACE$ είναι το συμμετρικό του $ABC$ ως προς την $AC$ άρα ίσο με αυτό. Ο κύκλος $\left ( C,a \right )$ τέμνει την $AE$ και στο $T$. Από τα ισοσκελή τρίγωνα και τις γωνίες του σχήματος βρίσκουμε $\widehat{TCS}=180^\circ$ δηλ. τα $T,C,S$ είναι συνευθειακά ...

Καλημέρα σε όλους. Ας μου επιτραπεί ν' αφιερώσω την παρούσα σύνθεση στους αγαπητούς Μιχάλη Νάννο και Μπάμπη Στεργίου με αφορμή τις συλλογές ΕΔΩ κι' ΕΔΩ . Ισόπλευρο εντός τετραγώνου.PNG Το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $E \in AB$ ώστε να ισχύει $3AE=5EB$. Ι) Να εντοπιστούν, με γεωμετρική κατασκευή, ...

Καλησπέρα. Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά.. Το πρώτο έχει μήκη πλευρών $109,109,120$, ενώ το δεύτερο $109,109,182$. Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς. Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα...

Καλό βράδυ. Ενδιαφέρων λόγος..PNG Είναι φανερό ότι οι γωνίες $\theta $ είναι ίσες . Ακόμη $\widehat{EAS}+\theta +y=180^\circ $ και $\widehat{BAS}+\theta +x=180^\circ$ οπότε $y=x$ συνεπώς τα τρίγωνα $ZAS$ και $CAS$ είναι όμοια . Άρα $\dfrac{AS}{AC}=\dfrac{AZ}{AS}\Rightarrow AS^{2}=AC\cdot AZ =AD^{2}...

Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση. Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $AB=4$ και $AC=6$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία $P \in AB$ , $F \in AC$ και τα μέσα $M$ και $N$ των $BC,PF$. Η χορδή $AEI$ είναι παράλληλη της $MN$ με $E \in BC$. Αν είναι $AE\cdot AI=24$ και ισχύει $\l...

Καλή Κυριακή. Μετά την ωραία λύση του Παναγιώτη , μια βατή τριγωνομετρική διαδρομή Σταθερή ποσότητα.PNG Αν $\widehat{BAB'}=x$ τότε $\widehat{CAC'}=\dfrac{\pi }{3}-x$ οπότε $BB'=asinx...CC'=asin\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right ) =\dfrac{a}{2}\left ( \sqrt{3}cosx-sinx \right )$. Μετά τις πράξεις η εν...