Άθροισμα νιοστής ομάδας

#1

Τους φυσικούς αριθμούς χωρίζουμε στις ομάδες,

${O_1} = \left\{ 1 \right\}\,\,,\,\,{O_2} = \left\{ {2,3,4,5} \right\}\,\,\,,{O_3} = \left\{ {6,7,8,9,10,11,12} \right\}\,\,,\,{O_4} = \left\{ {13,14,...,22} \right\}$ με πλήθος όρων , $1,4,7,10\,\,\,$ , κ. λ. π.

Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της ν-οστής; Ομάδας .

Nikitas K. · #2

Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle {|O_n| = \begin{Bmatrix} |O_{n-1}| + 3 & \text{\gr αν } n\in\mathbb{N}^*_{\geq 2} \\\\ 1 & \text{\gr αν } n = 1 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \forall n\in\mathbb{N}^{*} ~ |O_n| = 3 (n-1) + 1 = 3n-2}$

$\displaystyle {\forall n\in\mathbb{N}^* ~ a_n := \max\left(O_n\right) \Leftrightarrow a_n = \begin{Bmatrix} a_{n-1} + |O_n| & \text{\gr αν } n\in\mathbb{N}^{*}_{\geq 2} \\\\ 1 & \text{\gr αν } n = 1 \end{Bmatrix} = \left\{\begin{matrix} a_{n-1} + 3n-2 & \text{\gr αν } n\in\mathbb{N}^{*}_{\geq 2} \\\\ 1 & \text{\gr αν } n = 1 \end{matrix}\right. }$

Άρα
$\displaystyle { \forall n\in\mathbb{N}^*_{\geq 2} ~ \sum_{i = 1}^{n} a_i = 1 + \sum_{i=2}^{n} \left(a_{i-1} + 3i-2\right) \Leftrightarrow a_n = 1 + \sum_{i=2}^{n} \left(3i-2\right) = \sum_{i=1}^{n} (3i-2) = n \dfrac{3n-1}{2} }$

και επειδή $a_1 = 1 \cdot \dfrac{3\cdot 1 - 1}{2} = 1$

Λαμβάνουμε ότι:

$\forall n\in\mathbb{N}^{*} ~ a_n = n\dfrac{3n-1}{2}$

Επίσης παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle {O_n = \left\{\begin{matrix} \left\{a_{n-1} + i | i \in\mathbb{N}_{\leq 3n-2}^*\right\} & \text{\gr αν } n\in\mathbb{N}^*_{\geq 2} \\\\ \left\{1\right\} & \text{\gr αν } n = 1 \end{matrix}\right.}$

Επομένως $\forall n\in\mathbb{N}^{*}_{\geq 2}$

$\displaystyle { \sum_{i=1}^{3n-2} \left(a_{n-1} + i\right) = \dfrac{3n-2}{2} (2a_{n-1}+3n-1) = \dfrac{3n-2}{2} \left[(n-1)(3n-4)+3n-1\right] = \dfrac{3n-2}{2}\left[3n^2-4n+3\right] = (3n-2)\left[(n-1)^2+\dfrac{n^2+1}{2}\right] }$

και επειδή $(3\cdot1-2)\left[(1-1)^2+\dfrac{1^2+1}{2}\right] = 1$

Τότε $\forall n \in\mathbb{N}^*$ το ζητούμενο άθροισμα S_n

είναι το εξής:

$\displaystyle {\fbox{ S_{n} = (3n-2)\left[(n-1)^2+\dfrac{n^2+1}{2}\right] } }$

Κατά την επεξεργασία έγινε:
Άρση απόκρυψης και γράφτηκε αναλυτικά με μερικές βελτιώσεις η απόδειξη που εμπεριέχονταν στην απόκρυψη.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Νομίζω ότι πρόκειται για το πρώτο θέμα της παρακάτω δημοσίευσης
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 34&t=41454
Υπάρχει και η λύση.

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 29, 2025 6:18 pm
Νομίζω ότι πρόκειται για το πρώτο θέμα της παρακάτω δημοσίευσης
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 34&t=41454
Υπάρχει και η λύση.

Η λύση σου πολύ ωραία .

Άθροισμα νιοστής ομάδας

Άθροισμα νιοστής ομάδας

Re: Άθροισμα νιοστής ομάδας

Re: Άθροισμα νιοστής ομάδας

Re: Άθροισμα νιοστής ομάδας

Μέλη σε σύνδεση