Η αναζήτηση βρήκε 815 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιούλ 17, 2018 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδών πρόοδος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 228

Re: Εμβαδών πρόοδος

Γεια σας και ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ σε όλο το :logo: ! Ευχαριστώ τους Νίκο, Μιχάλη , Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση! Αιτία του θέματος ήταν το παλαιό θέμα ΕΔΩ του αγαπητού Μπάμπη . Στη συνέχεια μια παρόμοια προσέγγιση συνοπτικά Εμβαδών πρόοδος Β.PNG Όπως έχει γραφεί η $BE$ είναι διχοτόμος ενώ $\widehat{B...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιούλ 17, 2018 1:47 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Κριτήριο ομοιότητας
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 260

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Καλημέρα.Ενδιαφέρον θέμα ! Ας επιχειρήσουμε μια γενίκευση : Κριτήριο ομοιότητας.PNG Αν για τα τρίγωνα $ABC, DEZ $ ισχύει επιπλέον $\dfrac{BH}{HC}=\lambda = \dfrac{EI}{IZ}$ να εξεταστεί αν αυτά είναι όμοια . Εφαρμόζοντας όπως πριν ο Διονύσης τον Νόμο παίρνουμε Στο τρίγωνο $ABC$ : $\dfrac{\eta \mu \o...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Ιούλ 14, 2018 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ημιπολύτιμος λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Ημιπολύτιμος λόγος

Καλημέρα! Με την βοήθεια Γιώργο της καλής μας Τριγωνομετρίας και χρήση του σχήματος: Ημί..χρυσος λόγος G.V.PNG Έστω $\widehat{B}=\widehat{C}=2\omega \Rightarrow \widehat{BHD}=2\omega $ ($DHFC$ εγγράψιμο). Έχουμε $ID=\dfrac{a\varepsilon \varphi \omega }{2}$ , $AI=HD=\dfrac{a}{2\varepsilon \varphi 2\...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Ιούλ 14, 2018 3:04 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Έκταση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 251

Re: Έκταση

Καλημέρα. Ελαφρά παραλλαγή: Έκταση.PNG Ας είναι $O$ μέσον της $BC$ , $AZ \perp BC$ και $\widehat{AOB}=\omega $ .Τότε $AZ=5\eta \mu \omega ...OZ=1+5\eta \mu \omega $ Με Π.Θ στο τρίγωνο $AOZ$ : $\left ( 5\eta \mu \omega \right )^{2}+\left ( 1+5\eta \mu \omega \right )^{2}=25 $ με δεκτή (θετική) ρίζα ...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:20 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 418

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Καλημέρα σε όλους Μέγιστο εμβαδόν.PNG Τα $K,T,H$ είναι τα μέσα των $AB,BC,AC$ .Έστω $M \in BK$ . Θα δείξουμε ότι $\left ( AKTH \right )\geq \left ( AMEZ \right )\Leftrightarrow ( ZHTO ) \geq \left ( MEOK \right ) $$\Leftrightarrow MK\cdot ME\cdot \eta \mu \omega \leq OZ\cdot OT\cdot \eta \mu \omega...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εμβαδών πρόοδος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 228

Εμβαδών πρόοδος

Χαιρετώ. Εμβαδών πρόοδος.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ με $BC=3AB$ όπου $M$ το μέσον της $AC$ και $E$ το μέσον του $AM$. Έστω $P$ το σημείο της $BE$ ώστε $AP=AE$ και $D$ η τομή των $ CB, MP$. Να εξεταστεί αν τα εμβαδά $\left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right )$ είναι διαδοχικο...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιούλ 01, 2018 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοδύναμα κυκλικά τμήματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 402

Re: Ισοδύναμα κυκλικά τμήματα

Χαιρετώ . Ας δούμε μια προσέγγιση του παρόντος. 1-7-18 Κυκλικά τμήματα ..λύση.PNG Το τρίγωνο $ABC $ έχει πλευρές $a=8.. b=6$ και $ c=4$ Είναι $8^{2}=8\cdot 6 +4^{2}$ άρα σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση :Σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει η ισοδυναμία :$a^{2}=ab+c^{2}\Leftrightarrow \widehat{A}=90^{0}+\wideha...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιούλ 01, 2018 1:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Το "κόλπο"
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 442

Re: Το "κόλπο"

Χαιρετώ και πάλι την διευρυμένη παρέα! Μια ακόμη με χρήση του $L$ που ο Θανάσης ''ξέχασε'' (;) να σβήσει.. Κόλπο...PNG Όπως είδαμε $A,N,L $ συνευθειακά. Αν $E$ μέσον του $AL$ τότε $ME=3$ και με τον Ν.Σ στο τρίγωνο $BEM$ παίρνουμε $BE=5$ ( $ cosM= -cosB$ ) Από τα ίσα τρίγωνα $MEN, LNC$ προκύπτει $N$...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιούλ 01, 2018 3:00 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Το "κόλπο"
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 442

Re: Το "κόλπο"

Καλό μήνα! Χαιρετώ τους φίλους ! Κόλπο .. KARKAR.PNG Παίρνω από αναρτήσεις πριν ( με την καλή έννοια της .. :) .. αντιγραφής ) $\left ( BAC \right )=27$ και $NC^{2}=\dfrac{73}{4}$ Είναι $\left ( BAC \right )=6\left ( KNC \right ) $ άρα $\left ( KNC \right )=\dfrac{9}{2} $ οπότε ύψος $NI=3/2$. Με το...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Ιουν 29, 2018 1:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νέο παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 287

Re: Νέο παραλληλόγραμμο

Καλημέρα. Ας θεωρήσουμε το $E$ ως τομή της $PZ$ με την παράλληλη από το $B$ προς τις $IZ,AC$. Θα δείξουμε ότι είναι $EC \parallel ZH \parallel AB $. Mε χρήση του σχήματος : Νέο παρ-μο.PNG Με το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $ACI$ και διατέμνουσα την $BPH$ : $\dfrac{IB}{BA}\cdot \dfrac{AH}{HC}\cdot \dfrac{...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Ιουν 27, 2018 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Λόγος τελικά..πρώτος
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 164

Λόγος τελικά..πρώτος

Χαίρετε. 27-6-18 Λόγος ..πρώτος..PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ και τη διχοτόμο του $BD$. Έστω $Z$ στη προέκταση της $AB$ ώστε $\left ( ZAD \right )=\left ( BAC \right )$ και $P$ στην προέκταση της $AC$ με $CP=BZ$. Αν $E \in AB$ ώστε $\left ( EAP \right )=\left ( BAC \right )$ τότε 1) Να εκφραστεί ο...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Ιουν 25, 2018 2:15 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1951

Re: JBMO 2018

Συγχαρητήρια στην Ελληνική και την Κυπριακή αποστολή !

Εύγε και πολλά :clap2: στον ΜΟΝΑΔΙΚΟ Ορέστη Λιγνό για την κορυφαία επίδοση!!
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Ιουν 25, 2018 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νέο παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 287

Re: Νέο παραλληλόγραμμο

Σ'ευχαριστώ πολύ Κώστα για τη λύση !
Ακριβώς , το σκεπτικό που γράφεις με οδήγησε στην δημιουργία και την υποβολή του παρόντος..
σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω (αν δεν καλυφθεί) απόδειξη του ζητουμένου , χωρίς τη χρήση του λήμματος.
Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιουν 24, 2018 11:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Έγκεντρο και γωνίες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 285

Re: Έγκεντρο και γωνίες

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους Νίκο , Μιχάλη και Μιχάλη για τις απαντήσεις ! Μια ακόμη , με χρήση του σχήματος : Έγκεντρο και γωνίες....PNG Η $BZ$ διχοτόμος της $\widehat{EBC}$. Τα τρίγωνα $BIC, BZC$ είναι ίσα άρα $BI=ZC$ Το $BEC$ ισοσκελές με $BE=EC$ άρα και $EI=EZ$ . Ακόμη το $ABZ$ ισοσκελές συνεπώς ...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιουν 24, 2018 1:01 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νέο παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 287

Νέο παραλληλόγραμμο

Χαιρετώ. Με αφορμή παλαιό θέμα.. 24-6-18 Nέο παρ-μμο.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=6..AC=7 $ και $BC=11$. Tο $Z$ κινείται στην πλευρά $BC$ και $I \in AB..H \in AC$ ώστε το $AIZH$ να είναι παραλληλόγραμμο . Το $P$ είναι η τομή των $BH,CI $ ενώ ο κύκλος $\left ( A,7 \right )$ τέμνει την ημιευθεία $PZ...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Ιουν 09, 2018 1:41 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Λόγος ζηλευτός !
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 237

Re: Λόγος ζηλευτός !

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους Νίκο , Γιώργο και Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις Μια ακόμη προσέγγιση 9-6-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG Με $GMN \parallel AB $ είναι το $N$ μέσον της $AC$ άρα $MN=AB/2=5$ ενώ ,ως άνω, $GM=AE=2$ . Τότε $BE=8=BM...AN=7=GN$. Στο ισόπλευρο $BAM$ έχουμε $EI=IM$ , άρα $I$ έγκεντρο του $B...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Ιουν 07, 2018 1:00 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Έγκεντρο και γωνίες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 285

Έγκεντρο και γωνίες

Καλημέρα.
7-6-18 'Εγκεντρο και γωνίες.PNG
7-6-18 'Εγκεντρο και γωνίες.PNG (5.13 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
Η BE είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC και I το έγκεντρον αυτού. Αν είναι \widehat{B}=2\widehat{C} και BI=AE τότε

Να υπολογιστούν οι γωνίες του ABC

Ας το αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές... Ευχαριστώ , Γιώργος
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Μάιος 31, 2018 1:06 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λογι-κή ευθυγράμμιση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 329

Re: Λογι-κή ευθυγράμμιση

Xαιρετώ! Ορέστη σ' ευχαριστώ και πάλι για την ευαρέσκειά σου .. να είσαι καλά !
Το παρόν θέμα οφείλει την εμφάνισή του στο παλαιό μεν αλλά και ωραίο θέμα του Κώστα Βήττα , ΕΔΩ
Φιλικά Γιώργος .
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Μάιος 31, 2018 12:44 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Απρόσμενη (;) διχοτόμηση τμήματος.
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 1203

Re: Απρόσμενη (;) διχοτόμηση τμήματος.

Καλημέρα σε όλους ! Επανέρχομαι στην παρούσα πρόταση του Κώστα (που ήρθε ξανά στην επιφάνεια από τον Θανάση ) για να δώσω μια γενίκευση αυτής : Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=90^{0}$ και $AD$ ύψος του. Στην προέκταση της $DA$ θεωρούμε σημείο $E$ ώστε $AE= \lambda AD$. Αν $BMF\perp EC$ όπου ...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Μάιος 28, 2018 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λογι-κή ευθυγράμμιση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 329

Re: Λογι-κή ευθυγράμμιση

Kαλό βράδυ. Ευχαριστώ πολύ τον Ορέστη και τον Νίκο για την ανταπόκριση! Aς δούμε και την προσέγγιση που ακολουθεί Λογική ευθυγράμμιση.PNG Έχουμε $AE\cdot ID=AD\cdot AI\Rightarrow \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AI}{ID} \Rightarrow \dfrac{DE}{AD}=\dfrac{AD}{ID}\Rightarrow DE\cdot DI=AD^{2}=BD\cdot DC$ $ \Righ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση