Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την κάλυψη και του παρόντος! Να τονίσω μόνο για την κατασκευή του $ABC$ πως αρκεί να πάρουμε πλευρά $BC=a$ με μέσο $M$ και το $A$ ως σημείο (όχι στον φορέα των $B,C$) του κύκλου $(M,a\sqrt{3}/2) $ αφού είναι $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Ας κάνουμε ένα κόπο ακόμη , να...

Καλησπέρα. 9-7 κατασκευή.png Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ για το οποίο ισχύει $4\left ( BAC \right )=a^{2}\cdot tanA$. Έστω $E$ το συμμετρικό του $B$ ως προς τη διάμεσο $AM$ και $N$ σημείο της $ME$ ώστε να είναι $\widehat{ABN}=\widehat{ACB}$. Ι) Να κατασκευαστεί ένα τέτοιο τρίγωνο$ABC$ και ΙΙ) Να υπολογι...

Καλησπέρα σε όλους , μετά από καιρό..(*) Εμβαδόν(3).png Παραλλαγή της λύσης του Γιώργου. Οι $BK,BL $ τέμνουν την $AC$ στα $F,H$. Από τη γνωστή άσκηση είναι $AF=FH=HC$. Ακόμη $KF=DH/2=BF/4$ οπότε $BF=\dfrac{4}{3}BK \Rightarrow \left ( BHF \right )=\dfrac{16}{9}\left ( BKL \right )=16$ αφου $KL \paral...

Καλημέρα! tan ..41.PNG Είναι $CB=CD=CS=DS=R$. Θεωρούμε τον κύκλο $(C,R)$. Τότε $\widehat{DBS}=30^\circ$ , $x=60^\circ -\varphi$ και $\theta =30^\circ +x$ άρα $\varphi +\theta =90^\circ$ συνεπώς $tan\theta \cdot tan\varphi =1$ Γίνεται φανερό ότι ο λόγος $\dfrac{AB}{AD}$ μπορεί να μεταβληθεί! Θαρρώ.....

Καλημέρα σε όλους! Είχαμε τη χαρά , αλλά και την τύχη -αρχές Μαρτίου,λίγο πριν τα μέτρα λόγω κορονοϊού- να παρακολουθήσουμε το ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ που έγινε εδώ στην ΄Αρτα με εισηγητή βεβαίως τον κ. Γιάννη Θωμαϊδη ! Έτσι είχαμε την ευκαιρία και την τιμή να τον γνωρίσουμε από "κ...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και θερμές ευχές στους

Κώστα Βήττα, Κώστα Δόρτσιο, Κώστα Ρεκούμη, Κώστα Τηλέγραφο, Κώστα Ζυγούρη,

Κώστα Σερίφη, Κώστα Αθανασιάδη, Κώστα Καλαφάτη, Κώστα Μαλιάκα, Κώστα Παππέλη,

εννοείται και στην Ελένη Μήτσιου!

Καλό βράδυ σε όλους. Μαζί με τις ευχές μου για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον εορτάζοντα Κώστα Βήττα Θα προσπαθήσω να μεταφέρω εδώ (ελπίζω χωρίς λογικά λάθη) το νόημα απόδειξης που έδωσε ο ίδιος ο Κώστας για το θεώρημα: Δίνεται κυρτό (ή μη κυρτό, ή και στρεβλό) τετράπλευρο $ABCD$ και έστω $E,\ F,$ σημεία επί τω...

Καλή (σχολική ξανά) εβδομάδα! Σ' ευχαριστώ Γιώργο :coolspeak: , αυτή ακριβώς την κατασκευή είχα κατά νου! Ας τονίσουμε (δείτε το σχήμα του Γιώργου αριστερά) μόνο το εξής: Ο (Απολλώνιος) κύκλος διαμέτρου $KL$ τέμνει την διάμεσο $PM$ και σε δεύτερο -έστω $I$- σημείο που όπως δείξαμε και στο θέμα τούτ...

Καλό βράδυ! Με χρήση του σχήματος tan...31.PNG Το $I$ είναι πάνω στη διάμεσο $BM$ του τριγώνου $ABE$ άρα $\left ( BIA \right )=\left ( BIE \right )\Rightarrow AI\cdot BD=BE\cdot ID\Rightarrow \dfrac{AI}{ID}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow AI=5...ID=2=BD$ οπότε $\widehat{SIA}=\dfrac{\pi }{4}$. Έχουμε $\thet...

Καλό βράδυ ! Κυκλικοί δίσκοι και ..γωνίες..PNG Το κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο με $\widehat{C}+\widehat{D}=165^\circ $. Τα $M,N$ είναι τα μέσα των $AB,CD$ ενώ $H \in BC$ και $E \in AD$ ώστε να ισχύουν $AD=2^{n}DE$ και $BC=2^{n}CH$ , $n\geq 2, n\in N$. Οι $EH,MN$ τέμνονται στο $Z$. Θεωρο...

