Η αναζήτηση βρήκε 2582 εγγραφές

από achilleas
Δευ Ιουν 22, 2020 11:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τεταρτοβάθμια
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 308

Re: Τεταρτοβάθμια

Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγουμε εάν γράψουμε πρώτα τη δοθείσα εξίσωση με το δεύτερο μέλος το 0, και κάνοντας παραγοντοποίηση με διαφορά τετραγώνων: $\displaystyle \begin{aligned} (x^2+k)^2=(2x+k+3)^2&\iff (x^2+k)^2-(2x+k+3)^2=0\\ &\iff (x^2-2x-3)(x^2+2x+2k+3)=0\\ &\iff (x+1)(x-3)(x^2+2x+2k+3)=0\\ ...
από achilleas
Παρ Ιουν 19, 2020 7:20 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Απαντήσεις: 56
Προβολές: 6633

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020

Κάποια από τα τελευταία μηνύματα διεγράφησαν σύμφωνα με τον κανονισμό του forum. Θυμίζουμε την αρχική ανάρτηση Σε αυτήν την συζήτηση μπορούμε να σχολιάσουμε (η επίλυσή τους συζητείται εδώ ) τα φετινά θέματα μαθηματικών προσανατολισμού 2020 για τα ημερήσια Γ.Ε.Λ. Παρακαλείσθε όπως ο σχολιασμός -κριτι...
από achilleas
Τετ Ιουν 17, 2020 9:49 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 251

Re: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

...... $2-\sqrt{e^2+8}<2a-e....$ .... Για την αριστερή ανισότητα παραπάνω, θα μπορούσαμε πιο απλά να παρατηρήσουμε ότι $2-\sqrt{e^2+8}<1-e<2a-e$. Πράγματι, η δεξιά ανισότητα έπεται από την $a>1/2$. Η αριστερή ανισότητα είναι ισοδύναμη με $1+e<\sqrt{e^2+8}\iff 1+2e+e^2<e^2+8\iff e<7/2$, που ισχύει. ...
από achilleas
Τετ Ιουν 17, 2020 9:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 251

Re: Πρόσημο αριθμού υπό συνθήκη!

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο ...
από achilleas
Τρί Ιουν 09, 2020 1:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο με προϋπόθεση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 150

Re: Ελάχιστο με προϋπόθεση

Μια παρατήρηση στην παραπάνω λύση (#3): Η χρήση των μεταβλητών $u,v$ είναι περιττή. Πράγματι, παρατηρούμε ότι $3x^2+xy+3y^2=2(x^2+xy+y^2)+(x^2+y^2-xy)=2(x^2+xy+y^2)+\dfrac{50}{x^2+y^2+xy}$ οπότε, όπως πριν, από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου-Γεωμετρικού Μέσου (αφού $x^2+y^2+xy>0$) παίρνουμε $3x^2+x...
από achilleas
Τρί Ιουν 09, 2020 10:29 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο με προϋπόθεση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 150

Re: Ελάχιστο με προϋπόθεση

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $3x^2+xy+3y^2$ , αν είναι γνωστό ότι : $x^4+x^2y^2+y^4=50 , ( x,y \in \mathbb{R} ) $ . Με $x=u+v$ και $y=u-v$ έχουμε $\displaystyle \begin{aligned} x^4+x^2y^2+y^4&=(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\ &=(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)\\ &=[(u+v)^2+(u-v)^2-(u^2-v^2)][(u+v)^2+(u-v)...
από achilleas
Τρί Ιουν 02, 2020 10:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Εύκολο ελάχιστο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 186

Re: Εύκολο ελάχιστο

Έστω $r$ η ζητούμενη ελάχιστη απόσταση. Τότε το σύστημα των εξισώσεων $x^2+y^2=r^2$ και $y=\dfrac{2}{x^2}$ έχει λύση. Είναι $r^2-3=x^2+\dfrac{4}{x^4} -3=\dfrac{(x^2+1)(x^2-2)^2}{x^4}\geq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ με $x\ne 0$, με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $x=\pm \sqrt{2}$. Έτσι, η ζητο...
από achilleas
Πέμ Απρ 30, 2020 7:46 pm
Δ. Συζήτηση: Εκπαιδευτικά Θέματα
Θέμα: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ
Απαντήσεις: 226
Προβολές: 6555

Re: ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΤΟΥ mathematica.gr ΓΙΑ ΤΟ ΠΟΛΥΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟ

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος
Μαθηματικός
από achilleas
Δευ Απρ 27, 2020 1:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (ΥΛΗ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 2296

Re: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (ΥΛΗ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ)

Παρακαλούμε τα προτεινόμενα θέματα και οι λύσεις τους να ακολουθούν τους κανόνες του forum και να είναι γραμμένα σε \LaTeX.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1491

Re: EGMO 2020

Πρόβλημα 5. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\angle BCA > 90^\circ$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $\Gamma$ του $ABC$ έχει ακτίνα $R$. Υπάρχει σημείο $P$ στο εσωτερικό του τμήματος $AB$ τέτοιο ώστε $PB=PC$ και το μήκος του $PA$ ισούται με $R$. Η μεσοκάθετος του $PB$ τέμνει τον $\Gamma$ στα σημεία $D$ και $E$....
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 5:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1491

Re: EGMO 2020

Πρόβλημα 1. Οι θετικοί ακέραιοι $a_0$, $a_1$, $a_2,\ldots, a_{3030}$ ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle 2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, $ για $n=0,1,2,\ldots,3028.$ Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots, a_{3030}$ διαιρείται με το $2^{2020}$. ... Θα αποδείξ...
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1491

Re: EGMO 2020

ΔΕΥΤΕΡΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 4. Μια μετάθεση των ακεραίων $1$, $2, \ldots, m$ ονομάζεται φρέσκια εάν δεν υπάρχει θετικός ακέραιος $k<m$ τέτοιος ώστε οι πρώτοι $k$ αριθμοί στη μετάθεση να είναι οι $1$, $2, \ldots, k$ σε κάποια σειρά. Έστω $f_m$ το πλήθος των φρέσκων μεταθέσεων των ακεραίων $1$, $2, \ldots...
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 9:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1491

Re: EGMO 2020

ΔΕΥΤΕΡΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 4. Μια μετάθεση των ακεραίων $1$, $2, \ldots, m$ ονομάζεται φρέσκια εάν δεν υπάρχει θετικός ακέραιος $k<m$ τέτοιος ώστε οι πρώτοι $k$ αριθμοί στη μετάθεση να είναι οι $1$, $2, \ldots, k$ σε κάποια σειρά. Έστω $f_m$ το πλήθος των φρέσκων μεταθέσεων των ακεραίων $1$, $2, \ldots...
από achilleas
Κυρ Απρ 19, 2020 9:25 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1491

Re: EGMO 2020

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά! ΠΡΩΤΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 1. Οι θετικοί ακέραιοι $a_0$, $a_1$, $a_2,\ldots, a_{3030}$ ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle 2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, $ για $n=0,1,2,\ldots,3028.$ Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots, a_{3030}$ διαιρ...
από achilleas
Σάβ Φεβ 22, 2020 5:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2020
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 6895

Re: Αρχιμήδης 2020

Θέμα 3/Μεγάλων Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται. Για το (β) Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς (1) Το $a^{2020}$ και το $b^{2020}$ (ενδεχομένως $b=1$), ή (2) Το $a^{2020}$ και το 2030. Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση $x^4-y^4=2021$ Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η $(x-...
από achilleas
Δευ Φεβ 17, 2020 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1506

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά! Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online! ... Καλησπέρα σας! Σήμερα το μεσημέρι έφτασαν τα παραπάνω βιβλία, οπότε είχα την ευκαιρία να τα ξεφυλλίσω. Πρόκειται, όπως αναμένα...
από achilleas
Παρ Φεβ 14, 2020 2:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1506

Re: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά!

Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online!

Η συγγραφική ομάδα αποτελεί εγγύηση ποιότητας και εύχομαι να ετοιμάζουν ήδη την επόμενη προσφορά τους.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Φεβ 12, 2020 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 8735

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του διαγωνισμού!

Τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν.

Καλή συνέχεια στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ! :)

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Φεβ 12, 2020 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη Παραλληλίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 202

Συνθήκη Παραλληλίας

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο O και το έγκεντρο I οξυγώνιου τριγώνου ABC είναι παράλληλη στην BC, τότε \cos B+\cos C=1.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Φεβ 11, 2020 6:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1797

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2004 - ΛΥΚΕΙΟ

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση