Πενταγωνικό άθροισμα

#1

Σε συνεργασία με τον παλιό συμφοιτητή μαθηματικό Χρήστο Παρασκευόπουλο (ως πριν δυο χρόνια στο 1ο Λύκειο Τρίπολης), προτείνουμε:

Να τοποθετηθούν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

στις κορυφές και στα μέσα πλευρών κανονικού πενταγώνου έτσι ώστε το άθροισμα κάθε πλευράς (κορυφή + μέσον + κορυφή) να είναι το ίδιο, έστω

[Άγνωστη η πηγή, πιθανώς κάποια παλιότερη έκδοση της Ε.Μ.Ε. .]

: πεντάθροισμα.png (72.95 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

duamba · #2

Μπορεί η ηλικία μου να είναι μακριά απο το δημοτικό, όμως οι μαθηματικές μου ικανότητες είναι δίπλα...

$\left\{\begin{gathered} a + b + c = x \\ c + d + e = x \\ e + f + g = x \\ g + h + i = x \\ i + j + a = x \end{gathered}$

προσθέτοντας έχουμε:
2(a+c+e+g+i) + b+d+f+h+j = 5x

.

Το άθροισμα των πρώτων

φυσικών είναι

, άρα $x = 11 + \frac{a+c+e+g+i}{5}$

και επειδή $\left(1+2+3+4+5\right) \leq \left(a+c+e+g+i\right) \leq \left(6+7+8+9+10\right)$ , το

μπορεί να είναι μεταξύ

και

.

Συνεχίζοντας έχουμε a+c+e+g+i = 5(x-11)

και άρα βλέπουμε οτι το άθροισμα των κορυφών του πενταγώνου είναι πολλαπλάσιο του

και μεταξύ του

και του

, ανάλογα το

.

Τελικά μετά απο αρκετές δοκιμές:

: pentathroisma.png (50.1 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Ομολογώ ότι για να επιταχύνω μερικές προσθέσεις χρησιμοποίησα και τον υπολογιστή

abgd · #3

Μια ακόμα λύση....

: Ar.kan.pent..png (30.11 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

#4

Ευχαριστούμε για τις ως τώρα απαντήσεις! Η ανάλυση του duamba δείχνει άμεσα τον δρόμο προς την λύση του Κώστα (abgd), καθώς ο μόνος τρόπος να έχουμε άθροισμα κορυφών 15 είναι να έχουμε τις κορυφές 1, 2, 3, 4, 5 ... οπότε αρχίζοντας είτε από 1-10-3 είτε από 1-9-4 καταλήγουμε (όχι χωρίς κάποιο κόπο) στην δοθείσα λύση, ενώ με λίγη προσπάθεια βλέπουμε ότι δεν οδηγεί πουθενά η αρχή 1-8-5. Βεβαίως η λύση του duamba αντιστοιχεί σε άθροισμα κορυφών 30, ανοίγοντας την πόρτα και για άλλες λύσεις...

#5

gbaloglou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 16, 2025 10:49 pm
Ευχαριστούμε για τις ως τώρα απαντήσεις! Η ανάλυση του duamba δείχνει άμεσα τον δρόμο προς την λύση του Κώστα (abgd), καθώς ο μόνος τρόπος να έχουμε άθροισμα κορυφών 15 είναι να έχουμε τις κορυφές 1, 2, 3, 4, 5 ... οπότε αρχίζοντας είτε από 1-10-3 είτε από 1-9-4 καταλήγουμε (όχι χωρίς κάποιο κόπο) στην δοθείσα λύση, ενώ με λίγη προσπάθεια βλέπουμε ότι δεν οδηγεί πουθενά η αρχή 1-8-5.

Ας δούμε πιο προσεκτικά αυτήν την τελευταία περίπτωση:

: 185.jpg (26.55 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Πενταγωνικό άθροισμα

Πενταγωνικό άθροισμα

Re: Πενταγωνικό άθροισμα

Re: Πενταγωνικό άθροισμα

Re: Πενταγωνικό άθροισμα

Re: Πενταγωνικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση