ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ Παρατηρούμε ότι η $CO$ είναι κάθετη στην κοινή χορδή $AD$ των κύκλων $(c)$ και $(c_3)$. Άρα η $A\widehat{D}C$ είναι συμπληρωματική της $O\widehat{C}D$. Ομοίως, η $DO$ είναι κάθετη στην κοινή χορδή $EC$ των κύκλων $(c)$ και $(c_2)$. Άρα η $E\widehat{C}D$ είναι συμπληρωματική της $O...

Ακόμα μια λύση για το ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ παίρνοντας την ιδέα από το παράδειγμα 16.1, σελ. 197 του Topics in Functional Equations , των T. Andreescu, et. al. (Για τις άλλες λύσεις δείτε εδώ , εδώ , και τις δύο πιο πάνω εδώ κι εδώ .) **************************** Λύση: Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε τ...

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την $Q(x^2)=Q(x)^2$ (*) όπου $Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n$ με $a_0\ne 0$, $n\geq 1$. Μπορούμε να προσαρμόσουμε τη λύση του προβλήματος 167, του Putnam and Beyond , των T. Andreescu, D. Andrica, 1st edition, σελ. 397, ως...

ΘΕΜΑ 3 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όπως και στην επίσημη λύση, το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση της $Q(x^2)=Q(x)^2$ (1) όπου $Q(x)=P(x)-1$. Αν το $Q(x)$ είναι σταθερό, τότε τελειώσαμε: $Q(x)=0$ ή $Q(x)=1$. Εάν $Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n$, όπου ($a_0\ne 0$ και $n\geq 1$), τότε η σχέσ...

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο να είναι περιττός ακέραιος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΘΕΜΑ 4 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω $(c_3)$ ο περιγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $AOK$, κέντρου $O_3$. Η $Z\widehat{O}C$ είναι επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο $ZC$ του $(c)$. Από το ισοσκελές τρίγωνο $ZDB$ και τη σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας στο ίδιο τόξο κύκλου, έχουμε $\displaystyle \begin...

.... ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω $\displaystyle \begin{aligned} 2\alpha-1&=k\beta, \\ 2\beta-1&=\lambda \gamma\\ \gamma-1&=\mu \alpha \end{aligned} $ για κάποιους θετικούς ακέραιους $k, \lambda, \mu$. Η πρώτη μας παρατήρηση είναι ότι οι αριθμοί $\beta, \gamma, k,\lambda$ πρέπει να είναι περιττοί. ... Μια...

... Και τώρα πάμε στο θέμα 3. Όπως ειπώθηκε πριν είναι το δυσκολότερο θέμα.Από την άλλη αυτό το θέμα λόγω της αυξημένης του δυσκολίας θα έχει λυθεί από ελάχιστα, πολύ λίγα άτομα, απευθυνόταν σε όσους κάνει εξαιρετική προετοιμασία. Συνομίλησα με πολλούς μαθητές, κανένας δεν το κατάφερε, τόσο ταλαντο...

Σχόλια επί των θεμάτων της Α Λυκείου Το 1ο θέμα απαιτεί άνεση και προσοχή στις αλγεβρικές πράξεις, γνώση των βασικών ταυτοτήτων. Το 2ο θέμα: Η γνώση της a+1/a>=2 (εφαρμογή του σχολικού) βοηθάει. Ο προετοιμασμένος μαθητής "πρέπει" να το έλυσε. Το 3ο θέμα είναι πιθανότατα το δυσκολότερο. Το 4ο θέμα ε...

... ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το τρίγωνο $AB\Theta$ προκύπτει από τη στροφή του $A\Delta E$ περί του $A$ κατά $90^\circ$ κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. (Εάν $\Theta'$ είναι η εικόνα του $E$ ως προς αυτή τη στροφή, θα πρέπει $\Theta'\in B\Gamma$ με $\Theta'E\perp AB$, οπότε $\Theta' \equiv \Theta$)....

ΘΕΜΑ 1-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Παρατηρούμε ότι $a_{n+1}=(n+1)M_{n+1}-nM_n$ για κάθε $n\geq 0$. Επίσης $M_{n+2}-M_{n+1}=M_{n+1}-M_n$ και $M_{n+3}-2M_{n+2}+M_{n+1}=0$, για κάθε $n\geq 0$, οπότε έχουμε $ \begin{aligned} &a_{n+3}-2a_{n+2}+a_{n+1}\\ &=\left((n+3)M_{n+3}-(n+2)M_{n+2}\right)-2\left((n+2)M_{n+2}-(n+1)M_{...

ΘΕΜΑ 2-Β Λυκείου (a) Είναι $(x-y)P(x,y)=x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ Αφού $x^4+y^4=(x^2+y^2-\sqrt{2}xy)(x^2+y^2+\sqrt{2}xy)$ παίρνουμε $P(x,y)=(x+y)(x^2+y^2)(x^2+y^2-\sqrt{2}xy)(x^2+y^2+\sqrt{2}xy)$. (b) Εάν $xy=1$, $x,y>0$, τότε $y=\frac{1}{x}$, και είναι $ \begin{aligne...

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathema...

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathema...

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathemat...

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας το...

Θα ήθελα να ρωτήσω τα μέλη φόρουμ για το πως γίνεται η βαθμολόγηση στην παρακάτω περίπτωση: Σήμερα έδωσα στην Α Λυκείου. Στο πρόβλημα 4 με τις ισότητες τριγώνων υποχρεώθηκα, λόγω λάθους στην αιτιολόγηση, να σβήσω μία ισότητα (η οποία όμως ήταν σωστή) και να την γράψω στο τέλος της απάντησης. Το πρό...

vittasko έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 18, 2020 2:52 pm

min## έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 18, 2020 12:55 pm

Βρε άνθρωποι,χαλαρά .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα)

Καλό!

Κώστας Βήττας.

Θεϊκό! Χίλια ταπεινά συγνώμη!

Επίσης, βλέπω λύσεις χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις. Tα θέματα έχουν ήδη αναρτηθεί στο internet και είναι γνωστά σε όλους τους διαγωνιζόμενους. Φιλικά, Αχιλλέας Αναφερόμουν στην παρούσα δημοσίευση. Όσο για τους διαγωνιζόμενους είναι προφανές ότι τα θέματα τους είναι γνωστά. Φιλικά, Περικλής Τα θέματα...

Βρε άνθρωποι,χαλαρά :lol: . Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα) :) Προς αποφυγή παρεξηγήσεων, δεν υπάρχει ανάρτηση λύσεων πριν τις 12:30μμ, η οποία είναι η προθεσμία που τέθηκε στο πρώτο ποστ. Φ...