Καλημέρα. Εν μέσω .. :) .. όμβρου εφαπτομένων (από τον αγαπητό KARKAR ) ας βρούμε και δύο "ανάποδες" σφ.. με αξία.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ ενώ ισχύει $\sigma \varphi A= \dfrac{3}{4}$. Να βρεθούν οι $\sigma \varphi \dfrac{B}{2}$ και $\sigma \varphi \dfrac{A}{4}$ . Δεκτή κάθε λύση. Σας ευχαρ...

Καλό βράδυ. Από ένα μεγάλο ευχαριστώ στους Πρόδρομο και Ορέστη για τις θαυμάσιες επεμβάσεις τους! Σημασία δεν έχει σε ποιο φάκελο χωράει το θέμα , αλλά το ότι και οι δύο δείχνουν ικανότατοι .. :clap2: .. να προχωράνε και πολύ πιο πέρα από τον << Αρχιμήδη>> .Ας προβάλω μια ακόμη κατασκευή Κατασκευή ...

Καλημέρα! Μέγιστο ενδο-τρίγωνο.PNG Αν $\widehat{BAC}=x< \dfrac{\pi }{3}$ τότε $CD=8sinx$ και $MD=8cosx-4$ άρα $\left ( DMC \right )=\dfrac{CD\cdot MD}{2}=..=16\left ( 2sinx\cdot cosx-sinx \right )=16\left ( sin2x-sinx \right )$ . Για την συνάρτηση $ f(x)= sin2x-sinx $ βρίσκουμε τοπ.μέγιστο όταν $co...

Χαιρετώ. Τραπεζίου ανασύσταση..PNG Η Θεανώ σχεδίασε το τραπέζιο $ABCD$ που βλέπουμε αριστερά και τις $AC,BD$ που τέμνονται στο $O$. Σε ξεχωριστό φύλλο κατασκεύασε τμήματα $k=OA$ και $m=OB$ όπως και τις γωνίες $\theta =\widehat{BAD}$ και $\omega =\widehat{BCD}$. Πήρε μαζί της μόνο το φύλλο αυτό και ...

Καλημέρα! Κυκλώσαμε το τετράγωνο.PNG Θεωρούμε το τετράγωνο $ABCD$ με πλευρά $a=\sqrt{6/5}$.Έχουμε $OM=AM=a/2=\sqrt{0,3}$. Για να εντοπίσουμε το $N$ με τη βοήθεια της κατασκευής δεξιά παίρνουμε $\dfrac{MN}{NA}=\dfrac{k}{m}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$. Προκύπτει $\dfrac{MN}{MA}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt...

Καλό βράδυ σε όλους. Ίσως αποδειχθεί ότι χωράει σε ..ελαφρύτερο φάκελο. Κατασκευή ισοσκελούς..PNG Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με δοσμένη ακτίνα $R$. Τα $M,N$ είναι τα μέσα των μικρών τόξων $AC$ και $BC$. Η κάθετη από το $M$ προς την $AN$ τέμνει τον κύκλο στο $E$ και η $CE$ τέμνει τ...

Χαιρετώ. Μια παραλλαγή για τους $\Phi $ίλους! tan ..23.PNG Από την ομοιότητα των $BAC,BAD $ : $BD=2AD\Rightarrow AB= \sqrt{5}AD $. Από το θ. διχοτόμου :$\dfrac{BS}{SD}=\dfrac{AB}{AD}=\sqrt{5} \Rightarrow \dfrac{BD}{DS}=\sqrt{5}+1$ οπότε $tan\theta =\dfrac{AD}{DS}=\dfrac{1}{2}\dfrac{BD}{SD}=\dfrac{\...

Καλό μεσημέρι! Αν τότε και .

Το σχήμα που έβαλα, δεν πολυχρειαζόταν αφού το βασικό του μέρος .. .. κείται αριστερά πάνω από τ' όνομά μου!

ιλικά, Γιώργος.

Καλό βράδυ. Ακόμη ένα εύγε στον Θεοδόση για την ωραία λύση, ευχαριστώ βεβαίως και τον Σταύρο ! Ας δούμε μια ακόμη στοιχειώδη μορφή της (ίδιας ουσιαστικά) λύσης με πίνακα Ο Ρενέ δικαίως αμφιβάλλει!.PNG Έστω $10.000$ όλος ο πληθυσμός της πόλης . Τότε τα $\dfrac{2}{100}\cdot 10.000=200$ άτομα έχουν αν...

Καλή Πρωτομαγιά! Το θέμα που ακολουθεί είναι προσωπικής κατασκευής οπότε δικαίως ..αμφιβάλλετε. Σε μια πόλη εκτιμάται ότι το $2 $ % του πληθυσμού της έχει αποκτήσει ανοσία (αντισώματα) κατά του νέου ιού. Το τελευταίο τεστ ανίχνευσης αντισωμάτων που ήρθε στην πόλη θεωρείται ότι έχει τις εξής ατέλειε...