Γεωμετρικός τόπος

[S.E.Louridas]

Καλημέρα.

Στο σχήμα δίνονται οι κύκλοι Το σημείο κινείται στον κύκλο Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους

του τριγώνου

ΓΕΩ. ΤΟΠ..png (54.57 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές

(*) Για να τεκμηριώσω την εδώ άποψη μου ξεφεύγοντας για λίγο από το γνωστό δίπολο Άσκηση - λύση ... και τέλος.
Εδώ μάλιστα υπάρχει και μία ιδέα για την λύση .... με στόχο βέβαια τον πλουραλισμό κτλ.
viewtopic.php?f=178&t=79354&p=382270#p382270

[∫ot.T.]

Μία σύντομη περιγραφή της λύσης:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η απάντηση είναι κύκλος και θεωρόντας μερικές ειδικές περιπτώσεις (3 σε πλήθος) τον προσδιορίζουμε.

Αρχικά από ομοιοθεσία ως προς με λόγο αρκεί να δούμε πώς κινείται το μέσο του , έστω .

Παρατηρούμε ότι το ανήκει στη συμμετροδιάμεσο από το στο , άρα η διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων από τα στον κύκλο . Ας ονομάσουμε αυτό το σημείο . Εδώ ίσως υποψιαστεί κανείς πως αν δειχθεί ότι το είναι σταθερό τότε τελείωσαμε λόγο ομοιοθεσίας.

Με αυτό το κίνητρο θεωρούμε την χορδή του που είναι παράλληλη στον , και θα πούμε το μέσο της.

Αν τα είναι όμοια τότε τελειώσαμε καθώς το είναι σταθερό αφού όλα αυτά τα σημεία είναι σταθερά.
Αρκεί δηλαδή ή ισοδύναμα , γιατί τότε το θα βγει ισοσκλεές τραπέζιο.

Πράγματι που επιβεβαιώνει το γεγονός πως ο τόπος είναι κύκλος.

[S.E.Louridas]

Μία σύντομη περιγραφή της λύσης:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η απάντηση είναι κύκλος και θεωρόντας μερικές ειδικές περιπτώσεις (3 σε πλήθος) τον προσδιορίζουμε.
Αρχικά από ομοιοθεσία ως προς με λόγο αρκεί να δούμε πώς κινείται το μέσο του , έστω .
Παρατηρούμε ότι το ανήκει στη συμμετροδιάμεσο από το στο , άρα η διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων από τα στον κύκλο . Ας ονομάσουμε αυτό το σημείο . Εδώ ίσως υποψιαστεί κανείς πως αν δειχθεί ότι το είναι σταθερό τότε τελείωσαμε λόγο ομοιοθεσίας.
Με αυτό το κίνητρο θεωρούμε την χορδή του που είναι παράλληλη στον , και θα πούμε το μέσο της.
Αν τα είναι όμοια τότε τελειώσαμε καθώς το είναι σταθερό αφού όλα αυτά τα σημεία είναι σταθερά.
Αρκεί δηλαδή ή ισοδύναμα , γιατί τότε το θα βγει ισοσκελές τραπέζιο.
Πράγματι που επιβεβαιώνει το γεγονός πως ο τόπος είναι κύκλος.

Πραγματικά πανέμορφη λύση, σε αυτό του προπονητικού χαρακτήρα θέμα.

Και μόνο για θέμα πλουραλισμού ας δούμε και την ημέτερη άποψη:
Όπως ήδη ανέφερα πολύ εύκολα αποδεικνύεται ότι η χορδή διατηρεί το μήκος της (κάτι που ήθελα να φέρω στην επιφάνεια).
Άρα το απόστημά της είναι σταθερό. Η απλή ομοιοθεσία του ως προς τον κύκλο και λόγου
μας δίνει που κινείται το κέντρο βάρους.