Παλιός καημός

[KARKAR]

Γεωμετρικός αριθμητικός μέσος.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Από σημείο , φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα προς τον κύκλο . Να μία αχθεί τέμνουσα ,
τέτοια ώστε η να είναι ο αριθμητικός μέσος των . ( Ο τίτλος δηλώνει ότι δεν έχω λύση )

[abgd]

trigono.png (53.93 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

Ανάλυση
Φέρουμε το ύψος , την κάθετο από το στην , η οποία την τέμνει στο και τον κύκλο στο .

Η τέμνει την στο , στο οποίο φέρουμε την κάθετο στην και η οποία τέμνει την ακτίνα στο σημείο .

Αν και έστω η ακτίνα του κύκλου. Ισχύουν:

• 

• 

Η ημιπερίμετρος του τριγώνου είναι και με τη βοήθεια του τύπου του Ήρωνα για το εμβαδόν του τριγώνου προκύπτει, μετά από τις πράξεις ότι:

• 

Επιλύοντας την τελευταία ως προς θα προκύψει: .

Όμως οπότε και εφόσον θα είναι .

Τελικά ισχύει

Κατασκευή
Για την κατασκευή επιλέγουμε το σημείο της ακτίνας για το οποίο ισχύει και φέρνουμε το τμήμα .
Αν το συμμετρικό του ως προς την τότε η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Το τρίγωνο είναι το ζητούμενο.

[george visvikis]

trigono.png
Ανάλυση
Φέρουμε το ύψος , την κάθετο από το στην , η οποία την τέμνει στο και τον κύκλο στο .

Η τέμνει την στο , στο οποίο φέρουμε την κάθετο στην και η οποία τέμνει την ακτίνα στο σημείο .

Αν και έστω η ακτίνα του κύκλου. Ισχύουν:

• 

• 

Η ημιπερίμετρος του τριγώνου είναι και με τη βοήθεια του τύπου του Ήρωνα για το εμβαδόν του τριγώνου προκύπτει, μετά από τις πράξεις ότι:

• 

Επιλύοντας την τελευταία ως προς θα προκύψει: .

Όμως οπότε και εφόσον θα είναι .

Τελικά ισχύει

Κατασκευή
Για την κατασκευή επιλέγουμε το σημείο της ακτίνας για το οποίο ισχύει και φέρνουμε το τμήμα .
Αν το συμμετρικό του ως προς την τότε η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία .

Το τρίγωνο είναι το ζητούμενο.

Τρεις μέρες την παίδευα! Είχα καταλήξει σε όλα τα επιμέρους συμπεράσματα, αλλά μου έλειπε το επίμαχο γράμμα

[KARKAR]

Ουφ !

, να είσαι καλά