Η αναζήτηση βρήκε 2568 εγγραφές

από achilleas
Σάβ Φεβ 22, 2020 5:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2020
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 5483

Re: Αρχιμήδης 2020

Θέμα 3/Μεγάλων Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται. Για το (β) Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς (1) Το $a^{2020}$ και το $b^{2020}$ (ενδεχομένως $b=1$), ή (2) Το $a^{2020}$ και το 2030. Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση $x^4-y^4=2021$ Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η $(x-...
από achilleas
Δευ Φεβ 17, 2020 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1325

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά! Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online! ... Καλησπέρα σας! Σήμερα το μεσημέρι έφτασαν τα παραπάνω βιβλία, οπότε είχα την ευκαιρία να τα ξεφυλλίσω. Πρόκειται, όπως αναμένα...
από achilleas
Παρ Φεβ 14, 2020 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1325

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά!

Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online!

Η συγγραφική ομάδα αποτελεί εγγύηση ποιότητας και εύχομαι να ετοιμάζουν ήδη την επόμενη προσφορά τους.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Φεβ 12, 2020 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7453

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του διαγωνισμού!

Τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν.

Καλή συνέχεια στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ! :)

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Φεβ 12, 2020 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη Παραλληλίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 173

Συνθήκη Παραλληλίας

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο O και το έγκεντρο I οξυγώνιου τριγώνου ABC είναι παράλληλη στην BC, τότε \cos B+\cos C=1.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Φεβ 11, 2020 6:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1724

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...
από achilleas
Κυρ Φεβ 02, 2020 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 274

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Δύο λόγια για το προτεινόμενο πρόβλημα: Το πρόβλημα αυτό το συνάντησα ως ΘΕΜΑ #6 της 62ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2011) με λύσεις εδώ . Αφού το πρότεινα στο forum, ξεφυλλίζοντας παλιά τεύχη του Crux Mathematicorum, είδα ότι το εξής παρόμοιο πρόβλημα τέθηκε στη Βρετανία σε τεστ επιλογής για...
από achilleas
Κυρ Φεβ 02, 2020 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 274

Re: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα. Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το $p_1(x)$ έχει κοινό σημείο είτε με την $y=x$ είτε με την $y=-x$. Ας πούμε ότι έχει με την $y=x$ και έστω $k$ ώστε $p_1(k)=k$. Τότε για $x=k$ στην σχέση παίρν...
από achilleas
Σάβ Φεβ 01, 2020 5:01 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 312

Re: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Να ορίσετε τους $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ έτσι ώστε το κλάσμα $\frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}$ να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left [ -3,4 \right ]$, και μόνον αυτές, όταν $x\epsilon \mathbb{R}$. Έστω $a,b$ οι ζητούμενοι αριθμοί. Από την $-3\leq \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+1}\leq 4...
από achilleas
Παρ Ιαν 31, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 99

Re: Τρίγωνο

Υπάρχει γωνία $x$ για την οποία οι τριγωνομετρικοί αριθμοί $\displaystyle sinx$ , $\displaystyle cosx$ , $\displastyle tanx$ αποτελούν πλευρές τριγώνου ? Προφανώς! H $x=\frac{\pi}{4}$ δίνει τους αριθμούς $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, και $1$, αντίστοιχα που αποτελούν πλευρές (ισοσκελο...
από achilleas
Παρ Ιαν 31, 2020 11:00 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα τετραγώνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 287

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Καλημέρα σας! Πρόκειται για το πρόβλημα 2027 του Mathematics Magazine . Μια λύση στο πρόβλημα δημοσιεύθηκε στο τεύχος Οκτωβρίου 2018. Μετά την ωραία λύση του Δημήτρη, γράφω αυτή που είχα στείλει στο περιοδικό. **************************************** Λύση . Παρατηρούμε ότι $n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n...
από achilleas
Πέμ Ιαν 30, 2020 9:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μηδενική ακολουθία από μηδενική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 380

Re: Μηδενική ακολουθία από μηδενική

Καλησπέρα σας!

'Ενα ωραίο άρθρο με ενδιαφέροντα προβλήματα που συνδέεονται με το θέμα του αρχικού ποστ δημοσιεύθηκε στο εξαιρετικό περιοδικό Gazeta Matematica εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Πέμ Ιαν 30, 2020 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 274

Ύπαρξη πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα p_1(x), p_2(x), p_3(x) και p_4(x) με ρητούς συντελεστές τέτοια ώστε

\displaystyle x^2+7=\left(p_1(x)\right)^2+\left(p_2(x)\right)^2+\left(p_3(x)\right)^2+\left(p_4(x)\right)^2

για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Πέμ Ιαν 30, 2020 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ύπαρξη πολλαπλασίων συγκεκριμένης μορφής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 325

Ύπαρξη πολλαπλασίων συγκεκριμένης μορφής

Να δειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο a υπάρχει ακέραιος b>a τέτοιος ώστε ο 1+2^b+3^b να διαιρείται από τον 1+2^a+3^a.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Πέμ Ιαν 30, 2020 6:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο με ακέραιες τιμές ή όχι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 246

Πολυώνυμο με ακέραιες τιμές ή όχι

Έστω P(x) ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συνετελεστές. Να δειχθεί ότι εάν ο αριθμός P(k) δεν είναι ακέραιος για κάποιον ακέραιο αριθμό k, τότε υπάρχουν άπειροι το πλήθος ακέραιοι αριθμοί m για τους οποίους ο P(m) δεν είναι ακέραιος.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Ιαν 29, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα τετραγώνων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 287

Άθροισμα τετραγώνων

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί n,a,b τέτοιοι ώστε

n(n+1)(n+2)(n+3)=a^2+b^2.

(Marian Tetiva)

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Ιαν 29, 2020 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 275

Re: Συνευθειακά σημεία

Αχιλλέα καλησπέρα, Είναι πολύ ωραία αυτή η άσκηση (και δύσκολη). Είναι η άσκηση 3.98 στο βιβλίο "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ". Εκεί παραθέτουμε συνθετική λύση. Καλησπέρα, Σιλουανέ, Ωραία και σύντομη λύση, να προσθέσω. Μόλις την διάβασα. Ευχαριστώ για την παραπομπή. (Αφορμή της αρχικής ανάρτησης αποτ...
από achilleas
Τετ Ιαν 29, 2020 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 261

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Καλησπέρα σας!

Το πρόβλημα αυτό αποτέλεσε το 1ο θέμα του 3ου γύρου της 70ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2019).

Οι λύσεις τους- επίσης στα πολωνικά- είναι διαθέσιμες εδώ.

Δείτε, επίσης, λύσεις στο AoPS εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Ιαν 29, 2020 7:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 275

Re: Συνευθειακά σημεία

Ευχαριστώ, Ορέστη! Η άσκηση αυτή τέθηκε στον μαθηματικό διαγωνισμό IMAR το 2003 και αποτελεί την 1η άσκηση γεωμετρίας στο βιβλίο του Andrei Negut, "Problems for the Mathematical Olympiads", GIL, Ρουμανία, 2005. O Andrei Negut δίνει μια λύση με μετρικές σχέσεις. Το σχετικό ποστ στην κοινότητα του AoP...
από achilleas
Τετ Ιαν 29, 2020 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κάθετες ευθείες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 146

Κάθετες ευθείες

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC$ και το μέσο $M$ του τόξου $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του $ABC$. Έστω $D$ σημείο στην προέκταση της πλευράς $BC$ (προς το $C$). Θεωρούμε σημεία $K$ και $N$ στις ευθείες $AB$ και $AC$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $DK//AC$ και $DN//AB$. Να δειχθεί ότι $MD\pe...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση