Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B , No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196. Φιλικά, Αχιλλέας Αχιλλέα, είσαι τρομερός. Ξέρεις την πηγή των ασκήσεων από την στιγμή που... αρχίζει να δακτυλογραφεί κάποιος την εκφώνηση. Τι λύση έχει το Gazeta ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:59 pm

...

Μου την έστειλε φίλος από Ρουμανία. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Δεν ξέρω περισσότερα για την προέλευσή της.

Καλησπέρα σας!

Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B, No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Είναι γνωστό ότι $a^5-a^3+a=2$. Να αποδείξετε, ότι $3< a^6 < 4$. Προφανώς $a\ne 0$ και $a\ne 1$. Παρατηρούμε ότι $2a+\dfrac{2}{a}=a^2(a^4-a^2+1)+(a^4-a^2+1)=(a^2+1)(a^4-a^2+1)=a^6+1\geq 1$. Άρα $a>0$ και $a^6-3=2\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-4=2\dfrac{(a-1)^2}{a}>0$, αφού $a\ne 1$. Άρα $a^6>3$, κι αφ...

chris_gatos έγραψε: ↑

Τετ Νοέμ 11, 2020 12:44 am

Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556

Ποια συζήτηση;

Φιλικά,

Αχιλλέας

3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ . Πότε ισχύει η ισότητα; Καλησπέρα! Τα παρακάτω τα είχα ετοιμάσει για τους μαθητές του σχολείου μας πριν λίγου...

Για την ισοδυναμία : $x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+1=x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2}=x^2+\dfrac{2x^2+2x+1}{(x+1)^2}$ $=x^2+\dfrac{2x(x+1)+1}{(x+1)^2}=x^2+\dfrac{2x}{(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)^2}=(x+\dfrac{1}{x+1)})^2}$ . Τα λοιπά : $x+\dfrac{1}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-x-1=0 $ , με ρίζες...

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:39 pm

Προσθέτουμε από μια μονάδα στα δύο μέλη : κ.λ.π.

Come on! Ποια είναι τα λοιπά; Ούτε την ισοδυναμία βλέπω άμεσα...

Εάν κάνουμε όλοι έτσι, πάει το forum.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Δεν ξέρω πώς λύθηκε στο test. Θέτω $\boxed{x+1=t}$ και η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {(t - 1)^2} + \frac{{{{(t - 1)}^2}}}{{{t^2}}} = 3 \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0$ Η εξίσωση που προέκυψε είναι αντίστροφη (*) . Διαιρώ με $\displaystyle {t^2} \ne 0$ και έχω: $\displaystyl...

Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ , και του 2ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Practice TEST 3 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα...

Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ , ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Practice TEST 2 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός $N$ ...

Καλησπέρα σας! Την περίοδο προετοιμασίας για τον ΘΑΛΗ, οι μαθητές μας κλήθηκαν να εξασκηθούν υπο διαγωνιστικές συνθήκες σε τρια τεστ, τα οποία Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ: P...

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτε...

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτε...

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Παρ Νοέμ 06, 2020 8:24 pm

achilleas έγραψε: ↑

Παρ Νοέμ 06, 2020 7:59 pm

Αντιγράφω τη λύση που μόλις μου έστειλε για έλεγχο ορθότητας ένας μαθητής μας, ο Θωμάς Πνευματικός:

Αρκεί να έχει γίνει και ο έλεγχος ότι κάθε παράγοντας είναι μεγαλύτερος του , για να μην χάσει κάποιο βαθμό ο μαθητής.

We know...Του το έχω πει ήδη.

... Καλησπέρα Αχιλλέα. Η λύση που κάνεις γίνετε πιο απλή αν πούμε ότι το 81 σε οποιοδήποτε εκθέτη λήγει σε 1 και το 4 σε περιττο εκθέτη λήγει σε 4 ! Άρα το άθροισμα λήγει σε 5 και άρα διαιρείται με το 5. Επίσης υπάρχει και άμεση λύση λόγω της ταυτότητας Sophie-Germain!! Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδ...

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Το $AEK\Delta$ είναι εγγράψιμο, όπου $K$ είναι το ορθόκεντρο του $\triangle AB\Gamma$. Από τον Νόμο των ημιτόνων στο $\triangle AB\Gamma$ είναι $AB=2AO\sin A\widehat{\Gamma}B$, και από τον Νόμο των ημιτόνων στο $\triangle AE\Delta$ είναι $A\Delta =AK\sin A\widehat{E}\Delta$. Αλλά ...

Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Αφού $A\widehat{M}\Gamma=90^\circ$ (η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος), η $A\Gamma$ είναι διάμετρος του $(c)$, με το μέσο της $N$ να είναι το κέντρο του $(c)$. Άρα είναι $AN=N\Delta$, οπότε η κάθετη από το $N$ στην $AB$ είναι η μεσοκάθετος του $A\Delta$. Επίσης, η κάθε...

Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 Για κάθε ακέραιο $k$ είναι $\displaystyle 3k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1), $ Έστω $A$ το άθροισμα του Ανδρέα, $B$ το άθροισμα του Βασίλη, και $\Gamma$ το άθροισμα της Γεωργίας είναι $ \begin{aligned} 3A+3B&=3(1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+2019\cdot 2020) \\ &=1\cdot 2\cdot 3+ (2\cdot 3...

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 Από γωνία χορδής και εφαπτομένης, τις ίσες προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς $AB\Gamma$ και το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ έχουμε $ \begin{aligned} \Delta\widehat{\Gamma}K=\Delta \widehat{B}\Gamma &=90^\circ-A\widehat{\Gamma}B\\ &=90^\circ-A\widehat{B}\Gamm...

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτερ...