Καλημέρα. Με αφορμή το θέμα αυτό του Φάνη (*) Αρχαίο τρίγωνο.PNG Στο σχήμα είναι $D \in BC$ ώστε $BD=1$ και $\widehat{BAD}=18^{0}..\widehat{DAC}=54^{0}$. Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BAD \right )}=2\Phi ^{2}$ ( $\Phi $ ο χρυσός αριθμός) τότε να βρεθούν οι $\widehat{B} \kappa \alp...

Καλό βράδυ. Ασφαλώς και είναι γνωστή η ως άνω έκφραση του φίλου KARKAR . Ο ίδιος την στήριξε δίνοντας ουκ ολίγες φορές και τριγωνομετρικές λύσεις ! Στη συνέχεια μια ακόμη προσέγγιση υπέρ της .. κέντας ! 21-10 Διπλάσια γωνία ΚΑRKAR.PNG Με το $M$ μέσον της $CS$ και $I$ την τομή των $AM,BC$ έχουμε $AM...

Χαιρετώ και πάλι! 21-10 Διπλάσια γωνία.PNG Στο τρίγωνο $BSC$ για τις πλευρές ισχύει $16^{2}=16\cdot 12 +8^{2}$ άρα με την πρόταση $a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\widehat{C}/2$ (αποδείξεις στο θέμα Πέντε παρά ..κάτι )παίρνουμε $\widehat{BSC}=90^{0}+\omega /2$ αλλά έχουμε και $\wid...

Χαιρετώ όλους! Θα έλεγα ότι ενδιαφέρον έχει να προβάλουμε και την -κατά τον θεματοθέτη- .. :) ..πλέον ανεπιθύμητη. Εικάζω ότι αυτή που ακολουθεί , την έχει βεβαίως κατά νου ο αγαπητός Θανάσης αλλά δεν θα ήθελε να την ..αντικρύσει στις πρώτες λύσεις ! Βρήκαμε $CS=12$ άρα $\eta \mu \theta =3/12=1/4$ ...

Καλό απόγευμα. Διπλάσια γωνία.PNG Το $E$ είναι το συμμετρικό του $S$ ως προς το $A$. Τότε $\widehat{ECS}=2\theta $ Με Π.Θ είναι $AC^{2}=135$ και $CE=CS=12$. Ισχύει $\dfrac{ES}{SB}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{CE}{CB}$ άρα από το αντίστροφο του Θ. διχοτόμου η $CS$ διχοτόμος της $\widehat{ECB}$ ...

Καλό βράδυ .Προσωπική σύνθεση , με στήριξη βεβαίως από το ..παρελθόν. 17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ και $M$ το μέσον της $BC$ . Ας είναι $E \in AB$ και $Z \in AC$ ώστε $EZ \parallel BC $. Οι $EM,BZ$ τέμνονται στο $P$ . Φέρουμε $PN\perp AC..N \in AC$ και τον κύκλο των $...

Καλησπέρα σε όλους. Να πω ότι μου άρεσε ( και .. :) ..δεν είναι πρώτη φορά !) το σκεπτικό του Αλέξανδρου . Μια προσπάθεια για να δείξουμε την πρότασή του : Στο τρίγωνο $PAF$ με $PC=CF=5$ και $AC=7$ η $\widehat{PAF}=\theta $ γίνεται μέγιστη όταν $PA=AF$ Με το α' θεώρημα διαμέσων : $PA^{2}+AF^{2}=2AC...

Καλησπέρα. Τέταρτος -πλέον - τρόπος , παρόμοιος. Είναι μέσον της και άρα

Νομίζω ότι το τμήμα ζητάει ο Θανάσης... Φιλικά Γιώργος.

Καλή Κυριακή σε όλους.
Θεωρούμε τρίγωνο και το μέσον της , με και .

Έστω η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο .

Μπορούμε να υπολογίσουμε τα μήκη των πλευρών και ;

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα. 12-10-18 Μονάδα μέτρησης.PNG Το τετράπλευρο $ABCD$ έχει $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{0}..\widehat{D}< 60^{0}$, $BD=4 cm$ και έστω $M$ το μέσον της $BD$ H $AZ$ είναι διχοτόμος της $\widehat{BAD}$ και η $CE$ διχοτόμος της $\widehat{BCD} $ όπου $E \in AD ..Z \in CD$. Αν είναι $\left ( MAC \r...

Χαιρετώ και πάλι! Ελαφρώς διαφορετική απ΄αυτή του Μιχάλη Νάννου Εμβαδόν τριγώνου Β.PNG Αν $I$ το συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$ τότε το $BACI$ είναι χαρταετός , εγγράψιμος σε κύκλο $(O,6)$ . Το $ \vartriangle AOI$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα $AI=6\sqrt{2}$ Έτσι $\left ( BACI \right )=BC\...

Χαιρετώ.
Ας δώσω σχήμα και αργότερα την απάντηση.. Υ.Γ Η απάντηση είναι η αυτή με του Νίκου που ακολουθεί μεν , αλλά .. προηγήθηκε χρονικά.
Ας τονίσουμε ότι το είναι ισόπλευρο οπότε ..
Φιλικά Γιώργος.

Χαιρετώ! Μια παραλλαγή ακόμη Στην προέκταση της παίρνουμε . Τότε .
Φιλικά Γιώργος .

Καλημέρα, χαιρετώ τους συνονόματους ! Ας δούμε την ισοδυναμία που εκκρεμεί : Αρκεί να δείξουμε ότι $ \cos x + \cos 3x + \cos 5x = \dfrac{sin\left 6x }{2sinx}$ $ \Leftrightarrow 2sinx cosx +2sinx cos3x +2sinxcos5x =sin6x $ $\Leftrightarrow sin2x + \left ( sin4x +sin(-2x) \right ) + (sin6x +sin(-4x))...

Χαιρετώ όλους ! Ανασύρω αυτό το θέμα θεωρώντας το ιδιαιτέρως ελκυστικό. Οι διαδρομές προς τη λύση που ακολουθούν στηρίζονται κατά μεγάλο μέρος στις απαντήσεις-λύσεις φίλων , όπως θα φανεί στη συνέχεια. 25-9-18 Ορθ. τρίγωνο Α.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $\hat{A}=90^{0}$ το $D \in AC$ ενώ ...

Καλημέρα! Γιώργο , Νίκο και Μιχάλη χαιρετώ.. έχω την εντύπωση πως με το παρόν θέμα η Γεωμετρία .. :) .. εισβάλλει σε φάκελο της Άλγεβρας ! Εφαπτομένη GV.PNG Θεωρούμε $PZ\parallel AB..NE \perp AB$ και το ισόπλευρο $ANI$ . Έστω$AB=6$. Τα τρίγωνα $BIN,DMC$ είναι όμοια (αναλογία πλευρών με ίσες τις περ...

Χαιρετώ. Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις κομψές λύσεις ! Τα παλαιά θέματα που ανέφερα και πριν είναι ΑΥΤΟ και ΑΥΤΟ Συμβαίνει συχνά η διαδρομή προς τη λύση νέου θέματος που βασίζεται σε άλλα δύο να είναι (πολύ) συντομότερη από το άθροισμα των διαδρομών για τη λύση των δύο παλαιών... Φιλι...

Καλησπέρα. Πολύ ωραία Αλέξανδρε, σ' ευχαριστώ.
Ας κάνουμε ( και .. ..όχι άσκοπα) ένα κόπο ακόμη :
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο του σχήματος είναι όμοιο με το .

Χαίρετε. Μια τροποποίηση παλαιού θέματος με την προσδοκία να δούμε και νέες ιδέες-λύσεις. Σταθερός λόγος.PNG Το (σταθερό) τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^{0}$ , το $M$ είναι το μέσον της $BC$ ενώ το $E$ κινείται στην πλευρά $AC$ Η μεσοκάθετος του $BC$ τέμνει την $AC$ στο $N$ και τον περίκυκλο το...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον μοναδικό ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ , την Ευσταθία
και βεβαίως στον υιό του Σωτήρη Λουρίδα. Να τους χαίρονται οι οικογένειές τους !