Θέμα 3/Μεγάλων Θα αποδείξουμε ότι δεν γίνεται. Για το (β) Στο προτελευταίο βήμα θα έχουμε μείνει με δυο αριθμούς (1) Το $a^{2020}$ και το $b^{2020}$ (ενδεχομένως $b=1$), ή (2) Το $a^{2020}$ και το 2030. Η περίπτωση (1) σημαίνει ότι η εξίσωση $x^4-y^4=2021$ Θα έχει ακέραιες λύσεις. Δηλαδή, ότι η $(x-...

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά! Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online! ... Καλησπέρα σας! Σήμερα το μεσημέρι έφτασαν τα παραπάνω βιβλία, οπότε είχα την ευκαιρία να τα ξεφυλλίσω. Πρόκειται, όπως αναμένα...

Το περίμενα με ανυπομονησία καιρό! Δεν έχω αμφιβολία ότι είναι εξαιρετικά!

Ανυπομονώ να τα πιάσω στα χέρια μου και να τα ξεφυλλίσω, γι' αυτό μόλις τα παρήγγειλα online!

Η συγγραφική ομάδα αποτελεί εγγύηση ποιότητας και εύχομαι να ετοιμάζουν ήδη την επόμενη προσφορά τους.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του διαγωνισμού!

Τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν.

Καλή συνέχεια στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο και το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου είναι παράλληλη στην , τότε .

Φιλικά,

Αχιλλέας

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(\alpha_{\nu}), \nu \in\mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{\alpha_1 = 1}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu} = \alpha_{\nu -1} + \frac{1}{\nu^3} \, , \nu = 2, 3,...}$ . α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\alpha_{\nu}<\frac{5}{4}}$ , για κάθε $\displaystyle{ \nu \in\...

Δύο λόγια για το προτεινόμενο πρόβλημα: Το πρόβλημα αυτό το συνάντησα ως ΘΕΜΑ #6 της 62ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2011) με λύσεις εδώ . Αφού το πρότεινα στο forum, ξεφυλλίζοντας παλιά τεύχη του Crux Mathematicorum, είδα ότι το εξής παρόμοιο πρόβλημα τέθηκε στη Βρετανία σε τεστ επιλογής για...

Μία σκέψη για αυτό το πρόβλημα. Έστω ότι υπάρχουν. Τότε, τα πολυώνυμα στο δεξί μέλος είναι το πολύ πρωτοβάθμια με ρητούς συντελεστές οπότε το $p_1(x)$ έχει κοινό σημείο είτε με την $y=x$ είτε με την $y=-x$. Ας πούμε ότι έχει με την $y=x$ και έστω $k$ ώστε $p_1(k)=k$. Τότε για $x=k$ στην σχέση παίρν...

Να ορίσετε τους $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ έτσι ώστε το κλάσμα $\frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}$ να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left [ -3,4 \right ]$, και μόνον αυτές, όταν $x\epsilon \mathbb{R}$. Έστω $a,b$ οι ζητούμενοι αριθμοί. Από την $-3\leq \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+1}\leq 4...

Υπάρχει γωνία $x$ για την οποία οι τριγωνομετρικοί αριθμοί $\displaystyle sinx$ , $\displaystyle cosx$ , $\displastyle tanx$ αποτελούν πλευρές τριγώνου ? Προφανώς! H $x=\frac{\pi}{4}$ δίνει τους αριθμούς $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, και $1$, αντίστοιχα που αποτελούν πλευρές (ισοσκελο...

Καλημέρα σας! Πρόκειται για το πρόβλημα 2027 του Mathematics Magazine . Μια λύση στο πρόβλημα δημοσιεύθηκε στο τεύχος Οκτωβρίου 2018. Μετά την ωραία λύση του Δημήτρη, γράφω αυτή που είχα στείλει στο περιοδικό. **************************************** Λύση . Παρατηρούμε ότι $n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n...

Καλησπέρα σας!

'Ενα ωραίο άρθρο με ενδιαφέροντα προβλήματα που συνδέεονται με το θέμα του αρχικού ποστ δημοσιεύθηκε στο εξαιρετικό περιοδικό Gazeta Matematica εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα , , και με ρητούς συντελεστές τέτοια ώστε



για κάθε πραγματικό αριθμό .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Να δειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε ο να διαιρείται από τον .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συνετελεστές. Να δειχθεί ότι εάν ο αριθμός δεν είναι ακέραιος για κάποιον ακέραιο αριθμό , τότε υπάρχουν άπειροι το πλήθος ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο δεν είναι ακέραιος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε

.

(Marian Tetiva)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα καλησπέρα, Είναι πολύ ωραία αυτή η άσκηση (και δύσκολη). Είναι η άσκηση 3.98 στο βιβλίο "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ". Εκεί παραθέτουμε συνθετική λύση. Καλησπέρα, Σιλουανέ, Ωραία και σύντομη λύση, να προσθέσω. Μόλις την διάβασα. Ευχαριστώ για την παραπομπή. (Αφορμή της αρχικής ανάρτησης αποτ...

Καλησπέρα σας!

Το πρόβλημα αυτό αποτέλεσε το 1ο θέμα του 3ου γύρου της 70ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας (2019).

Οι λύσεις τους- επίσης στα πολωνικά- είναι διαθέσιμες εδώ.

Δείτε, επίσης, λύσεις στο AoPS εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ευχαριστώ, Ορέστη! Η άσκηση αυτή τέθηκε στον μαθηματικό διαγωνισμό IMAR το 2003 και αποτελεί την 1η άσκηση γεωμετρίας στο βιβλίο του Andrei Negut, "Problems for the Mathematical Olympiads", GIL, Ρουμανία, 2005. O Andrei Negut δίνει μια λύση με μετρικές σχέσεις. Το σχετικό ποστ στην κοινότητα του AoP...

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC$ και το μέσο $M$ του τόξου $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του $ABC$. Έστω $D$ σημείο στην προέκταση της πλευράς $BC$ (προς το $C$). Θεωρούμε σημεία $K$ και $N$ στις ευθείες $AB$ και $AC$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε $DK//AC$ και $DN//AB$. Να δειχθεί ότι $MD\pe...