Η αναζήτηση βρήκε 2514 εγγραφές

από achilleas
Τετ Δεκ 11, 2019 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Re: Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Μαθαίνουμε(;) ότι η παραβολή $f(x)=ax^2+\beta x+\gamma$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x=-\dfrac{\beta}{2a}$ οι ρίζες της (που θα είναι της μορφής $x_{1,2}=-\dfrac{\beta}{2a} \pm u$ ) ικανοποιούν την εξίσωση $f(x)=0$ από όπου και προκύπτει $\gamma = \dfrac{\beta^2}{4a^2}-u^2$ Ωπ, μαγικό η άγνωστ...
από achilleas
Τρί Δεκ 10, 2019 10:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Καλησπέρα σας! Σερφάροντας στο internet , υπέπεσε στην προσοχή μου το πρόσφατο άρθρο (preprint-16 Οκτωβρίου 2019) A Simple Proof of the Quadratic Formula του Po-Shen Loh . Είναι ένα επίκαιρο άρθρο για όσους διδάσκουν Άλγεβρα στην Α Λυκείου. Δείτε και ένα διαθέσιμο σχετικό βίντεο . Φιλικά, Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Δεκ 07, 2019 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χορδή διχοτομεί ακτίνα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 211

Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Έστω Q ένα σημείο κύκλου c_1 διαμέτρου AB και έστω H το ίχνος της καθέτου από το Q στην AB. Αν ο κύκλος c_2 με κέντρο το Q και ακτίνα QH τέμνει τον c_1 στα σημεία M και C, να δειχθεί ότι η MC διχοτομεί το τμήμα QH.

Πηγή: Kvant

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 181

Συνευθειακά σημεία

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC) και το μέσο M του ύψους του CH. Η παράλληλη ευθεία από το A προς την BC τέμνει την κάθετη ευθεία στην πλευρά AC στο C στο σημείο P. Να δειχθεί ότι τα σημεία B, M και P είναι συνευθειακά.

Πηγή: Kvant.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Δευ Νοέμ 18, 2019 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 299

Re: Ίσα τμήματα

Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $E$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να δειχθεί ότι $KL=L...
από achilleas
Δευ Νοέμ 18, 2019 6:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 299

Ίσα τμήματα

Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $\textcolor{red}{C}$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να δ...
από achilleas
Τετ Νοέμ 13, 2019 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 165

Re: Γωνία σε παραλληλόγραμμο

Λύση (Αλέξανδρος Ντακούλας, μαθητής Α' Λυκείου) Έχουμε $AD=DB$, άρα $D\widehat{A}B=A\widehat{B}D=x$ και έστω $A\widehat{D}B=y$. Αφού το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο, οι απένταντι γωνίες είναι ίσες, οπότε έχουμε $D\widehat{C}B=D\widehat{A}B=x$. Επειδή $AB//DC$, είναι $B\widehat{D}C=A\widehat{B}D=x=D...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 10, 2019 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 182

Ομοκυκλικά σημεία

Θεωρούμε σημείο $P$ στη βάση $BC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ και σημεία $D$ και $E$ στις ίσες πλευρές του $AB$ και $AC$, αντίστοιχα, τέτοια ώστε το τετράπλευρο $ADPE$ να είναι παραλληλόγραμμο. Έστω $Q$ το συμμετρικό σημείο του $P$ ως προς την ευθεία $DE$. Να δειχθεί ότι το $Q$ ανήκει στον περιγεγραμμ...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία σε παραλληλόγραμμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 165

Γωνία σε παραλληλόγραμμο

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με AD=BD. Θεωρούμε σημείο E στη διαγώνιο BD τέτοιο ώστε AE=DE. Η επέκταση της AE τέμνει την πλευρά BC στο σημείο F. Η DF είναι η διχοτόμος της γωνίας C\widehat{D}E. Να βρεθεί η γωνία A\widehat{B}D.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** ... Αλλιώς, (βασισμένη στην ιδέα του μαθητή Βασίλη Βολιώτη). Όλα τα κλάσματα είναι μικρότερα από το 1. Μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει την μικρότερη απόσταση από τη 1 και μικρότερο αυτό που έχει την μεγαλύτερη απόσταση. Συνεπώς, αρκεί να συγκρί...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 5:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 644

