Η αναζήτηση βρήκε 845 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Οκτ 23, 2018 3:12 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση γωνιών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 46

Εύρεση γωνιών

Καλημέρα. Με αφορμή το θέμα αυτό του Φάνη (*) Αρχαίο τρίγωνο.PNG Στο σχήμα είναι $D \in BC$ ώστε $BD=1$ και $\widehat{BAD}=18^{0}..\widehat{DAC}=54^{0}$. Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BAD \right )}=2\Phi ^{2}$ ( $\Phi $ ο χρυσός αριθμός) τότε να βρεθούν οι $\widehat{B} \kappa \alp...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 21, 2018 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία 40
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 305

Re: Διπλάσια γωνία 40

Καλό βράδυ. Ασφαλώς και είναι γνωστή η ως άνω έκφραση του φίλου KARKAR . Ο ίδιος την στήριξε δίνοντας ουκ ολίγες φορές και τριγωνομετρικές λύσεις ! Στη συνέχεια μια ακόμη προσέγγιση υπέρ της .. κέντας ! 21-10 Διπλάσια γωνία ΚΑRKAR.PNG Με το $M$ μέσον της $CS$ και $I$ την τομή των $AM,BC$ έχουμε $AM...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 21, 2018 2:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία 40
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 305

Re: Διπλάσια γωνία 40

Χαιρετώ και πάλι! 21-10 Διπλάσια γωνία.PNG Στο τρίγωνο $BSC$ για τις πλευρές ισχύει $16^{2}=16\cdot 12 +8^{2}$ άρα με την πρόταση $a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2$ (αποδείξεις στο θέμα Πέντε παρά ..κάτι )παίρνουμε $\widehat{BSC}=90^{0}+\omega /2$ αλλά έχουμε και $\wid...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Οκτ 19, 2018 2:14 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία 40
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 305

Re: Διπλάσια γωνία 40

Χαιρετώ όλους! Θα έλεγα ότι ενδιαφέρον έχει να προβάλουμε και την -κατά τον θεματοθέτη- .. :) ..πλέον ανεπιθύμητη. Εικάζω ότι αυτή που ακολουθεί , την έχει βεβαίως κατά νου ο αγαπητός Θανάσης αλλά δεν θα ήθελε να την ..αντικρύσει στις πρώτες λύσεις ! Βρήκαμε $CS=12$ άρα $\eta \mu \theta =3/12=1/4$ ...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Οκτ 18, 2018 2:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία 40
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 305

Re: Διπλάσια γωνία 40

Καλό απόγευμα. Διπλάσια γωνία.PNG Το $E$ είναι το συμμετρικό του $S$ ως προς το $A$. Τότε $\widehat{ECS}=2\theta $ Με Π.Θ είναι $AC^{2}=135$ και $CE=CS=12$. Ισχύει $\dfrac{ES}{SB}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{CE}{CB}$ άρα από το αντίστροφο του Θ. διχοτόμου η $CS$ διχοτόμος της $\widehat{ECB}$ ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Οκτ 17, 2018 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 183

Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Καλό βράδυ .Προσωπική σύνθεση , με στήριξη βεβαίως από το ..παρελθόν. 17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ και $M$ το μέσον της $BC$ . Ας είναι $E \in AB$ και $Z \in AC$ ώστε $EZ \parallel BC $. Οι $EM,BZ$ τέμνονται στο $P$ . Φέρουμε $PN\perp AC..N \in AC$ και τον κύκλο των $...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 14, 2018 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγιστοποίηση γωνίας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 154

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Καλησπέρα σε όλους. Να πω ότι μου άρεσε ( και .. :) ..δεν είναι πρώτη φορά !) το σκεπτικό του Αλέξανδρου . Μια προσπάθεια για να δείξουμε την πρότασή του : Στο τρίγωνο $PAF$ με $PC=CF=5$ και $AC=7$ η $\widehat{PAF}=\theta $ γίνεται μέγιστη όταν $PA=AF$ Με το α' θεώρημα διαμέσων : $PA^{2}+AF^{2}=2AC...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 14, 2018 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ύψους ισοσκελούς
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 91

Re: Ύψους ισοσκελούς

Καλησπέρα. Τέταρτος -πλέον - τρόπος , παρόμοιος.
Υψος ισοσκελούς.PNG
Υψος ισοσκελούς.PNG (6.07 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
Είναι M μέσον της BC και \dfrac{DC}{BC}=\eta \mu \omega =\dfrac{MC}{AC}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow  DC=2 άρα AD=7

Νομίζω ότι το τμήμα AD=x=7 ζητάει ο Θανάσης... Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 14, 2018 11:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Επίλυση τριγώνου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 79

Επίλυση τριγώνου

Καλή Κυριακή σε όλους.
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και M το μέσον της BC , με BC=12 και AM=8.

Έστω  \rho =3 η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ABC .

Μπορούμε να υπολογίσουμε τα μήκη των πλευρών AB και AC ;

Ευχαριστώ , Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Οκτ 12, 2018 12:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μονάδα μέτρησης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 92

Μονάδα μέτρησης

Καλημέρα. 12-10-18 Μονάδα μέτρησης.PNG Το τετράπλευρο $ABCD$ έχει $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{0}..\widehat{D}< 60^{0}$, $BD=4 cm$ και έστω $M$ το μέσον της $BD$ H $AZ$ είναι διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ και η $CE$ διχοτόμος της $\widehat{BCD} $ όπου $E \in AD ..Z \in CD$. Αν είναι $\left ( MAC \r...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Οκτ 10, 2018 1:33 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 261

Re: Εμβαδόν τριγώνου.

Χαιρετώ και πάλι! Ελαφρώς διαφορετική απ΄αυτή του Μιχάλη Νάννου Εμβαδόν τριγώνου Β.PNG Αν $I$ το συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$ τότε το $BACI$ είναι χαρταετός , εγγράψιμος σε κύκλο $(O,6)$ . Το $ \vartriangle AOI$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $AI=6\sqrt{2}$ Έτσι $\left ( BACI \right )=BC\...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Οκτ 08, 2018 9:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ακτίνα εκτός κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 76

Re: Ακτίνα εκτός κύκλου

Χαιρετώ.
Ας δώσω σχήμα και αργότερα την απάντηση..
Ακτίνα εκτός κύκλου.PNG
Ακτίνα εκτός κύκλου.PNG (8.08 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
Υ.Γ Η απάντηση είναι η αυτή με του Νίκου που ακολουθεί μεν , αλλά .. προηγήθηκε χρονικά.
Ας τονίσουμε ότι το \vartriangle BOS είναι ισόπλευρο οπότε 3\theta =60^{0}..

Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Οκτ 08, 2018 1:09 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 261

Re: Εμβαδόν τριγώνου.

Χαιρετώ! Μια παραλλαγή ακόμη
Εμβαδόν τριγώνου.PNG
Εμβαδόν τριγώνου.PNG (8.93 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
Στην προέκταση της BA παίρνουμε AE=AB . Τότε \left ( BAC \right )=\left ( BEC \right )/2=BC\cdot CE\cdot  \eta \mu 135^{0}/4=..=18\sqrt{2} 
.
Φιλικά Γιώργος .
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Οκτ 08, 2018 12:01 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 201

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Καλημέρα, χαιρετώ τους συνονόματους ! Ας δούμε την ισοδυναμία που εκκρεμεί : Αρκεί να δείξουμε ότι $ \cos x + \cos 3x + \cos 5x = \dfrac{sin\left 6x }{2sinx}$ $ \Leftrightarrow 2sinx cosx +2sinx cos3x +2sinxcos5x =sin6x $ $\Leftrightarrow sin2x + \left ( sin4x +sin(-2x) \right ) + (sin6x +sin(-4x))...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Σεπ 25, 2018 1:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ορθογώνιο τρίγωνο
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 816

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο

Χαιρετώ όλους ! Ανασύρω αυτό το θέμα θεωρώντας το ιδιαιτέρως ελκυστικό. Οι διαδρομές προς τη λύση που ακολουθούν στηρίζονται κατά μεγάλο μέρος στις απαντήσεις-λύσεις φίλων , όπως θα φανεί στη συνέχεια. 25-9-18 Ορθ. τρίγωνο Α.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $\hat{A}=90^{0}$ το $D \in AC$ ενώ ...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Σεπ 24, 2018 1:50 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Εφαπτομένη γωνίας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 327

Re: Εφαπτομένη γωνίας

Καλημέρα! Γιώργο , Νίκο και Μιχάλη χαιρετώ.. έχω την εντύπωση πως με το παρόν θέμα η Γεωμετρία .. :) .. εισβάλλει σε φάκελο της Άλγεβρας ! Εφαπτομένη GV.PNG Θεωρούμε $PZ\parallel AB..NE \perp AB$ και το ισόπλευρο $ANI$ . Έστω$AB=6$. Τα τρίγωνα $BIN,DMC$ είναι όμοια (αναλογία πλευρών με ίσες τις περ...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Σεπ 22, 2018 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ακέραιο εμβαδόν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 215

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Χαιρετώ. Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις κομψές λύσεις ! Τα παλαιά θέματα που ανέφερα και πριν είναι ΑΥΤΟ και ΑΥΤΟ Συμβαίνει συχνά η διαδρομή προς τη λύση νέου θέματος που βασίζεται σε άλλα δύο να είναι (πολύ) συντομότερη από το άθροισμα των διαδρομών για τη λύση των δύο παλαιών... Φιλι...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Σεπ 21, 2018 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερός λόγος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 222

Re: Σταθερός λόγος

Καλησπέρα. Πολύ ωραία Αλέξανδρε, σ' ευχαριστώ.
Ας κάνουμε ( και .. :) ..όχι άσκοπα) ένα κόπο ακόμη :
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο EMH του σχήματος είναι όμοιο με το ABC.
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Σεπ 21, 2018 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερός λόγος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 222

Σταθερός λόγος

Χαίρετε. Μια τροποποίηση παλαιού θέματος με την προσδοκία να δούμε και νέες ιδέες-λύσεις. Σταθερός λόγος.PNG Το (σταθερό) τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^{0}$ , το $M$ είναι το μέσον της $BC$ ενώ το $E$ κινείται στην πλευρά $AC$ Η μεσοκάθετος του $BC$ τέμνει την $AC$ στο $N$ και τον περίκυκλο το...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Σεπ 21, 2018 1:15 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 201

Re: Ευχές

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον μοναδικό ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ , την Ευσταθία
και βεβαίως στον υιό του Σωτήρη Λουρίδα. Να τους χαίρονται οι οικογένειές τους !

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση