Η αναζήτηση βρήκε 1106 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Δεκ 09, 2019 3:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 162

Re: Διχοτόμος γεωμετρικός μέσος

Καλό απόγευμα σε όλους! Ας δούμε Γιώργο μια κατασκευή τριγώνου $ABC$ - με κανόνα και διαβήτη - γενικότερη με γνωστό το μήκος της $BC=a$ και του ύψους $AD=h$ , όπου η διχοτόμος $AE$ να είναι γεωμετρικός μέσος των τμημάτων $BE$ και $EC$ Δίνω τώρα την κατασκευή και ας μου επιτραπεί να επανέλθω αργότερ...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Δεκ 09, 2019 12:33 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μπαρμπαστάθεια 2019
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 308

Re: Μπαρμπαστάθεια 2019

Χαιρετώ. Ορέστη , Γιώργο, Μιχάλη και Κώστα σας ευχαριστώ για τις λύσεις-παρεμβάσεις σας! Οι μαθητές-μαθήτριες που έλαβαν μέρος φοιτούν στην Γ τάξη. Βαθμολογήσαμε τα γραπτά. Επαληθεύτηκε η αρχική εκτίμηση για δυσκολία όχι μόνο στο α ερώτημα αλλά σε όλο το θέμα της Γεωμετρίας. Φαίνεται , δυστυχώς ότι...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Δεκ 07, 2019 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μη κυρτό πεντάγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 102

Μη κυρτό πεντάγωνο

Καλή Κυριακή σε όλους. Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat{A}=90^{0}$ και $AB>AC$. Η διχοτόμος της $B\widehat{A}C$ τέμνει την $BC$ στο $E$ και τον περίκυκλο του $ABC$ στο $M$. Έστω $N$ το μέσον του $EM$. Φέρω $PA \perp AM$ με $PA=AN$ και $ET \perp AM $ με $T \in PN$. Θεωρούμε τ...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Δεκ 07, 2019 1:38 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 262

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά σε όλους τους προαναφερθέντες, ασφαλώς και στο Νίκο Φραγκάκη!
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Δεκ 06, 2019 2:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερδιπλάσιο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 133

Re: Υπερδιπλάσιο

Καλό απόγευμα. Για το υπολογισμό του $AN$ χωρίς Πτολεμαίο. Υπερδιπλάσιο...PNG Με $AE=AC=b$ τα τρίγωνα $AEN,ACN$ είναι ίσα οπότε $NE=NC=NB$ και $\widehat{ANE}=\widehat{NEB}-45^{0}=\widehat{NBE}-45^{0}=\widehat{ABC}$. Συνεπώς το $BEHN$ είναι εγγράψιμο και $AH\cdot AN=AE\cdot AB=bc$. Η διχοτόμος $AH=\...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Δεκ 05, 2019 12:27 am
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ο Εμποράκος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 231

Re: Ο Εμποράκος

Χαιρετώ μικρούς και μεγάλους. Μια προσπάθεια Δημήτρη εφόσον κατάλαβα καλά τα εξής: α) Ο εμποράκος μας πουλάει κάθε δοχείο με φιστίκια για $2$ ευρώ χωρίς να το ζυγίσει . β) Όταν για παράδειγμα πουλήσει $10$ κιλά φιστίκια και αφού καλύψει όσα στοιχίζουν τα δοχεία που θα δώσει να του μένουν καθαρά $40...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Δεκ 03, 2019 10:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμένη καθετότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 393

Re: Υπολογισμένη καθετότητα

Χαιρετώ. Ας κρατήσουμε από τη λύση του Πρόδρομου το τρίγωνο $EFA$ , όπου $\widehat{AEF}=108^{0}...AE=k...EF=k\left ( \Phi +1 \right )$ και ότι $\angle NEC=\angle EFA $ ενώ $\widehat{BEN}=72^{0}$.Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $\angle EFA =18^{\circ}$. Θεωρούμε το τρίγωνο $MIG$ με γωνίες όπως στο σχήμ...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Δεκ 02, 2019 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμένη καθετότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 393

Re: Υπολογισμένη καθετότητα

Καλό βράδυ! Ένα ακόμη εύγε κι' ένα μεγάλο ευχαριστώ στον μοναδικό Πρόδρομο
για την επιμονή του μέχρι να φτάσει στην απόδειξη του παρόντος.. :clap2:

Σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω και την προσωπική προσέγγιση , η οποία αρχικά είναι ίδια με αυτή του Πρόδρομου. Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Δεκ 02, 2019 6:34 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τριάδα ίσων γωνιών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 111

Τριάδα ίσων γωνιών

Γεια σας. Με αφορμή την ανάρτηση #5# στο θέμα αυτό του αγαπητού Κώστα Σφακιανάκη και με χρήση του σχήματος Τριάδα ίσων γωνιών.PNG Τα τρίγωνα $ABC$ και $DEG$ έχουν $\widehat{A}=\widehat{D}=\theta $ και $\widehat{B}=\widehat{E}=\omega $. Ν' αποδειχθεί ότι: Οι φορείς των ομόλογων πλευρών τους (τρία ζε...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μπαρμπαστάθεια 2019
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 308

Μπαρμπαστάθεια 2019

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές. Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG Το $AB\Gamma\Delta $ είναι τετράγωνο και τα...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:31 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Ανδρέα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 255

Re: Του Αγίου Ανδρέα

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους τους εορτάζοντες! Θερμές ευχές στους:
Ανδρέα Βαρβεράκη, Ανδρέα Πούλο και Ανδρέα Παντερή.
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Νοέμ 30, 2019 2:30 am
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Χαρταετός
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 307

Re: Χαρταετός

Καλημέρα. Υποσχέθηκα ακόμη μία λύση κι' επειδή καθυστέρησα.. :) .. υποχρεούμαι να υποβάλω δύο τρόπους. Με χρήση του σχήματος Χαρταετός ΙΙI.PNG I) Παίρνουμε $DR=12$ ώστε να είναι $\dfrac{RD}{AD}=\dfrac{CZ}{CE}$ οπότε $\widehat{RAD}=\widehat{CEZ}=\omega $. Στο τρίγωνο $EAR$ έχουμε και τα $3$ μήκη πλε...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσιο εμβαδόν
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 182

Re: Διπλάσιο εμβαδόν

Χαιρετώ! Διπλάσιο...PNG Αν $N$ το μέσον της $AC$ τότε $MN \parallel AB$ . Ακόμη $ TS \parallel AC $ οπότε η $MN $ διέρχεται από το μέσον $E$ του $ST$. Στο τραπέζιο $APME$ έχουμε από Θ. Θαλή $\dfrac{PT}{TE}=\dfrac{AT}{TM}\Leftrightarrow PT\cdot TM=AT\cdot TE\Leftrightarrow \left ( PTM \right )=\left...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Νοέμ 25, 2019 10:50 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 213

Re: Μέγιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Καλό βράδυ σε όλους! Υποβάλλω το σχήμα , θ' ακολουθήσει η αιτιολόγηση της κατασκευής.. Μέγιστο εμβαδόν KARKAR.PNG Για το εγγράψιμο $ABCD$ ισχύει $cosC=-cosA$. Βρίσκουμε (*) δύο εκφράσεις για το $BD^{2}$ με τη βοήθεια του Ν.Συνημιτόνων : Στο τρίγωνο $ABD$ είναι $BD^{2}=5^{2}+11^{2}-2\cdot 5\cdot 11c...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Νοέμ 25, 2019 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Χαρταετός
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 307

Re: Χαρταετός

Καλησπέρα! Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες και ποικίλες επεμβάσεις σας! Μόνο λίγα για την δημιουργία του θέματος τώρα και σε επόμενη δημοσίευση θα δώσω μια ακόμη απόδειξη , αν δεν καλυφθεί ως τότε. Χαρταετός ΙΙ.PNG Για να ισχύει το ζητούμενο αρκεί να είναι $\omega +\theta =45^{0}$. Με χρήση του ...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Νοέμ 25, 2019 12:22 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με Τριγωνομέτρη αρωγό... ή μήπως όχι ;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 97

Με Τριγωνομέτρη αρωγό... ή μήπως όχι ;

Καλημέρα. Μια ακόμη σύνθεση, ως συνέχεια αυτού του θέματος. Η τριγωνομετρία συνοδός...PNG Στο σχήμα το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $DHIC$ ορθογώνιο . Το $E \in DC$ με $FZE \perp DC..Z \in HI$ και $EF=EC$. Αν ισχύει $\left ( DEZH \right )=\left ( ZIF \right )$ τότε να εξεταστεί αν είναι $\widehat{...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Νοέμ 24, 2019 12:33 am
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Χαρταετός
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 307

Χαρταετός

Καλή Κυριακή σε όλους. Χαρταετός.PNG Το τετράγωνο $ABCD$ του σχήματος έχει πλευρά $a=20$.Παίρνουμε $DE=5$ , $CZ=9$ και $\widehat{ZEH}=\widehat{DAE}=\theta $. Να δειχθεί με διάφορους ( και έναν τουλάχιστον εντός φακέλου) τρόπους ότι το $AECH$ είναι χαρταετός δηλ. ότι η $AC$ είναι μεσοκάθετος του $EH...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Νοέμ 22, 2019 12:47 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 266

Re: Μέγιστο ... ποικιλοτρόπως

Καλημέρα σε όλους! . Ας δούμε και μια << εικονική>> λύση , ελπίζω -λόγω φακέλου- προς ... :) ...τέρψιν του θεματοθέτη και όχι μόνο. Θεωρώ $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )+h\left ( x \right )$ με $g\left ( x \right )=x$ και $h\left ( x \right )=\sqrt{1-x^{2}}$. Οι $C_{g},C_{h}$ , διχοτόμος κ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Νοέμ 20, 2019 2:19 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 295

Re: Ίσα τμήματα

Χαιρετώ και πάλι. Επανέρχομαι για την απόδειξη που υποσχέθηκα. 'Ισα τμήματα ΙΙ.PNG Είναι $OKZ \parallel BC $ (ως κάθετες στην $AC$) , θα δείξουμε ότι $OK=BC$. Τα τετράπλευρα $MECD$ και $MKAZ$ είναι (λόγω των ορθών γωνιών) εγγράψιμα με διαμέτρους τις $ED$ και $AK$ έτσι έχουμε $\widehat{M_{1}}={\wide...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Νοέμ 19, 2019 3:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 295

Re: Ίσα τμήματα

Καλησπέρα σε όλη την παρέα! Ίσα τμήματα.PNG Φέρω $KZ \perp AC$ που τέμνει την $CL$ στο $O$. Θα δείξουμε πρώτα ότι τα $A,D$ είναι συζυγή αρμονικά των $C,Z$ και στη συνέχεια ότι το $KOBC$ είναι παραλληλόγραμμο που σημαίνει ότι οι $BK,OC$ διχοτομούνται. Θα επανέλθω για την απόδειξη των ανωτέρω. Φιλικά...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση