Η αναζήτηση βρήκε 2627 εγγραφές

από achilleas
Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αθροίσματα από άσσους
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 355

Re: Αθροίσματα από άσσους

Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B , No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196. Φιλικά, Αχιλλέας Αχιλλέα, είσαι τρομερός. Ξέρεις την πηγή των ασκήσεων από την στιγμή που... αρχίζει να δακτυλογραφεί κάποιος την εκφώνηση. Τι λύση έχει το Gazeta ...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αθροίσματα από άσσους
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 355

Re: Αθροίσματα από άσσους

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:59 pm
...

Μου την έστειλε φίλος από Ρουμανία. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Δεν ξέρω περισσότερα για την προέλευσή της.
Καλησπέρα σας!

Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B, No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 114

Re: Εγκλωβίζοντας την ρίζα

Είναι γνωστό ότι $a^5-a^3+a=2$. Να αποδείξετε, ότι $3< a^6 < 4$. Προφανώς $a\ne 0$ και $a\ne 1$. Παρατηρούμε ότι $2a+\dfrac{2}{a}=a^2(a^4-a^2+1)+(a^4-a^2+1)=(a^2+1)(a^4-a^2+1)=a^6+1\geq 1$. Άρα $a>0$ και $a^6-3=2\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-4=2\dfrac{(a-1)^2}{a}>0$, αφού $a\ne 1$. Άρα $a^6>3$, κι αφ...
από achilleas
Τετ Νοέμ 11, 2020 12:45 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από τη συνέχεια στη συμμετρία
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 439

Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία

chris_gatos έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 12:44 am
Τελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556
Ποια συζήτηση;

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 940

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ . Πότε ισχύει η ισότητα; Καλησπέρα! Τα παρακάτω τα είχα ετοιμάσει για τους μαθητές του σχολείου μας πριν λίγου...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 490

Re: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Για την ισοδυναμία : $x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+1=x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2}=x^2+\dfrac{2x^2+2x+1}{(x+1)^2}$ $=x^2+\dfrac{2x(x+1)+1}{(x+1)^2}=x^2+\dfrac{2x}{(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)^2}=(x+\dfrac{1}{x+1)})^2}$ . Τα λοιπά : $x+\dfrac{1}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-x-1=0 $ , με ρίζες...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 490

Re: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:39 pm
Προσθέτουμε από μια μονάδα στα δύο μέλη : x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+1=4\Leftrightarrow (x+\dfrac{1}{x+1})^2=4 κ.λ.π.
Come on! Ποια είναι τα λοιπά; Ούτε την ισοδυναμία βλέπω άμεσα...

Εάν κάνουμε όλοι έτσι, πάει το forum.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 490

Re: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Δεν ξέρω πώς λύθηκε στο test. Θέτω $\boxed{x+1=t}$ και η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {(t - 1)^2} + \frac{{{{(t - 1)}^2}}}{{{t^2}}} = 3 \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0$ Η εξίσωση που προέκυψε είναι αντίστροφη (*) . Διαιρώ με $\displaystyle {t^2} \ne 0$ και έχω: $\displaystyl...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 312

Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ , και του 2ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Practice TEST 3 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 286

Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ , ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Practice TEST 2 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός $N$ ...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 490

Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020

Καλησπέρα σας! Την περίοδο προετοιμασίας για τον ΘΑΛΗ, οι μαθητές μας κλήθηκαν να εξασκηθούν υπο διαγωνιστικές συνθήκες σε τρια τεστ, τα οποία Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ: P...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 9:52 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτε...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 07, 2020 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτε...
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Νοέμ 06, 2020 8:24 pm
achilleas έγραψε:
Παρ Νοέμ 06, 2020 7:59 pm

Αντιγράφω τη λύση που μόλις μου έστειλε για έλεγχο ορθότητας ένας μαθητής μας, ο Θωμάς Πνευματικός:
Αρκεί να έχει γίνει και ο έλεγχος ότι κάθε παράγοντας είναι μεγαλύτερος του 1, για να μην χάσει κάποιο βαθμό ο μαθητής.
We know...Του το έχω πει ήδη.
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 7:59 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

... Καλησπέρα Αχιλλέα. Η λύση που κάνεις γίνετε πιο απλή αν πούμε ότι το 81 σε οποιοδήποτε εκθέτη λήγει σε 1 και το 4 σε περιττο εκθέτη λήγει σε 4 ! Άρα το άθροισμα λήγει σε 5 και άρα διαιρείται με το 5. Επίσης υπάρχει και άμεση λύση λόγω της ταυτότητας Sophie-Germain!! Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδ...
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Το $AEK\Delta$ είναι εγγράψιμο, όπου $K$ είναι το ορθόκεντρο του $\triangle AB\Gamma$. Από τον Νόμο των ημιτόνων στο $\triangle AB\Gamma$ είναι $AB=2AO\sin A\widehat{\Gamma}B$, και από τον Νόμο των ημιτόνων στο $\triangle AE\Delta$ είναι $A\Delta =AK\sin A\widehat{E}\Delta$. Αλλά ...
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Αφού $A\widehat{M}\Gamma=90^\circ$ (η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος), η $A\Gamma$ είναι διάμετρος του $(c)$, με το μέσο της $N$ να είναι το κέντρο του $(c)$. Άρα είναι $AN=N\Delta$, οπότε η κάθετη από το $N$ στην $AB$ είναι η μεσοκάθετος του $A\Delta$. Επίσης, η κάθε...
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 4:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 Για κάθε ακέραιο $k$ είναι $\displaystyle 3k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1), $ Έστω $A$ το άθροισμα του Ανδρέα, $B$ το άθροισμα του Βασίλη, και $\Gamma$ το άθροισμα της Γεωργίας είναι $ \begin{aligned} 3A+3B&=3(1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+2019\cdot 2020) \\ &=1\cdot 2\cdot 3+ (2\cdot 3...
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 3:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 Από γωνία χορδής και εφαπτομένης, τις ίσες προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς $AB\Gamma$ και το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ έχουμε $ \begin{aligned} \Delta\widehat{\Gamma}K=\Delta \widehat{B}\Gamma &=90^\circ-A\widehat{\Gamma}B\\ &=90^\circ-A\widehat{B}\Gamm...
από achilleas
Παρ Νοέμ 06, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
Απαντήσεις: 35
Προβολές: 3173

Re: ΘΑΛΗΣ 2020

Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτερ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση