Άσκηση τριώνυμου

Denton · #1

Καταγράψτε όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις ${x}^{2}+bx+c= 0$ με $b,c\in \mathbb{Z}$ των οποίων οι ρίζες ικανοποιούν τις σχέση $|{r}_{1}|=|{r}_{2}|=1$ με ${r}_{1},{r}_{2}\in \mathbb{C}$ .
Το ερώτημα μου είναι το εξής.
Ξέρουμε ότι ℛ⊆ ℂ,άρα πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις αν Δ<0,Δ>0,Δ=0;

#2

Νομίζω ότι θα πρέπει να ψάξεις περισσότερο με τον τρόπο που προτείνεις.

Από τους τύπους Vieta αν z_1,z_2

οι ρίζες τότε πρέπει

z_1z_2=c

και

.

Παίρνοντας μέτρα έχουμε |c|=1

άρα

ή

.

Επίσης $|b|=|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|=2$ και επειδή $b\in\mathbb{Z}$ άρα o

μπορεί να είναι κάποιος από τους αριθμούς -2,-1,0,1,2

Παίρνοντας τις 10 περιπτώσεις που προκύπτουν κρατάς τα ζεύγη (b,c)

που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.

Αλέξανδρος

Denton · #3

cretanman έγραψε:Νομίζω ότι θα πρέπει να ψάξεις περισσότερο με τον τρόπο που προτείνεις.

Από τους τύπους Vieta αν οι ρίζες τότε πρέπει

και .

Παίρνοντας μέτρα έχουμε άρα ή .

Επίσης $|b|=|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|=2$ και επειδή $b\in\mathbb{Z}$ άρα o μπορεί να είναι κάποιος από τους αριθμούς

Παίρνοντας τις 10 περιπτώσεις που προκύπτουν κρατάς τα ζεύγη που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος.

Αλέξανδρος

Δηλαδή βγαίνουν 6 εξισώσεις;

#4

Denton έγραψε:Καταγράψτε όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις ${x}^{2}+bx+c= 0$ με $b,c\in \mathbb{Z}$ των οποίων οι ρίζες ικανοποιούν τις σχέση $|{r}_{1}|=|{r}_{2}|=1$ με ${r}_{1},{r}_{2}\in \mathbb{C}$ .
Το ερώτημα μου είναι το εξής.
Ξέρουμε ότι ℛ⊆ ℂ,άρα πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις αν Δ<0,Δ>0,Δ=0;

Γενικότερα, τα μέτρα των δυο ριζών (είτε μιγαδικών είτε πραγματικών) είναι ίσα αν και μόνον αν b = 0 ή Δ = 0 (καθώς πιο γενικά |x+y| = |x-y| αν και μόνον αν xy = 0)^ βεβαίως στην δεύτερη περίπτωση οι δυο ρίζες είναι πραγματικές και ταυτίζονται ενώ στην πρώτη οι δυο ρίζες είναι μιγαδικές (αντίθετες φανταστικές για την ακρίβεια) αν και μόνον αν c > 0.

Συμπεραίνουμε ότι η μοναδική εξίσωση που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος είναι η $x^{2}+1=0$ .

[Παρακαλώ βλέπετε διόρθωση παρακάτω!]

Γιώργος Μπαλόγλου

coyote · #5

gbaloglou έγραψε:Συμπεραίνουμε ότι η μοναδική εξίσωση που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος είναι η $x^{2}+1=0$

Γιατί όχι πχ και οι x^2 + x+1=0

και

;

#6

coyote έγραψε:
gbaloglou έγραψε:Συμπεραίνουμε ότι η μοναδική εξίσωση που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος είναι η $x^{2}+1=0$
Γιατί όχι πχ και οι και ;

Στην δεύτερη περίπτωση οι ρίζες είναι πραγματικές, στην πρώτη όμως έχουμε να κάνουμε με χοντρό εκ μέρους μου λάθος: ο συλλογισμός ισχύει μόνον για πραγματικές ρίζες!

Διορθώνω την προσέγγιση μου, και μάλιστα κατά τρόπο που να καλύπτει και την περίπτωση των πραγματικών ριζών, ως εξής:

-- Στην περίπτωση των πραγματικών ριζών όντως έχουμε $|\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}|=|\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2}|\Longleftrightarrow b\Delta=0$ , άρα ή b=0

(μόνη αποδεκτή εξίσωση η $x^{2}-1=0$ )ή $\Delta=0$ (οπότε $b=\pm2$ (λόγω μοναδιαίου μέτρου ριζών) και c=1

, αποδεκτές εξισώσεις οι $x^{2}\pm2x+1=0$ ).

-- Στην περίπτωση των μιγαδικών ριζών έχουμε $|\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2}|=|\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2}|$ (κάτι που βεβαίως ισχύει πάντοτε) με $b^{2}-\Delta=4$ (λόγω μοναδιαίου μέτρου ριζών) και $\Delta<0$ . Εύκολα συμπεραίνουμε, με $\Delta=b^{2}-4c$ , ότι c=1

και $b^{2}<4$ , άρα αποδεκτές εξισώσεις είναι οι $x^{2}+1=0$ και $x^{2}\pm x+1=0$ .

Ευχαριστώ για την διόρθωση,

Γιώργος Μπαλόγλου

Άσκηση τριώνυμου

Άσκηση τριώνυμου

Re: Άσκηση τριώνυμου

Re: Άσκηση τριώνυμου

Re: Άκσηση τριώνυμου

Re: Άσκηση τριώνυμου

Re: Άσκηση τριώνυμου

Μέλη σε σύνδεση