Είναι γραμμική συνάρτηση το ημίτονο; Και όμως.

#1

.
Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί

για τους οποίους για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει $\displaystyle{\sin (ax)=a\sin x}$ .

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για Junior.)

abgd · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 03, 2025 11:43 pm
.
Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει $\displaystyle{\sin (ax)=a\sin x}$ .

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για Junior.)

Για ισχύει: $\displaystyle{\sin (ax)=a\sin x}, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Αν $a\ne0$ θα πρέπει:

$\sin{\left(a\dfrac{\pi}{2a}\right)}=a\sin{\left(\dfrac{\pi}{2a}\right)} \Leftrightarrow \sin{\left(\dfrac{\pi}{2a}\right)}=\dfrac{1}{a} \ \ \bf{(1)}$

$\sin{\left(a\dfrac{\pi}{a}\right)}=a\sin{\left(\dfrac{\pi}{a}\right)} \Leftrightarrow \sin{\left(\dfrac{\pi}{a}\right)}=0 \Leftrightarrow \ \ \dfrac{\pi}{a}=k\pi \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{k} , \ \ k \in \mathbb{Z^*}$ και από την $\bf{(1)}$ θα είναι:

$\sin{\left(k\dfrac{\pi}{2}\right)}=k\Leftrightarrow \pm 1= k \Leftrightarrow \boxed{a=\pm 1}$

Πράγματι

για $a=\pm 1$ ισχύει: $\displaystyle{\sin (ax)=a\sin x}, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Dimessi · #3

τετριμμένη. Δουλεύουμε $a \neq 0.$
Παραγωγίζοντας παίρνουμε $\cos (ax)=\cos x,$ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$ Οπότε $\left ( a\pm 1 \right )x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ Αυτό δίνει άμεσα το $a=\pm 1.$

#4

Dimessi έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 07, 2025 1:29 am

Παραγωγίζοντας παίρνουμε ...

Η λύση μου ήταν όπως του Κώστα, αλλά μου άρεσε η ίδεα της παραγώγισης του Δημήτρη. Δεν είχε πάει καθόλου ο νους μου εκεί. Οπότε πήρα χαρτί και μολύβι μήπως βρω δεύτερη λύση με πααραγώγιση. Όντως:

Παραγωγίζοντας ως προς

δύο φορές την δοθείσα, $\sin(ax)=a\sin x$ , παίρνουμε $-a^2\sin (ax)=-a\sin x$ . Από τις δύο αυτές παίρνουμε

$a\sin x =a^2\sin (ax)=a^2(a\sin x)=a^3\sin x$ . Άρα a=a^3

από όπου

ή $\pm 1$ . Και λοιπά.

Είναι γραμμική συνάρτηση το ημίτονο; Και όμως.

Είναι γραμμική συνάρτηση το ημίτονο; Και όμως.

Re: Είναι γραμμική συνάρτηση το ημίτονο; Και όμως.

Re: Είναι γραμμική συνάρτηση το ημίτονο; Και όμως.

Re: Είναι γραμμική συνάρτηση το ημίτονο; Και όμως.

Μέλη σε σύνδεση