Η αναζήτηση βρήκε 2514 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Δεκ 11, 2019 11:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 281
Re: Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
Μαθαίνουμε(;) ότι η παραβολή $f(x)=ax^2+\beta x+\gamma$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x=-\dfrac{\beta}{2a}$ οι ρίζες της (που θα είναι της μορφής $x_{1,2}=-\dfrac{\beta}{2a} \pm u$ ) ικανοποιούν την εξίσωση $f(x)=0$ από όπου και προκύπτει $\gamma = \dfrac{\beta^2}{4a^2}-u^2$ Ωπ, μαγικό η άγνωστ...
- Τρί Δεκ 10, 2019 10:01 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 281
Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
Καλησπέρα σας! Σερφάροντας στο internet , υπέπεσε στην προσοχή μου το πρόσφατο άρθρο (preprint-16 Οκτωβρίου 2019) A Simple Proof of the Quadratic Formula του Po-Shen Loh . Είναι ένα επίκαιρο άρθρο για όσους διδάσκουν Άλγεβρα στην Α Λυκείου. Δείτε και ένα διαθέσιμο σχετικό βίντεο . Φιλικά, Αχιλλέας
- Σάβ Δεκ 07, 2019 8:19 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Χορδή διχοτομεί ακτίνα
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 211
Χορδή διχοτομεί ακτίνα
Έστω
ένα σημείο κύκλου
διαμέτρου
και έστω
το ίχνος της καθέτου από το
στην
Αν ο κύκλος
με κέντρο το
και ακτίνα
τέμνει τον
στα σημεία
και
, να δειχθεί ότι η
διχοτομεί το τμήμα
.
Πηγή: Kvant
Φιλικά,
Αχιλλέας














Πηγή: Kvant
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Τετ Νοέμ 27, 2019 11:52 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Συνευθειακά σημεία
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 181
Συνευθειακά σημεία
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο
(
) και το μέσο
του ύψους του
. Η παράλληλη ευθεία από το
προς την
τέμνει την κάθετη ευθεία στην πλευρά
στο
στο σημείο
. Να δειχθεί ότι τα σημεία
και
είναι συνευθειακά.
Πηγή: Kvant.
Φιλικά,
Αχιλλέας











Πηγή: Kvant.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Δευ Νοέμ 18, 2019 7:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ίσα τμήματα
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 299
Re: Ίσα τμήματα
Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $E$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να δειχθεί ότι $KL=L...
- Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ίσα τμήματα
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 299
Ίσα τμήματα
Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $\textcolor{red}{C}$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να δ...
- Τετ Νοέμ 13, 2019 9:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 165
Re: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
Λύση (Αλέξανδρος Ντακούλας, μαθητής Α' Λυκείου) Έχουμε $AD=DB$, άρα $D\widehat{A}B=A\widehat{B}D=x$ και έστω $A\widehat{D}B=y$. Αφού το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο, οι απένταντι γωνίες είναι ίσες, οπότε έχουμε $D\widehat{C}B=D\widehat{A}B=x$. Επειδή $AB//DC$, είναι $B\widehat{D}C=A\widehat{B}D=x=D...
- Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 182
Ομοκυκλικά σημεία
Θεωρούμε σημείο $P$ στη βάση $BC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ και σημεία $D$ και $E$ στις ίσες πλευρές του $AB$ και $AC$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε το τετράπλευρο $ADPE$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω $Q$ το συμμετρικό σημείο του $P$ ως προς την ευθεία $DE$. Να δειχθεί ότι το $Q$ ανήκει στον περιγεγραμμ...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 11:45 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 165
Γωνία σε παραλληλόγραμμο
Δίνεται παραλληλόγραμμο
με
. Θεωρούμε σημείο
στη διαγώνιο
τέτοιο ώστε
. Η επέκταση της
τέμνει την πλευρά
στο σημείο
. Η
είναι η διχοτόμος της γωνίας
. Να βρεθεί η γωνία
.
Φιλικά,
Αχιλλέας











Φιλικά,
Αχιλλέας
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
******************* ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** ... Αλλιώς, (βασισμένη στην ιδέα του μαθητή Βασίλη Βολιώτη). Όλα τα κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει την μικρότερη απόσταση από τη 1 και μικρότερο αυτό που έχει την μεγαλύτερη απόσταση. Συνεπώς, αρκεί να συγκρί...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 644
Re: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Ευχαριστούμε τον αγαπητό Αχιλλέα που μας εκθέτει δημόσια τη δουλειά του σε όμιλο Μαθηματικών, κάτι όχι και το πιο συνηθισμένο για τα δεδομένα της χώρας μας. Θεωρώ ότι είναι μια παρουσίαση που έχει προκύψει από επιλογή θεμάτων με σαφή στόχο, διαβαθμισμένη δυσκολία και η οποία προφανώς αποδίδει αποτε...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Στο θέμα 1 της Γ'Λυκείου αν κάποιος έφτανε στην σχέση: $(2-x)^{3}(108(2-x)+(x+2)^{3})=0$ Και από εκει έβρισκε:$(2-x)^{3}=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$ Και μετά έγραφε ότι $108(2-x)+(x+2)^{3}=0$ αλλά δεν βρήκε τις άλλες ρίζες πόσο πιστεύετε ότι θα του έκοβαν; Δεν γνωρίζουμε. Φιλικά, Αχιλλέας
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
******************* ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** (α) Μετά τις παραπάνω κομψές λύσεις με συνθετική γεωμετρία, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε μια λύση με αναλυτική γεωμετρία. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με $B(0,0)$ και $\Gamma(4a,0)$. (Θα μπορούσαμε να θέσουμε $a=1$ για ευκολία.) Τ...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
******************* ΘΕΜΑ 4-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Έστω $p,q$ οι δύο λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. Θέλουμε $p^2+q^2=17$. Από του τύπους Vieta, έχουμε $p+q=-\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda-3}$ και $pq=-\dfrac{11\lambda-18}{\lambda-3}$. Είναι $p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$ Συνεπώς, θέλουμε $(\lambda^2+1)^2+2(...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
******************* ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Αφού $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16\alpha\beta, $ παίρνουμε $\displaystyle (\alpha+\beta)^2=18\alpha\beta, (*) $ κι άρα $\displaystyle (\alpha+\beta)^3=18\alpha\beta(\alpha+\beta). $ Αφού $\displaystyle \alpha^...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
******************* ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Παρατηρούμε ότι $xy\ne 0$ και $\displaystyle \begin{aligned} xy+y^2=2&\iff (xy)^2+xy^3=2xy\\\notag &\iff (xy)^2-2xy-8=0\\\notag &\iff (xy-4)(xy+2)=0.\notag \end{aligned} $ Αν $xy=4$, τότε $y^2=-2<0$, αδύνατη. Αν $xy=-2$, τότε $y^2=4$, οπότε $y=...
- Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
- Απαντήσεις: 45
- Προβολές: 4639
Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
******************* ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Αφού $\alpha,\beta>0$ είναι $\displaystyle \alpha+\beta=7\iff (\alpha+\beta)^2=49\iff \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=49. $ Πολλαπλασιάζοντας με 10 και τα δύο μέλη έχουμε ισοδύναμα και χρησιμοποιώντας την πρώτη δοθείσα σχέση έχουμε $\displaystyle...
- Παρ Νοέμ 08, 2019 9:10 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 644
Re: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Καλημέρα, Μπάμπη!
Ευχαριστούμε πολύ!
Ευχόμαστε κάθε επιτυχία σε όλα τα παιδιά που θα συμμετάσχουν στον αυριανό διαγωνισμό.
Ανεξαρτήτως αποτελέσματος, η ενασχόληση τους με τα μαθηματικά, σε ένα επίπεδο υψηλότερο από το σχολικό, μόνο κέρδη έχει να τους αποφέρει.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Ευχαριστούμε πολύ!
Ευχόμαστε κάθε επιτυχία σε όλα τα παιδιά που θα συμμετάσχουν στον αυριανό διαγωνισμό.
Ανεξαρτήτως αποτελέσματος, η ενασχόληση τους με τα μαθηματικά, σε ένα επίπεδο υψηλότερο από το σχολικό, μόνο κέρδη έχει να τους αποφέρει.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Τετ Νοέμ 06, 2019 11:59 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 644
Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Καλημέρα σας! Για τρίτη συνεχή χρονιά, μια ομάδα μαθητών της Α' τάξης του Λυκείου Μ. Ράπτου συναντάται στους χώρους των Εκπαιδευτηρίων Μ. Ν. Ράπτου για μαθήματα προετοιμασίας, ενόψει του διαγωνισμού "Ο ΘΑΛΗΣ" της ΕΜΕ. Οι μαθητές μας ασχολούνται συστηματικά με την επίλυση θεμάτων μαθηματικών διαγωνι...
- Δευ Νοέμ 04, 2019 10:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ίσα τμήματα απ' την Περσία
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 369
Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία
Λόγω παραλληλίας και αφού το $ABMC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι $\displaystyle \angle AKO+\angle ALO=\angle ABM+\angle ACM=180^\circ, $ δηλ. το τετράπλευρο $AKOL$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Έστω ότι η $MO$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ στο $F$. Είναι $\displaystyle \angle FAC=\angle...