Re: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου

Ευχαριστούμε τον αγαπητό Αχιλλέα που μας εκθέτει δημόσια τη δουλειά του σε όμιλο Μαθηματικών, κάτι όχι και το πιο συνηθισμένο για τα δεδομένα της χώρας μας. Θεωρώ ότι είναι μια παρουσίαση που έχει προκύψει από επιλογή θεμάτων με σαφή στόχο, διαβαθμισμένη δυσκολία και η οποία προφανώς αποδίδει αποτε...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Στο θέμα 1 της Γ'Λυκείου αν κάποιος έφτανε στην σχέση: $(2-x)^{3}(108(2-x)+(x+2)^{3})=0$ Και από εκει έβρισκε:$(2-x)^{3}=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$ Και μετά έγραφε ότι $108(2-x)+(x+2)^{3}=0$ αλλά δεν βρήκε τις άλλες ρίζες πόσο πιστεύετε ότι θα του έκοβαν; Δεν γνωρίζουμε. Φιλικά, Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** (α) Μετά τις παραπάνω κομψές λύσεις με συνθετική γεωμετρία, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να δώσουμε μια λύση με αναλυτική γεωμετρία. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με $B(0,0)$ και $\Gamma(4a,0)$. (Θα μπορούσαμε να θέσουμε $a=1$ για ευκολία.) Τ...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 4-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Έστω $p,q$ οι δύο λύσεις της δοθείσας εξίσωσης. Θέλουμε $p^2+q^2=17$. Από του τύπους Vieta, έχουμε $p+q=-\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda-3}$ και $pq=-\dfrac{11\lambda-18}{\lambda-3}$. Είναι $p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$ Συνεπώς, θέλουμε $(\lambda^2+1)^2+2(...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 1-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Αφού $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16\alpha\beta, $ παίρνουμε $\displaystyle (\alpha+\beta)^2=18\alpha\beta, (*) $ κι άρα $\displaystyle (\alpha+\beta)^3=18\alpha\beta(\alpha+\beta). $ Αφού $\displaystyle \alpha^...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Παρατηρούμε ότι $xy\ne 0$ και $\displaystyle \begin{aligned} xy+y^2=2&\iff (xy)^2+xy^3=2xy\\\notag &\iff (xy)^2-2xy-8=0\\\notag &\iff (xy-4)(xy+2)=0.\notag \end{aligned} $ Αν $xy=4$, τότε $y^2=-2<0$, αδύνατη. Αν $xy=-2$, τότε $y^2=4$, οπότε $y=...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 09, 2019 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 45
Προβολές: 4639

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

******************* ΘΕΜΑ 1-Α ΛΥΚΕΙΟΥ ****************** Αφού $\alpha,\beta>0$ είναι $\displaystyle \alpha+\beta=7\iff (\alpha+\beta)^2=49\iff \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=49. $ Πολλαπλασιάζοντας με 10 και τα δύο μέλη έχουμε ισοδύναμα και χρησιμοποιώντας την πρώτη δοθείσα σχέση έχουμε $\displaystyle...
από achilleas
Παρ Νοέμ 08, 2019 9:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 644

Re: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου

Καλημέρα, Μπάμπη!

Ευχαριστούμε πολύ!

Ευχόμαστε κάθε επιτυχία σε όλα τα παιδιά που θα συμμετάσχουν στον αυριανό διαγωνισμό.

Ανεξαρτήτως αποτελέσματος, η ενασχόληση τους με τα μαθηματικά, σε ένα επίπεδο υψηλότερο από το σχολικό, μόνο κέρδη έχει να τους αποφέρει.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Νοέμ 06, 2019 11:59 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 644

Φυλλάδια Προετοιμασίας Α Λυκείου

Καλημέρα σας! Για τρίτη συνεχή χρονιά,  μια ομάδα μαθητών της Α' τάξης του Λυκείου Μ. Ράπτου συναντάται στους χώρους των Εκπαιδευτηρίων Μ. Ν. Ράπτου για μαθήματα προετοιμασίας, ενόψει του διαγωνισμού "Ο ΘΑΛΗΣ" της ΕΜΕ. Οι μαθητές μας ασχολούνται συστηματικά με την επίλυση θεμάτων μαθηματικών διαγωνι...
από achilleas
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα απ' την Περσία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 369

Re: Ίσα τμήματα απ' την Περσία

Λόγω παραλληλίας και αφού το $ABMC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο είναι $\displaystyle \angle AKO+\angle ALO=\angle ABM+\angle ACM=180^\circ, $ δηλ. το τετράπλευρο $AKOL$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Έστω ότι η $MO$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ στο $F$. Είναι $\displaystyle \angle FAC=\angle...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση