Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγουμε εάν γράψουμε πρώτα τη δοθείσα εξίσωση με το δεύτερο μέλος το 0, και κάνοντας παραγοντοποίηση με διαφορά τετραγώνων: $\displaystyle \begin{aligned} (x^2+k)^2=(2x+k+3)^2&\iff (x^2+k)^2-(2x+k+3)^2=0\\ &\iff (x^2-2x-3)(x^2+2x+2k+3)=0\\ &\iff (x+1)(x-3)(x^2+2x+2k+3)=0\\ ...

Κάποια από τα τελευταία μηνύματα διεγράφησαν σύμφωνα με τον κανονισμό του forum. Θυμίζουμε την αρχική ανάρτηση Σε αυτήν την συζήτηση μπορούμε να σχολιάσουμε (η επίλυσή τους συζητείται εδώ ) τα φετινά θέματα μαθηματικών προσανατολισμού 2020 για τα ημερήσια Γ.Ε.Λ. Παρακαλείσθε όπως ο σχολιασμός -κριτι...

...... $2-\sqrt{e^2+8}<2a-e....$ .... Για την αριστερή ανισότητα παραπάνω, θα μπορούσαμε πιο απλά να παρατηρήσουμε ότι $2-\sqrt{e^2+8}<1-e<2a-e$. Πράγματι, η δεξιά ανισότητα έπεται από την $a>1/2$. Η αριστερή ανισότητα είναι ισοδύναμη με $1+e<\sqrt{e^2+8}\iff 1+2e+e^2<e^2+8\iff e<7/2$, που ισχύει. ...

Δίνεται αριθμός $\displaystyle{a\in \mathbb{R}}$, για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{e^a+2a-e=0.}$ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=a^2-(e+2)a+e-1}$ είναι αρνητικός. $\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{3pt}}$ Φανερά το ερώτημα σχετίζεται με τα θέματα των σημερινών εξετάσεων. Ωστόσο ...

Μια παρατήρηση στην παραπάνω λύση (#3): Η χρήση των μεταβλητών $u,v$ είναι περιττή. Πράγματι, παρατηρούμε ότι $3x^2+xy+3y^2=2(x^2+xy+y^2)+(x^2+y^2-xy)=2(x^2+xy+y^2)+\dfrac{50}{x^2+y^2+xy}$ οπότε, όπως πριν, από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου-Γεωμετρικού Μέσου (αφού $x^2+y^2+xy>0$) παίρνουμε $3x^2+x...

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $3x^2+xy+3y^2$ , αν είναι γνωστό ότι : $x^4+x^2y^2+y^4=50 , ( x,y \in \mathbb{R} ) $ . Με $x=u+v$ και $y=u-v$ έχουμε $\displaystyle \begin{aligned} x^4+x^2y^2+y^4&=(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\ &=(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)\\ &=[(u+v)^2+(u-v)^2-(u^2-v^2)][(u+v)^2+(u-v)...

Έστω $r$ η ζητούμενη ελάχιστη απόσταση. Τότε το σύστημα των εξισώσεων $x^2+y^2=r^2$ και $y=\dfrac{2}{x^2}$ έχει λύση. Είναι $r^2-3=x^2+\dfrac{4}{x^4} -3=\dfrac{(x^2+1)(x^2-2)^2}{x^4}\geq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ με $x\ne 0$, με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $x=\pm \sqrt{2}$. Έτσι, η ζητο...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος
Μαθηματικός

Παρακαλούμε τα προτεινόμενα θέματα και οι λύσεις τους να ακολουθούν τους κανόνες του forum και να είναι γραμμένα σε .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πρόβλημα 5. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\angle BCA > 90^\circ$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος $\Gamma$ του $ABC$ έχει ακτίνα $R$. Υπάρχει σημείο $P$ στο εσωτερικό του τμήματος $AB$ τέτοιο ώστε $PB=PC$ και το μήκος του $PA$ ισούται με $R$. Η μεσοκάθετος του $PB$ τέμνει τον $\Gamma$ στα σημεία $D$ και $E$....

Πρόβλημα 1. Οι θετικοί ακέραιοι $a_0$, $a_1$, $a_2,\ldots, a_{3030}$ ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle 2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, $ για $n=0,1,2,\ldots,3028.$ Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots, a_{3030}$ διαιρείται με το $2^{2020}$. ... Θα αποδείξ...

ΔΕΥΤΕΡΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 4. Μια μετάθεση των ακεραίων $1$, $2, \ldots, m$ ονομάζεται φρέσκια εάν δεν υπάρχει θετικός ακέραιος $k<m$ τέτοιος ώστε οι πρώτοι $k$ αριθμοί στη μετάθεση να είναι οι $1$, $2, \ldots, k$ σε κάποια σειρά. Έστω $f_m$ το πλήθος των φρέσκων μεταθέσεων των ακεραίων $1$, $2, \ldots...

ΔΕΥΤΕΡΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 4. Μια μετάθεση των ακεραίων $1$, $2, \ldots, m$ ονομάζεται φρέσκια εάν δεν υπάρχει θετικός ακέραιος $k<m$ τέτοιος ώστε οι πρώτοι $k$ αριθμοί στη μετάθεση να είναι οι $1$, $2, \ldots, k$ σε κάποια σειρά. Έστω $f_m$ το πλήθος των φρέσκων μεταθέσεων των ακεραίων $1$, $2, \ldots...

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά! ΠΡΩΤΗ ΗΜΕΡΑ Πρόβλημα 1. Οι θετικοί ακέραιοι $a_0$, $a_1$, $a_2,\ldots, a_{3030}$ ικανοποιούν τη συνθήκη $\displaystyle 2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, $ για $n=0,1,2,\ldots,3028.$ Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots, a_{3030}$ διαιρ...

Θέμα 3/Μεγάλων Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται. Για το (β) Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς (1) Το $a^{2020}$ και το $b^{2020}$ (ενδεχομένως $b=1$), ή (2) Το $a^{2020}$ και το 2030. Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση $x^4-y^4=2021$ Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η $(x-...

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά! Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online! ... Καλησπέρα σας! Σήμερα το μεσημέρι έφτασαν τα παραπάνω βιβλία, οπότε είχα την ευκαιρία να τα ξεφυλλίσω. Πρόκειται, όπως αναμένα...

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά!

Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online!

Η συγγραφική ομάδα αποτελεί εγγύηση ποιότητας και εύχομαι να ετοιμάζουν ήδη την επόμενη προσφορά τους.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του διαγωνισμού!

Τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν.

Καλή συνέχεια στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο και το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου είναι παράλληλη στην , τότε .

Φιλικά,

Αχιλλέας

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...