Πολύτροπο μέγιστο

KARKAR · #1

Αν :

βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^2+kx+1}$

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε περισσότερους του ενός τρόπους

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 05, 2026 11:44 am
Αν : βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^2+kx+1}$

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε περισσότερους του ενός τρόπους.

.
Τέτοιες ασκήσεις υπάρχουν σε όλα ανεξαιρέτως τα λίγο παλαιότερα σχολικά βιβλία, μόνο τα νούμερα αλλάζουν. Επίσης την έχουμε δει πάμπολλες φορές στο εδώ φόρουμ. Η συνηθισμένη αντιμετώπιση είναι αξιοποιώντας την διακρίνουσα της $\dfrac{x}{x^2+kx+1}=y$ από όπου βρίσκει κανείς όλο το σύνολο τιμών

της

(διάστημα) από όπου διαβάζουμε αμέσως τις ακρότατες τιμές (*).

Επίσης νωρίτερα σήμερα ανάρτησα την λύση μιάς άσκσης, η οποία λύση προσαρμόζεται με άμεσο τρόπο σε λύση της παρούσας. Βλέπε εδώ.

Ας δούμε άλλον ένα τρόπο: Εύκολα βλέπουμε ότι $\dfrac{x}{x^2+kx+1}\le \dfrac {1}{k+2}$ καθώς αυτό ισοδυναμεί με την $(x-1)^2\ge 1$ . Τώρα, επειδή το άνω φράγμα $\dfrac {1}{k+2}$ το πετυχαίνουμε για x=1

, είναι η ζητούμενη μέγιστη τιμή.

(*) Συγκεκριμένα, το σύνολο τιμών είναι το $\left ( 0, \, \dfrac {1}{k+2} \right ]$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 05, 2026 11:44 am
Αν : βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^2+kx+1}$

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε περισσότερους του ενός τρόπους

.
Αλλιώς: Ως γνωστόν για x>0

ισχύει $x+\dfrac {1}{x} \ge 2$ με ισότητα όταν x=1

. Οπότε διαιρώντας δια

αριθμητή και παρονομαστή της δοθείσας έχουμε

$\displaystyle{\dfrac{x}{x^2+kx+1} = \dfrac{1}{x + \dfrac {1}{x} +k}\le \dfrac{1}{2+k}}$ με ισότητα όταν x=1

. Οπότε το ζητούμενο μέγιστο είναι το $\displaystyle{\dfrac{1}{2+k}}$

Fotis34 · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 05, 2026 11:44 am
Αν : βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x^2+kx+1}$

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε περισσότερους του ενός τρόπους

Η παράγωγος:
$\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2+kx+1)-x(2x+k)}{(x^2+kx+1)^2}$

Απλοποιούμε τον αριθμητή:

$\displaystyle{x^2+kx+1-2x^2-kx=1-x^2}$

Άρα
$\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+kx+1)^2}$

Η παράγωγος μηδενίζεται όταν
$\displaystyle 1-x^2=0 \Rightarrow x=1$

Για x<1

ισχύει

και για

ισχύει

,
άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο x=1

.

Η μέγιστη τιμή είναι
$\displaystyle f(1)=\frac{1}{1+k+1}=\frac{1}{k+2}.$

Άρα
$\displaystyle f_{\max}=\frac{1}{k+2}, \quad \text{για } x=1.$

#5

Φώτη, σωστά αλλά δεδομένου ότι η άσκηση είναι στον φάκελο της Β' Λυκείου εξυπακούεται ότι η μέθοδος με παραγώγους δεν είναι επιτρεπτή. Άλλωστε πριν από δυο μέρες υπήρχε στο φόρουμ μία παρεμφερής άσκηση, πάλι για Β' Λυκείου και από τον ίδιο θεματοθέτη, όπου επισημάνθηκε η μη αποδοχή της μεθόδου των παραγώγων.

Η ουσιία της άσκησης είναι να βρεθούν "πονηρές μέθοδοι" επίλυσης. Η μέθοδος με παραγώγους είναι η στάνταρ μέθοδος. Δεν είναι αυτό που επιζητά το φόρουμ παρ όλο που από Μαθηματικής πλευράς η λύση σου είναι άψογη.

Πολύτροπο μέγιστο

Πολύτροπο μέγιστο

Re: Πολύτροπο μέγιστο

Re: Πολύτροπο μέγιστο

Re: Πολύτροπο μέγιστο

Re: Πολύτροπο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση