Ημέρα πρασίνου

KARKAR · #1

: Ημέρα πρασίνου.png (86.08 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στην ακτίνα

, ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

. Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( P , T

στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου APTS

.

BAGGP93 · #2

Μια διευκρίνιση θα ήθελα : Το

κινείται επί της

, άρα εννοείται ότι κάθε φορά φέρνω κάθετη από το

που τέμνει το ημικύκλιο στο

και μετά από το

φέρνεις παράλληλη στην

;

KARKAR · #3

Ακριβώς .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

: Ημέρα πρασίνου.png (38.34 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

Ανάλυση.

Ζητώ το μέγιστο του αθροίσματος , $\left( {ASP} \right) + \left( {PST} \right) = U + V$ . Αλλά $U + V = \left( {APD} \right)$ .

Επι της ουσίας ζητώ πότε το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου ABTP

γίνεται μέγιστο.

Το εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου ισούται με το ημιγινόμενο των ίσων πλευρών επί το ημίτονο της γωνίας της κορυφής του.

: Ημέρα πρασίνου_Ανάλυση_1.png (27.43 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Αν $\theta < \omega$ θα είναι , $\left( {OPA} \right) > \left( {OTP} \right)$ (ενώ αν $\theta > \omega$ θα είναι , $\left( {OPA} \right) < \left( {OTP} \right)$ ) .

Έτσι το $\left( {ABTP} \right)$ γίνεται μέγιστο αν $\theta = \omega = 60^\circ$ , δηλαδή το ABTP

είναι κανονικό ημιεξάγωνο .

Τότε $\boxed{\theta = 60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AP = r}$ ενώ $\boxed{{{\left( {ASTP} \right)}_{\max }} = \frac{3}{2}\left( {OPT} \right) = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}{r^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}$ ,

: Ημέρα πρασίνου_Κατασκευή.png (25.93 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle x = r - \frac{y}{2} \Leftrightarrow y = 2(r - x)$ και με Π.Θ στο TOD:

: Ημέρα πρασίνου.β.png (46.74 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

$\displaystyle {h^2} = {r^2} - {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow h = \sqrt {2rx - {x^2}},$ οπότε $\displaystyle (APTS) = \frac{{x + y}}{2}h = \frac{{(2r - x)\sqrt {2rx - {x^2}} }}{2}$

Η συνάρτηση του εμβαδού έχει παράγωγο $\displaystyle \frac{{(r - 2x)\sqrt {x(2r - x)} }}{{2x}},$ απ' όπου παίρνουμε

$\boxed{{(APTS)_{\max }} = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}$ όταν $\boxed{x=\frac{r}{2}}$

#7

Καλησπέρα σε όλους.

: Ημέρα πρασίνου.png (86.08 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Έστω

, οπότε $\displaystyle T\left( {\sigma \upsilon \nu \theta ,\;\eta \mu \theta } \right),\;P\left( { - \sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta } \right),S\left( { - \sigma \upsilon \nu \theta ,0} \right),\;A\left( { - 1,0} \right)$ , όπου $\displaystyle \theta = \widehat {BOT}$

Είναι $\displaystyle \left( {APTS} \right) = \frac{{\left( {\sigma \upsilon \nu \theta + 1} \right)\eta \mu \theta }}{2}$ , με $\theta \in \left [ 0,\frac{\pi}{2} \right ]$ , η οποία έχει μέγιστο για $\displaystyle \theta = \frac{\pi }{3}$ , όπως περιγράφεται στη γνωστή σχολική άσκηση.

: Μέγιστο εμβαδόν.jpg (99.4 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

ΣΧΟΛΙΟ: Για την πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση 12 (σελ. 153) του σχολικού βιβλίου έχουμε αφιερώσει με τονΓιάννη Θωμαΐδη, αρκετές σελίδες στην ΟΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ (σσ. 240-247), με αναφορά, μεταξύ άλλων, στην εργασία του Νίκου Κλαουδάτου, αλλά και την προσέγγιση του Yakov Perelman.
Αν υπάρξει ενδιαφέρον, θα μπορούσαμε να δώσουμε περισσότερα στοιχεία σχετικά με το θέμα.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 17, 2025 11:34 am
Ημέρα πρασίνου.png $\bigstar$ Σημείο κινείται στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$

και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ( στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

$PT//AB \Rightarrow ( APS)=(TAS)$ και (PST)=(TSQ)

.Άρα

$(APS)={max} \Leftrightarrow 2(APS)={max} \Leftrightarrow (TAL)={max}$ που ως

γνωστόν ισχύει όταν το τρίγωνο TAL

είναι ισόπλευρο

Τότε $\angle PAB= \angle TBA= \angle TLA=60^0$ και προφανώς η

διχοτομεί την

$\angle PAB$ άρα AP=PT=TB=r

,επομένως $x= \dfrac{r}{2}$

Έτσι PT=r

και με $PS= \dfrac{r \sqrt{3} }{2}$ βρίσκουμε $(PTSA)_{max} = \dfrac{3r^2 \sqrt{3} }{8}$

: Ημέρα πρασίνου.png (37.15 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Ημέρα πρασίνου

Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Re: Ημέρα πρασίνου

Μέλη σε σύνδεση