Γεια σας και ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ σε όλο το :logo: ! Ευχαριστώ τους Νίκο, Μιχάλη , Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση! Αιτία του θέματος ήταν το παλαιό θέμα ΕΔΩ του αγαπητού Μπάμπη . Στη συνέχεια μια παρόμοια προσέγγιση συνοπτικά Εμβαδών πρόοδος Β.PNG Όπως έχει γραφεί η $BE$ είναι διχοτόμος ενώ $\widehat{B...

Καλημέρα.Ενδιαφέρον θέμα ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση : Κριτήριο ομοιότητας.PNG Αν για τα τρίγωνα $ABC, DEZ $ ισχύει επιπλέον $\dfrac{BH}{HC}=\lambda = \dfrac{EI}{IZ}$ να εξεταστεί αν αυτά είναι όμοια . Εφαρμόζοντας όπως πριν ο Διονύσης τον Νόμο παίρνουμε Στο τρίγωνο $ABC$ : $\dfrac{\eta \mu \o...

Καλημέρα! Με την βοήθεια Γιώργο της καλής μας Τριγωνομετρίας και χρήση του σχήματος: Ημί..χρυσος λόγος G.V.PNG Έστω $\widehat{B}=\widehat{C}=2\omega \Rightarrow \widehat{BHD}=2\omega $ ($DHFC$ εγγράψιμο). Έχουμε $ID=\dfrac{a\varepsilon \varphi \omega }{2}$ , $AI=HD=\dfrac{a}{2\varepsilon \varphi 2\...

Καλημέρα. Ελαφρά παραλλαγή: Έκταση.PNG Ας είναι $O$ μέσον της $BC$ , $AZ \perp BC$ και $\widehat{AOB}=\omega $ .Τότε $AZ=5\eta \mu \omega ...OZ=1+5\eta \mu \omega $ Με Π.Θ στο τρίγωνο $AOZ$ : $\left ( 5\eta \mu \omega \right )^{2}+\left ( 1+5\eta \mu \omega \right )^{2}=25 $ με δεκτή (θετική) ρίζα ...

Καλημέρα σε όλους Μέγιστο εμβαδόν.PNG Τα $K,T,H$ είναι τα μέσα των $AB,BC,AC$ .Έστω $M \in BK$ . Θα δείξουμε ότι $\left ( AKTH \right )\geq \left ( AMEZ \right )\Leftrightarrow ( ZHTO ) \geq \left ( MEOK \right ) $$\Leftrightarrow MK\cdot ME\cdot \eta \mu \omega \leq OZ\cdot OT\cdot \eta \mu \omega...

Χαιρετώ. Εμβαδών πρόοδος.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ με $BC=3AB$ όπου $M$ το μέσον της $AC$ και $E$ το μέσον του $AM$. Έστω $P$ το σημείο της $BE$ ώστε $AP=AE$ και $D$ η τομή των $ CB, MP$. Να εξεταστεί αν τα εμβαδά $\left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right )$ είναι διαδοχικο...

Χαιρετώ . Ας δούμε μια προσέγγιση του παρόντος. 1-7-18 Κυκλικά τμήματα ..λύση.PNG Το τρίγωνο $ABC $ έχει πλευρές $a=8.. b=6$ και $ c=4$ Είναι $8^{2}=8\cdot 6 +4^{2}$ άρα σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση :Σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει η ισοδυναμία :$a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\wideha...

Χαιρετώ και πάλι την διευρυμένη παρέα! Μια ακόμη με χρήση του $L$ που ο Θανάσης ''ξέχασε'' (;) να σβήσει.. Κόλπο...PNG Όπως είδαμε $A,N,L $ συνευθειακά. Αν $E$ μέσον του $AL$ τότε $ME=3$ και με τον Ν.Σ στο τρίγωνο $BEM$ παίρνουμε $BE=5$ ( $ cosM= -cosB$ ) Από τα ίσα τρίγωνα $MEN, LNC$ προκύπτει $N$...

Καλό μήνα! Χαιρετώ τους φίλους ! Κόλπο .. KARKAR.PNG Παίρνω από αναρτήσεις πριν ( με την καλή έννοια της .. :) .. αντιγραφής ) $\left ( BAC \right )=27$ και $NC^{2}=\dfrac{73}{4}$ Είναι $\left ( BAC \right )=6\left ( KNC \right ) $ άρα $\left ( KNC \right )=\dfrac{9}{2} $ οπότε ύψος $NI=3/2$. Με το...

