Μη γραμμικό σύστημα

#1

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{matrix}\right. }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 9:41 am
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{matrix}\right. }$

Είναι φανερό ότι τα x,y,z,w

είναι ομόσημα. Εστω ότι είναι θετικά.
Είναι όλα $\geq 1$ .
Θέτουμε $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\frac{x^2+1}{x}$
Είναι άμεσο ότι για $x\geq 1$ ισχύει ότι $f(x)\geq x$ με ισότητα αν και μόνο αν είναι x=1

Αλλά

Αν είναι

έχουμε άτοπο.
Αρα οι λύσεις είναι τα (1,1,1,1)

και τα

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 14, 2025 7:36 am
....
Θέτουμε $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\frac{x^2+1}{x}$
Είναι άμεσο ότι για $x\geq 1$ ισχύει ότι $f(x)\geq x$ με ισότητα αν και μόνο αν είναι
...

Δεν βλέπω γιατί είναι άμεσο ότι αν $x\geq 1$ , τότε $f(x)\geq x$ .

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 9:41 am
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{matrix}\right. }$

Καλημέρα...

Χρησιμοποιώντας το λογισμικό Maple βρίσκουμε όχι μόνο τις ανωτέρω πραγματικές λύσεις

αλλά και τις αντίστοιχες μιγαδικές(φανταστικές), σε πλήθος 3.

Παραθέτω την επιφάνεια εργασίας του λογισμικού αυτού:

: Λύση συστήματος 1.png (36.89 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

Στην τελευταία γραμμή βλέπουμε τις φανταστικές λύσεις με μια μεγάλη προσέγγιση!

Κώστας Δόρτσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 15, 2025 9:17 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 14, 2025 7:36 am
....
Θέτουμε $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\frac{x^2+1}{x}$
Είναι άμεσο ότι για $x\geq 1$ ισχύει ότι $f(x)\geq x$ με ισότητα αν και μόνο αν είναι
...
Δεν βλέπω γιατί είναι άμεσο ότι αν $x\geq 1$ , τότε $f(x)\geq x$ .

Δεν το βλέπεις γιατί δεν ισχύει.
Αλλά ισχύει ότι αν $x \geq 1$ , τότε $x \geq f(x)$ .

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 15, 2025 11:19 am

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 15, 2025 9:17 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 14, 2025 7:36 am
....
Θέτουμε $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\frac{x^2+1}{x}$
Είναι άμεσο ότι για $x\geq 1$ ισχύει ότι $f(x)\geq x$ με ισότητα αν και μόνο αν είναι
...
Δεν βλέπω γιατί είναι άμεσο ότι αν $x\geq 1$ , τότε $f(x)\geq x$ .
Δεν το βλέπεις γιατί δεν ισχύει.
...

Ναι. Τα παραπάνω δεν αποτελούν πλήρη λύση για το forum.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 9:41 am
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{matrix}\right. }$

Οι

προφανώς είναι ομόσημοι .

$x+ \dfrac{1}{x} \geq 2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2} (x+ \dfrac{1}{x}) \geq 1$ και ομοίως $y \geq 1,z \geq 1,w \geq 1$ (όταν x,y,z,w

θετικοί )

$x+ \dfrac{1}{x} \ \leq -2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2} (x+ \dfrac{1}{x}) \leq -1$ (όταν x,y,z,w

αρνητικοί) και ομοίως $y \leq -1,z \leq -1,w \leq -1$

Με πρόσθεση των εξισώσεων του συστήματος παίρνουμε

$x+y+z+w= \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}+ \dfrac{1}{w} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} (x^2-1)+ \dfrac{1}{y} (y^2-1)+\dfrac{1}{z} (z^2-1)+\dfrac{1}{w} (w^2-1)=0$

Άρα ,σε κάθε περίπτωση κάθε όρος της τελευταίας είναι μηδενικός

Συνεπώς εύκολα προκύπτει ότι x=y=z=w=1

στην περίπτωση θετικών ενώ x=y=z=w=-1

στην περίπτωση αρνητικών

#8

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα παρόμοια προσέγγιση με απαγωγή σε άτοπο.

Έστω ότι υπάρχουν πραγματικοί x, y, z, w

διάφοροι του μηδενός, που ικανοποιούν το σύστημα.

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $\displaystyle x + y + z + w = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \Leftrightarrow \left( {x - \frac{1}{x}} \right) + \left( {y - \frac{1}{y}} \right) + \left( {z - \frac{1}{z}} \right) + \left( {w - \frac{1}{w}} \right) = 0$

Έστω x > 1

. Τότε $\displaystyle x + \frac{1}{x} > 2 \Rightarrow w > 1 \Rightarrow w + \frac{1}{w} > 2 \Rightarrow z > 1 \Rightarrow z + \frac{1}{z} \Rightarrow y > 1$

Τότε είναι και $\displaystyle x - \frac{1}{x} > 0,\;\;w - \frac{1}{w} > 0,\;\;z - \frac{1}{z} > 0,\;y - \frac{1}{y} > 0$ , άτοπο.

Έστω 1>x>0

. Τότε, ομοίως, $\displaystyle x + \frac{1}{x} > 2 \Rightarrow ... \Rightarrow w > 1 \Rightarrow z > 1 \Rightarrow y > 1$ , ξανά άτοπο.

Έστω x < -1

ή

. Τότε $\displaystyle x + \frac{1}{x} < - 2 \Rightarrow w < - 1 \Rightarrow z < - 1 \Rightarrow y < - 1$ ,

οπότε $\displaystyle x - \frac{1}{x} < 0,\;\;w - \frac{1}{w} < 0,\;\;z - \frac{1}{z} < 0,\;y - \frac{1}{y} < 0$ , άτοπο.

Μόνον αν x=y=z=w=1

ή

το σύστημα επαληθεύεται.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 13, 2025 9:41 am
Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{matrix}\right. }$

Όλοι οι όροι ε'ιναι ομόσημοι, οπότε ας εξετάσουμε την περίπτωση που είναι θετικοί.

Από την πρώτη έχουμε $x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\ge \dfrac {1}{2} \cdot 2=1$ , και όμοια $y,z,w\ge 1$ . Έπεται $\dfrac {1}{x} \le 1$ , και όμοια οι υοπόλοιποι.

Με πρόσθεση κατά μέλη των εξισώσεων και από τις προηγούμενες ανισότητες παίρνουμε $4\le x+y+z+w = \dfrac {1}{x} + \dfrac {1}{y}+\dfrac {1}{z}+ \dfrac {1}{w} \le 4$ . Άρα έχουμε ισότητα παντού, και άρα $\boxed {x=y=z=w=1}$ .

Όμοια η περίπτωση x<0

, ή απλούστερα με την αλλαγή μεταβλητής X=-x

(βγαίνει το ίδιο σύστημα) βρίσκουμε και την λύση

$\boxed {x=y=z=w=-1}$

Μη γραμμικό σύστημα

Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Re: Μη γραμμικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση