Χαιρετώ όλους! Να ευχαριστήσω βεβαίως τον μοναδικό KARKAR για τον τίτλο του θέματος.. Μια ακόμη παρόμοια λύση με χρήση του σχήματος Κοντά στο ..γεΦύρι.PNG Από τον Ν.Σ. είναι $ cosA=\dfrac{2b^{2}-a^{2}}{2b^{2}}=\dfrac{23}{32}$ , ενώ γίνεται φανερό ότι $\widehat{A}=2\theta $ οπότε $2cos^{2}\theta =1+...

Καλό βράδυ σε όλους ! Υποβάλλω το παρόν από απόσταση μιας..αναπνοής από το ιστορικό γε φ ύρι της Άρτας! Απ' το γεΦύρι της Άρτας.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $BC=a=3 cm$ και $\left ( BAC \right )=3 cm^2$ ενώ ισχύει $AB=2AC$. Αν $s$ η ημιπερίμετρός του τότε : Να... :) ... αποτιμήσετε τον λόγο $\dfrac{s}...

Ένα ακόμη ευχαριστώ στον Ορέστη και βεβαίως στον Γιώργο! Μια ακόμη συνοπτική προσέγγιση.Θεωρώντας γνωστή την πρόταση: Αν σε τρίγωνο $ABC$ είναι $b>c$ τότε $\upsilon _{b}< \upsilon _{c}$ και $\mu _{b}< \mu _{c}$ Η σχέση $b>c$ μας οδηγεί στην $\upsilon _{b}\cdot \mu _{b} < \upsilon _{c}\cdot \mu _{c}$...

Καλό βράδυ. Πολύχρονος και πάντοτε παραγωγικός ο Θεματοθέτης! Με τη βοήθεια του σχήματος που ακολουθεί. Ας είναι για ευκολία $a=6\Rightarrow BE=2 $. Τα τρίγωνα $DEC,DAZ$ και $DAH$ είναι προφανώς ίσα και δίνουν το τρίγωνο $DEH$ ως ορθογώνιο και ισοσκελές οπότε το ορθογώνιο $SET$ με $45$άρα γωνία είν...

Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Αν $\widehat{ABC}=\omega...\widehat{BEZ}=\theta $...

Χρόνια πολλά με υγεία σε όλους τους εορτάζοντες.Ιδιαίτερες ευχές στους
Θανάση Καραντάνα (KARKAR) , Θάνο Καλογεράκη, Θάνο Μάγκο,
Θανάση Κοντογεώργη, Θανάση Μπεληγίαννη, Θανάση Κοπάδη και Thanasis.a

Χαιρετώ όλους τους $\Phi$ίλους! Ημικύκλιο ..N.F.PNG Δεξιά στο σχήμα η $DB$ τέμνει τον κύκλο των $A,B,C$ στο $H$. Είναι $\widehat{ABH}=90^\circ$ οπότε $AMH$ διάμετρος και το $ABHC$ ορθογώνιο. Έχουμε $AD^{2}=2c^{2}...DH=b+c$ και $DC \perp AH$. Από τη συνθήκη καθετότητας παίρνουμε $DH^{2}-CH^{2}=DA^{2...

Καλό βράδυ ! Με χρήση του σχήματος Όμορφη καθετότητα.PNG Οι $PO,AQ$ τέμνονται στο $F$. Αρκεί οι οξείες γωνίες του τριγώνου $FOQ$ να έχουν άθροισμα μία ορθή. Από σχολική άσκηση είναι $\widehat{MOQ}=\theta +\omega =90^\circ $.Τότε $\widehat{PMO}=90^\circ +\widehat{AOM}=\widehat{AOQ}$. Ακόμη $\widehat...

Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα. Ισοσκελές και καθετότητα.PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με συντεταγμένες κορυφών $A(0,20)...B(-10,0)$ και $C(10,0)$. Θεωρούμε το ύψος $AO$ και $E \in AC$ ώστε $OE \perp AC$. Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του $E$ . Αν $M$ το μέ...

Χαιρετώ και πάλι. Επανέρχομαι για συντομότερη παραλλαγή Διχοτόμηση ..Κ.Β.. 2.PNG Φέρω και $CT \parallel BN \parallel DM$. Όπως πριν είναι $PD= \parallel CH$ οπότε $MN=HT$ ενώ και $BD=CE\Rightarrow MN=TE$ άρα $MN=HT=TE=s$. Από τα ίσα τρίγωνα $ZAN,NHC$ προκύπτει $ZN=NH$. Έτσι έχουμε $ME=MH+2s$ αλλά κ...