Καλημέρα. Ας θεωρήσουμε το $E$ ως τομή της $PZ$ με την παράλληλη από το $B$ προς τις $IZ,AC$. Θα δείξουμε ότι είναι $EC \parallel ZH \parallel AB $. Mε χρήση του σχήματος : Νέο παρ-μο.PNG Με το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $ACI$ και διατέμνουσα την $BPH$ : $\dfrac{IB}{BA}\cdot \dfrac{AH}{HC}\cdot \dfrac{...

Χαίρετε. 27-6-18 Λόγος ..πρώτος..PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ και τη διχοτόμο του $BD$. Έστω $Z$ στη προέκταση της $AB$ ώστε $\left ( ZAD \right )=\left ( BAC \right )$ και $P$ στην προέκταση της $AC$ με $CP=BZ$. Αν $E \in AB$ ώστε $\left ( EAP \right )=\left ( BAC \right )$ τότε 1) Να εκφραστεί ο...

Συγχαρητήρια στην Ελληνική και την Κυπριακή αποστολή !

Εύγε και πολλά στον ΜΟΝΑΔΙΚΟ Ορέστη Λιγνό για την κορυφαία επίδοση!!

Σ'ευχαριστώ πολύ Κώστα για τη λύση !
Ακριβώς , το σκεπτικό που γράφεις με οδήγησε στην δημιουργία και την υποβολή του παρόντος..
σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω (αν δεν καλυφθεί) απόδειξη του ζητουμένου , χωρίς τη χρήση του λήμματος.
Φιλικά Γιώργος.

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Νίκο , Μιχάλη και Μιχάλη για τις απαντήσεις ! Μια ακόμη , με χρήση του σχήματος : Έγκεντρο και γωνίες....PNG Η $BZ$ διχοτόμος της $\widehat{EBC}$. Τα τρίγωνα $BIC, BZC$ είναι ίσα άρα $BI=ZC$ Το $BEC$ ισοσκελές με $BE=EC$ άρα και $EI=EZ$ . Ακόμη το $ABZ$ ισοσκελές συνεπώς ...

Χαιρετώ. Με αφορμή παλαιό θέμα.. 24-6-18 Nέο παρ-μμο.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=6..AC=7 $ και $BC=11$. Tο $Z$ κινείται στην πλευρά $BC$ και $I \in AB..H \in AC$ ώστε το $AIZH$ να είναι παραλληλόγραμμο . Το $P$ είναι η τομή των $BH,CI $ ενώ ο κύκλος $\left ( A,7 \right )$ τέμνει την ημιευθεία $PZ...

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους Νίκο , Γιώργο και Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις Μια ακόμη προσέγγιση 9-6-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG Με $GMN \parallel AB $ είναι το $N$ μέσον της $AC$ άρα $MN=AB/2=5$ ενώ ,ως άνω, $GM=AE=2$ . Τότε $BE=8=BM...AN=7=GN$. Στο ισόπλευρο $BAM$ έχουμε $EI=IM$ , άρα $I$ έγκεντρο του $B...

Καλημέρα. Η είναι διχοτόμος του τριγώνου και το έγκεντρον αυτού. Αν είναι και τότε

Να υπολογιστούν οι γωνίες του

Ας το αφήσουμε ώρες για τους μαθητές... Ευχαριστώ , Γιώργος

Xαιρετώ! Ορέστη σ' ευχαριστώ και πάλι για την ευαρέσκειά σου .. να είσαι καλά !
Το παρόν θέμα οφείλει την εμφάνισή του στο παλαιό μεν αλλά και ωραίο θέμα του Κώστα Βήττα , ΕΔΩ
Φιλικά Γιώργος .

Καλημέρα σε όλους ! Επανέρχομαι στην παρούσα πρόταση του Κώστα (που ήρθε ξανά στην επιφάνεια από τον Θανάση ) για να δώσω μια γενίκευση αυτής : Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=90^{0}$ και $AD$ ύψος του. Στην προέκταση της $DA$ θεωρούμε σημείο $E$ ώστε $AE= \lambda AD$. Αν $BMF\perp EC$ όπου ...

Kαλό βράδυ. Ευχαριστώ πολύ τον Ορέστη και τον Νίκο για την ανταπόκριση! Aς δούμε και την προσέγγιση που ακολουθεί Λογική ευθυγράμμιση.PNG Έχουμε $AE\cdot ID=AD\cdot AI\Rightarrow \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AI}{ID} \Rightarrow \dfrac{DE}{AD}=\dfrac{AD}{ID}\Rightarrow DE\cdot DI=AD^{2}=BD\cdot DC$ $ \Righ...