Καλό απόγευμα σε όλους! Ας δούμε Γιώργο μια κατασκευή τριγώνου $ABC$ - με κανόνα και διαβήτη - γενικότερη με γνωστό το μήκος της $BC=a$ και του ύψους $AD=h$ , όπου η διχοτόμος $AE$ να είναι γεωμετρικός μέσος των τμημάτων $BE$ και $EC$ Δίνω τώρα την κατασκευή και ας μου επιτραπεί να επανέλθω αργότερ...

Χαιρετώ. Ορέστη , Γιώργο, Μιχάλη και Κώστα σας ευχαριστώ για τις λύσεις-παρεμβάσεις σας! Οι μαθητές-μαθήτριες που έλαβαν μέρος φοιτούν στην Γ τάξη. Βαθμολογήσαμε τα γραπτά. Επαληθεύτηκε η αρχική εκτίμηση για δυσκολία όχι μόνο στο α ερώτημα αλλά σε όλο το θέμα της Γεωμετρίας. Φαίνεται , δυστυχώς ότι...

Καλή Κυριακή σε όλους. Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat{A}=90^{0}$ και $AB>AC$. Η διχοτόμος της $B\widehat{A}C$ τέμνει την $BC$ στο $E$ και τον περίκυκλο του $ABC$ στο $M$. Έστω $N$ το μέσον του $EM$. Φέρω $PA \perp AM$ με $PA=AN$ και $ET \perp AM $ με $T \in PN$. Θεωρούμε τ...

Χρόνια πολλά σε όλους τους προαναφερθέντες, ασφαλώς και στο Νίκο Φραγκάκη!

Καλό απόγευμα. Για το υπολογισμό του $AN$ χωρίς Πτολεμαίο. Υπερδιπλάσιο...PNG Με $AE=AC=b$ τα τρίγωνα $AEN,ACN$ είναι ίσα οπότε $NE=NC=NB$ και $\widehat{ANE}=\widehat{NEB}-45^{0}=\widehat{NBE}-45^{0}=\widehat{ABC}$. Συνεπώς το $BEHN$ είναι εγγράψιμο και $AH\cdot AN=AE\cdot AB=bc$. Η διχοτόμος $AH=\...

Χαιρετώ μικρούς και μεγάλους. Μια προσπάθεια Δημήτρη εφόσον κατάλαβα καλά τα εξής: α) Ο εμποράκος μας πουλάει κάθε δοχείο με φιστίκια για $2$ ευρώ χωρίς να το ζυγίσει . β) Όταν για παράδειγμα πουλήσει $10$ κιλά φιστίκια και αφού καλύψει όσα στοιχίζουν τα δοχεία που θα δώσει να του μένουν καθαρά $40...

Χαιρετώ. Ας κρατήσουμε από τη λύση του Πρόδρομου το τρίγωνο $EFA$ , όπου $\widehat{AEF}=108^{0}...AE=k...EF=k\left ( \Phi +1 \right )$ και ότι $\angle NEC=\angle EFA $ ενώ $\widehat{BEN}=72^{0}$.Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $\angle EFA =18^{\circ}$. Θεωρούμε το τρίγωνο $MIG$ με γωνίες όπως στο σχήμ...

Καλό βράδυ! Ένα ακόμη εύγε κι' ένα μεγάλο ευχαριστώ στον μοναδικό Πρόδρομο
για την επιμονή του μέχρι να φτάσει στην απόδειξη του παρόντος..

Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση , η οποία αρχικά είναι ίδια με αυτή του Πρόδρομου. Φιλικά Γιώργος.

Γεια σας. Με αφορμή την ανάρτηση #5# στο θέμα αυτό του αγαπητού Κώστα Σφακιανάκη και με χρήση του σχήματος Τριάδα ίσων γωνιών.PNG Τα τρίγωνα $ABC$ και $DEG$ έχουν $\widehat{A}=\widehat{D}=\theta $ και $\widehat{B}=\widehat{E}=\omega $. Ν' αποδειχθεί ότι: Οι φορείς των ομόλογων πλευρών τους (τρία ζε...

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές. Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG Το $AB\Gamma\Delta $ είναι τετράγωνο και τα...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους τους εορτάζοντες! Θερμές ευχές στους:
Ανδρέα Βαρβεράκη, Ανδρέα Πούλο και Ανδρέα Παντερή.

Καλημέρα. Υποσχέθηκα ακόμη μία λύση κι' επειδή καθυστέρησα.. :) .. υποχρεούμαι να υποβάλω δύο τρόπους. Με χρήση του σχήματος Χαρταετός ΙΙI.PNG I) Παίρνουμε $DR=12$ ώστε να είναι $\dfrac{RD}{AD}=\dfrac{CZ}{CE}$ οπότε $\widehat{RAD}=\widehat{CEZ}=\omega $. Στο τρίγωνο $EAR$ έχουμε και τα $3$ μήκη πλε...

Χαιρετώ! Διπλάσιο...PNG Αν $N$ το μέσον της $AC$ τότε $MN \parallel AB$ . Ακόμη $ TS \parallel AC $ οπότε η $MN $ διέρχεται από το μέσον $E$ του $ST$. Στο τραπέζιο $APME$ έχουμε από Θ. Θαλή $\dfrac{PT}{TE}=\dfrac{AT}{TM}\Leftrightarrow PT\cdot TM=AT\cdot TE\Leftrightarrow \left ( PTM \right )=\left...

Καλό βράδυ σε όλους! Υποβάλλω το σχήμα , θ' ακολουθήσει η αιτιολόγηση της κατασκευής.. Μέγιστο εμβαδόν KARKAR.PNG Για το εγγράψιμο $ABCD$ ισχύει $cosC=-cosA$. Βρίσκουμε (*) δύο εκφράσεις για το $BD^{2}$ με τη βοήθεια του Ν.Συνημιτόνων : Στο τρίγωνο $ABD$ είναι $BD^{2}=5^{2}+11^{2}-2\cdot 5\cdot 11c...

Καλησπέρα! Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες και ποικίλες επεμβάσεις σας! Μόνο λίγα για την δημιουργία του θέματος τώρα και σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω μια ακόμη απόδειξη , αν δεν καλυφθεί ως τότε. Χαρταετός ΙΙ.PNG Για να ισχύει το ζητούμενο αρκεί να είναι $\omega +\theta =45^{0}$. Με χρήση του ...

Καλημέρα. Μια ακόμη σύνθεση, ως συνέχεια αυτού του θέματος. Η τριγωνομετρία συνοδός...PNG Στο σχήμα το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $DHIC$ ορθογώνιο . Το $E \in DC$ με $FZE \perp DC..Z \in HI$ και $EF=EC$. Αν ισχύει $\left ( DEZH \right )=\left ( ZIF \right )$ τότε να εξεταστεί αν είναι $\widehat{...

Καλή Κυριακή σε όλους. Χαρταετός.PNG Το τετράγωνο $ABCD$ του σχήματος έχει πλευρά $a=20$.Παίρνουμε $DE=5$ , $CZ=9$ και $\widehat{ZEH}=\widehat{DAE}=\theta $. Να δειχθεί με διάφορους ( και έναν τουλάχιστον εντός φακέλου) τρόπους ότι το $AECH$ είναι χαρταετός δηλ. ότι η $AC$ είναι μεσοκάθετος του $EH...

Καλημέρα σε όλους! . Ας δούμε και μια << εικονική>> λύση , ελπίζω -λόγω φακέλου- προς ... :) ...τέρψιν του θεματοθέτη και όχι μόνο. Θεωρώ $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )+h\left ( x \right )$ με $g\left ( x \right )=x$ και $h\left ( x \right )=\sqrt{1-x^{2}}$. Οι $C_{g},C_{h}$ , διχοτόμος κ...

Χαιρετώ και πάλι. Επανέρχομαι για την απόδειξη που υποσχέθηκα. 'Ισα τμήματα ΙΙ.PNG Είναι $OKZ \parallel BC $ (ως κάθετες στην $AC$) , θα δείξουμε ότι $OK=BC$. Τα τετράπλευρα $MECD$ και $MKAZ$ είναι (λόγω των ορθών γωνιών) εγγράψιμα με διαμέτρους τις $ED$ και $AK$ έτσι έχουμε $\widehat{M_{1}}={\wide...

Καλησπέρα σε όλη την παρέα! Ίσα τμήματα.PNG Φέρω $KZ \perp AC$ που τέμνει την $CL$ στο $O$. Θα δείξουμε πρώτα ότι τα $A,D$ είναι συζυγή αρμονικά των $C,Z$ και στη συνέχεια ότι το $KOBC$ είναι παραλληλόγραμμο που σημαίνει ότι οι $BK,OC$ διχοτομούνται. Θα επανέλθω για την απόδειξη των ανωτέρω. Φιλικά...