Καλημέρα. Θα συμφωνήσω με τον Ορέστη ως προς την ταχύτητα!
Όσο για το μήκος του τραίνου μια ερώτηση : Είσαι σίγουρος Ορέστη ότι ο... οδοντωτός είναι μέτρα ;
Φιλικά, Γιώργος.

Για την Καλημέρα στους φίλους και αγαπητούς, μια άλλη ..μακρύτερη προσπάθεια Διχοτόμηση ..Κ.Β..PNG Το $K$ κοινό μέσον των $DC,BE$ ενώ $CH \parallel AD \parallel KN$ και $DQ \parallel AC$. Τα τρίγωνα $ZAN , NHC $ είναι ίσα άρα $AZ=CH$. Ακόμη $\dfrac{PD}{KN}=\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{CH}{KN}$ οπότε $PD=CH...

Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση. Ας δούμε και την ακόλουθη Ανεξάρτητο εμβαδόν.PNG Η $RG$ τέμνει την $ZE$ στο $Q$. Το $G$ είναι βαρύκεντρο οπότε παίρνουμε $RC=2ZQ...BR=2QE$ (από τα όμοια τρίγωνα). Με διαίρεση έχουμε $\dfrac{RC}{BR}=\dfrac{ZQ}{QE}$. Έτσι $\dfrac{ZH}{HB}=\df...

Παρά την καθυστέρηση να εκφράσω τις ευχές μου για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους

Γιάννη Θωμαίδη , Γιάννη Σταματογιάννη ,Γιάννη Κερασαρίδη , Γιάννη Σαράφη, Γιάννη Τσόπελα, Γιάννη Γεωργά,

Γιάννη Μπόρμπα, Γιάννη Στάμου , Γιάννη Καραγιάννη και βεβαίως στον νεαρό Πρόδρομο!

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλες και όλους τους εορτάζοντες.
Εγκάρδιες ευχές στην Φωτεινή Καλδή τον Φάνη Θεοφανίδη και τον Φώτη Μαραντίδη!

Καλημέρα! Σ' ευχαριστώ Ορέστη για τον χρόνο που διέθεσες κι' ένα (θερμό λόγω.. καιρικών συνθηκών) :clap2: για την μεθοδική σου απάντηση! Θέτω τώρα το σχήμα (το $Q$ είναι από τη λύση του Ορέστη) και σε εύλογο χρονικό διάστημα θα υποβάλω προσωπική προσέγγιση. Τα δευτερεύοντα....PNG Φιλικά, Γιώργος.

Χαιρετώ την ομάδα.. αμέσου δράσεως! Μια προσπάθεια για ..διάβασμα της σκέψης του δαιμόνιου KARKAR.. Συντομία...KARKAR.PNG Όπως βλέπω πρόλαβε ο ωκύτατος Νίκος! . Θα έγραφα λοιπόν πως ο Θανάσης ένωσε δύο βολικές Πυθαγόρειες τριάδες τις $5,12,13$ και $12,16,20$ και η συνέχεια είναι φανερή .. Φιλικά Γι...

Χαιρετώ. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με τα ύψη του $BH,CN$ τις διαμέσους του $BE,CZ$ και την διχοτόμο του $AD$. Αν ισχύουν $BE\cdot BH=CZ\cdot CN$ και $AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHN \right )}{\left ( BAC \right )}$ . Το ορθό σχήμα έπεται μέρους της λύσης ...

Επανέρχομαι για την ως άνω εκκρεμή απόδειξη , με χρήση του σχήματος Βαρύκεντρο.PNG Αν ισχύουν $BF=2FE$ και $CF=2FZ$ θα δείξουμε ότι το $F$ είναι το βαρύκεντρο του $ABC$ με τη βοήθεια των εμβαδών. Θέτω $\left ( FEC \right )=x$ και $\left ( AFE\right )=y$. Τότε $(BFC)=2x$ και $(BFZ)=x$ . Ακόμη $\left...

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Πρόδρομο και τον Νίκο για την κάλυψη του θέματος! Μία ακόμη προσέγγιση με χρήση του σχήματος Συνευθειακά και μέγιστο PNG.PNG Θέτω $BR=x\cdot BC=x a..CZ=m_{c}..BE=m_{b}$. Τότε $HR=xm_{c}$ και $RC=\left ( 1-x \right )a\Rightarrow IC=\dfrac{\left ( 1-x \right )b}{2}$. Φέρω $HT...