Η αναζήτηση βρήκε 2538 εγγραφές

από achilleas
Τετ Ιαν 22, 2020 2:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ Παρατηρούμε ότι η $CO$ είναι κάθετη στην κοινή χορδή $AD$ των κύκλων $(c)$ και $(c_3)$. Άρα η $A\widehat{D}C$ είναι συμπληρωματική της $O\widehat{C}D$. Ομοίως, η $DO$ είναι κάθετη στην κοινή χορδή $EC$ των κύκλων $(c)$ και $(c_2)$. Άρα η $E\widehat{C}D$ είναι συμπληρωματική της $O...
από achilleas
Τρί Ιαν 21, 2020 9:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Ακόμα μια λύση για το ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ παίρνοντας την ιδέα από το παράδειγμα 16.1, σελ. 197 του Topics in Functional Equations , των T. Andreescu, et. al. (Για τις άλλες λύσεις δείτε εδώ , εδώ , και τις δύο πιο πάνω εδώ κι εδώ .) **************************** Λύση: Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε τ...
από achilleas
Τρί Ιαν 21, 2020 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την $Q(x^2)=Q(x)^2$ (*) όπου $Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n$ με $a_0\ne 0$, $n\geq 1$. Μπορούμε να προσαρμόσουμε τη λύση του προβλήματος 167, του Putnam and Beyond , των T. Andreescu, D. Andrica, 1st edition, σελ. 397, ως...
από achilleas
Τρί Ιαν 21, 2020 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 3 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όπως και στην επίσημη λύση, το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση της $Q(x^2)=Q(x)^2$ (1) όπου $Q(x)=P(x)-1$. Αν το $Q(x)$ είναι σταθερό, τότε τελειώσαμε: $Q(x)=0$ ή $Q(x)=1$. Εάν $Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n$, όπου ($a_0\ne 0$ και $n\geq 1$), τότε η σχέσ...
από achilleas
Τρί Ιαν 21, 2020 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 136

Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι m τέτοιοι ώστε ο \displaystyle \dfrac{1}{5\cdot 2^m}\sum_{k=0}^m {2m+1\choose 2k}3^k να είναι περιττός ακέραιος.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Δευ Ιαν 20, 2020 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 4 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω $(c_3)$ ο περιγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $AOK$, κέντρου $O_3$. Η $Z\widehat{O}C$ είναι επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο $ZC$ του $(c)$. Από το ισοσκελές τρίγωνο $ZDB$ και τη σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας στο ίδιο τόξο κύκλου, έχουμε $\displaystyle \begin...
από achilleas
Κυρ Ιαν 19, 2020 5:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

.... ΘΕΜΑ 3-Α ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω $\displaystyle \begin{aligned} 2\alpha-1&=k\beta, \\ 2\beta-1&=\lambda \gamma\\ \gamma-1&=\mu \alpha \end{aligned} $ για κάποιους θετικούς ακέραιους $k, \lambda, \mu$. Η πρώτη μας παρατήρηση είναι ότι οι αριθμοί $\beta, \gamma, k,\lambda$ πρέπει να είναι περιττοί. ... Μια...
από achilleas
Κυρ Ιαν 19, 2020 1:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

... Και τώρα πάμε στο θέμα 3. Όπως ειπώθηκε πριν είναι το δυσκολότερο θέμα.Από την άλλη αυτό το θέμα λόγω της αυξημένης του δυσκολίας θα έχει λυθεί από ελάχιστα, πολύ λίγα άτομα, απευθυνόταν σε όσους κάνει εξαιρετική προετοιμασία. Συνομίλησα με πολλούς μαθητές, κανένας δεν το κατάφερε, τόσο ταλαντο...
από achilleas
Κυρ Ιαν 19, 2020 11:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Σχόλια επί των θεμάτων της Α Λυκείου Το 1ο θέμα απαιτεί άνεση και προσοχή στις αλγεβρικές πράξεις, γνώση των βασικών ταυτοτήτων. Το 2ο θέμα: Η γνώση της a+1/a>=2 (εφαρμογή του σχολικού) βοηθάει. Ο προετοιμασμένος μαθητής "πρέπει" να το έλυσε. Το 3ο θέμα είναι πιθανότατα το δυσκολότερο. Το 4ο θέμα ε...
από achilleas
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:17 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

... ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το τρίγωνο $AB\Theta$ προκύπτει από τη στροφή του $A\Delta E$ περί του $A$ κατά $90^\circ$ κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. (Εάν $\Theta'$ είναι η εικόνα του $E$ ως προς αυτή τη στροφή, θα πρέπει $\Theta'\in B\Gamma$ με $\Theta'E\perp AB$, οπότε $\Theta' \equiv \Theta$)....
από achilleas
Κυρ Ιαν 19, 2020 3:25 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 1-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Παρατηρούμε ότι $a_{n+1}=(n+1)M_{n+1}-nM_n$ για κάθε $n\geq 0$. Επίσης $M_{n+2}-M_{n+1}=M_{n+1}-M_n$ και $M_{n+3}-2M_{n+2}+M_{n+1}=0$, για κάθε $n\geq 0$, οπότε έχουμε $ \begin{aligned} &a_{n+3}-2a_{n+2}+a_{n+1}\\ &=\left((n+3)M_{n+3}-(n+2)M_{n+2}\right)-2\left((n+2)M_{n+2}-(n+1)M_{...
από achilleas
Κυρ Ιαν 19, 2020 2:34 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 2-Β Λυκείου (a) Είναι $(x-y)P(x,y)=x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ Αφού $x^4+y^4=(x^2+y^2-\sqrt{2}xy)(x^2+y^2+\sqrt{2}xy)$ παίρνουμε $P(x,y)=(x+y)(x^2+y^2)(x^2+y^2-\sqrt{2}xy)(x^2+y^2+\sqrt{2}xy)$. (b) Εάν $xy=1$, $x,y>0$, τότε $y=\frac{1}{x}$, και είναι $ \begin{aligne...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathema...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 6:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathema...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathemat...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας το...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Θα ήθελα να ρωτήσω τα μέλη φόρουμ για το πως γίνεται η βαθμολόγηση στην παρακάτω περίπτωση: Σήμερα έδωσα στην Α Λυκείου. Στο πρόβλημα 4 με τις ισότητες τριγώνων υποχρεώθηκα, λόγω λάθους στην αιτιολόγηση, να σβήσω μία ισότητα (η οποία όμως ήταν σωστή) και να την γράψω στο τέλος της απάντησης. Το πρό...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 4:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

vittasko έγραψε:
Σάβ Ιαν 18, 2020 2:52 pm
min## έγραψε:
Σάβ Ιαν 18, 2020 12:55 pm
Βρε άνθρωποι,χαλαρά :lol: .
Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα) :)
Καλό! :coolspeak:

Κώστας Βήττας.
Θεϊκό! Χίλια ταπεινά συγνώμη!
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Επίσης, βλέπω λύσεις χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις. Tα θέματα έχουν ήδη αναρτηθεί στο internet και είναι γνωστά σε όλους τους διαγωνιζόμενους. Φιλικά, Αχιλλέας Αναφερόμουν στην παρούσα δημοσίευση. Όσο για τους διαγωνιζόμενους είναι προφανές ότι τα θέματα τους είναι γνωστά. Φιλικά, Περικλής Τα θέματα...
από achilleas
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4055

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Βρε άνθρωποι,χαλαρά :lol: . Λίγη κατανόηση.Κάποιοι γράφουν πιθανώς μέχρι και 12.30.(Ακόμα και αν δεν ισχύει αυτό,αφήνετε και ένα χρονικό περιθώριο-δε βλάπτει σε τίποτα) :) Προς αποφυγή παρεξηγήσεων, δεν υπάρχει ανάρτηση λύσεων πριν τις 12:30μμ, η οποία είναι η προθεσμία που τέθηκε στο πρώτο ποστ. Φ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση