Καλησπέρα! Νομίζω ότι είναι μία καλή ευκαιρία για εξάσκηση στο Θεώρημα Θαλή. Βασισμένοι στο δυνατό αυτό θεώρημα και μόνο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι το ζητούμενο αληθεύει για κάθε σημείο $E$ επί της διαμέσου $BM$ του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC$ και δεν είναι απαραίτητο να είναι η $AE$ διχότό...

Χαίρετε! Απρόσμενα (;) ισοσκελές !.png Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, $M$ είναι το μέσο του τόξου $BC$ (όπου δεν ανήκει το $A$) και $I$ το έγκεντρο του $\triangle ABC$. Αν $E \in AC$ ώστε $IE \parallel BC$ και ο κύκλος των $B,I,M$ τέμνει την $BC$ και στο $P$ τότε Να εξεταστεί αν το τ...

Kαλημέρα σε όλους! Άλλη μία για την ποικιλία, με χρήση του σχήματος Τριχοτόμηση.png Αν $CLI \parallel BN$ από το εγγράψιμο $AMIC$ έχουμε $\widehat{AIC}=\widehat{AMC}=\omega +\pi /4 $ ενώ και $\widehat{ACI}=\omega +\pi /4 $ άρα το ύψος $AL$του ισοσκελούς $ACI$ είναι και διάμεσος οπότε το $T$ μέσον τ...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με υγεία-ευτυχία στους

Ανδρέα Βαρβεράκη, Ανδρέα Πούλο, Ανδρέα Παντερή και Ανδρέα Κουλούρη!

Χαιρετώ και πάλι για να δώσω την προσσέγιση που οφείλω. Με χρήση του σχήματος Χαρακτηρισμός τομής ιι.png Το παρόν έχει βάση το θέμα Συγχορδία . Προκύπτει όπως εκεί ότι το $BELA$ είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα $AE=BL=2$. Έχουμε $\sqrt{\Phi +2}=\left ( BELA \right )=sin\omega \cdot BL^{2}/2\Rightarrow ...

Καλησπέρα στους φίλους! 29-11 Κατασκευή NF.png Θεωρώ τα συνευθειακά $B,E,C$ με $BE=5...EC=9$ και το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$. Η κάθετη της $BC$ στο $E$ τέμνει το ημικύκλιο στο $A$. Αρκεί πλέον να κατασκευάσουμε τρίγωνο $KLM$ όμοιο του $BAC$ με $\widehat{L}=\widehat{A}=90^o$ και $LM=k$. Είναι $\dfra...

Χαιρετώ. Βρείτε την ΑΒ(1).png Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $\widehat{A}> 90^o$. Το $E \in BC$ ώστε να ισχύει $\widehat{BAE}=\widehat{B}+\widehat{C}$. Αν είναι $AC=2AE$ και δοθεί $BC^2 -AC^2=1152$ τότε Να υπολογιστεί το μήκος της πλευράς $AB$ . (Η επιλογή του αριθμού $1152$ δεν ήταν .. :) ..εν...

Καλό βράδυ σε όλους! Είναι . Σχηματίζω το ισόπλευρο . Στο τρίγωνο έχουμε και

επομένως όπως ΕΔΩ προκύπτει . Φανερό πλέον ότι .

Φιλικά, Γιώργος.

Καλό βράδυ! Μιχάλη, Νίκο και Γιώργο σας ευχαριστώ θερμά!
Ας κάνουμε ακόμη ένα κόπο: Να δείξουμε την σχέση χωρίς το Θ. Μενελάου.
Και πάλι ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλό βράδυ! Να ευχαριστήσω βεβαίως τον Γιάννη για την ωραία διαπραγμάτευση του θέματος!

Είναι λοιπόν .Το χαρακτηρίζεται συνεπώς ως χρυσή τομή για το , αλλά και για το .

Σε επόμενη δημοσίευση θα υποβάλω μια ακόμη προσέγγιση. Φιλικά, Γιώργος.

Χαιρετώ. Το όπου διάμεσος του τριγώνου . Οι τέμνουν τις στα αντιστοίχως.

Να εξεταστεί αν . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Για την Καλησπέρα.. Παραλλαγή στο τέλος της λύσης του Μανώλη χωρίς τη χρήση του $cos \pi /12$ Όριο 65.png Με $\widehat{CAB}=\pi /12$ και $CE \perp AB$ στο ορθ. τρίγωνο $CEO$ είναι $OE=r\sqrt{3}/2\Rightarrow AE=r\left (1+ \sqrt{3}/2 \right )$ ενώ $CE=r/2$ . Το Π.Θ στο $ACE$ δίνει τελικά $AC=\dfrac{r...

Καλό βράδυ ! Να ευχαριστήσω βεβαίως τον Νίκο για την υπέροχη διαπραγμάτευση του παρόντος! Κλειδί , όπως γίνεται φανερό είναι ο διπλός ρόλος του σημείου $I$ : έγκεντρο του τριγώνου $BAC$ και ορθόκεντρο του τριγώνου $FAN$. Τέλος -για χάρη της βαλλόμενης ευθυμίας μας- μια ερώτηση : Θεωρείτε ότι τα γρά...

Επανέρχομαι.. Από διαΦορά...Ν.Φ(1).png Φέρω $DH \perp AC$ . Τότε $DE=AH$. Αρκεί να δείξουμε $AD=HC$. Αν $AB=c$ όπως βρέθηκε-γράφηκε είναι $BC=c\Phi$ και με Π.Θ $AC=c\sqrt{\Phi }$ . Ακόμη $\dfrac{DC}{BD}=\dfrac{AC^{2}}{AB^{2}}=\Phi $ άρα και $\dfrac{BC}{DC}=\Phi \Rightarrow DC=AB=c$ . Από τα ίσα ορθ...

Καλό βράδυ! Mε αφορμή το θέμα του Νίκου , ΕΔΩ Από έγκεντρο σε έγκεντρο.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^o$ , το $AD$ είναι ύψος του ενώ το $H \in AC$ ώστε να είναι $DH \perp AC$ κι΄ακόμη ισχύει $\dfrac{BC}{AB}=\Phi $ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός. To $F$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $DA...

Χαιρετώ όλους! Ας μου επιτραπεί να θέσω σε απόκρυψη μόνο σχήμα , με την υπόσχεση να επανέλθω.

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ με υγεία σε όλους , όσους γιορτάζουν!
Θερμές ευχές στους αγαπητούς
Μιχάλη Λάμπρου, Μιχάλη Νάννο και Μιχάλη Τσουρακάκη.

Χαιρετώ. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ Χαρακτηρισμός ορθογωνίου.png Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο με $E \in CD$ και $Z \in BC$ ώστε $\widehat{AEZ}=90^o$. Αν ισχύει $\dfrac{AE}{EZ}=\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{CZ}{ZB}=\lambda $ τότε Υπολογίστε τον λόγο $\lambda$ ώστε να ... χαρακτηρίσετε το $ABCD$ . $\bigstar$ (Ας α...

Καλή Κυριακή και καλό μήνα σε όλους! Τα τρίγωνα είναι όμοια. Άρα και .

Φιλικά Γιώργος.

Χαιρετώ. Ας δούμε λοιπόν και την ακόλουθη λύση Γωνία από χρυσό ...png Έχουμε $\widehat{B}=2\widehat{C}$ και $CE=AB$ άρα όπως κι' ΕΔΩ παίρνουμε $AE=AB$. Έτσι στο ισοσκελές $ABE$ προκύπτει $\widehat{BAE}=84^o$. Ας θεωρήσουμε , όπως και στο θέμα ΤΟΥΤΟ το σημείο $N$ στην μεσοκάθετο $AM$ του $BE$ ώστε ν...