Ισότητα και λόγος

KARKAR · #1

: Ισότητα και λόγος.png (21.64 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Από σημείο

ημικυκλίου διαμέτρου

, φέρουμε $ST \perp AB$ και την μεσοκάθετο του

,

η οποία τέμνει το τόξο στα σημεία P , Q

. Βρείτε την θέση του

για την οποία : PS=BM

και υπολογίστε τότε τον λόγο : $\dfrac{AM}{SQ}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 06, 2025 9:13 am
Ισότητα και λόγος.pngΑπό σημείο ημικυκλίου διαμέτρου , φέρουμε $ST \perp AB$ και την μεσοκάθετο του ,

η οποία τέμνει το τόξο στα σημεία . Βρείτε την θέση του για την οποία :

και υπολογίστε τότε τον λόγο : $\dfrac{AM}{SQ}$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα PMS,TMB

είναι προφανώς ίσα ,άρα $\angle SPM= \angle MBT= \angle NMP \Rightarrow N$

μέσον της

και

Έτσι,

οπότε

είναι κ.βάρους του τριγώνου BPS

άρα

μέσον του

,συνεπώς $OK \bot PB$

Ισχύει λοιπόν y^2=x(r-x)

.Ακόμη , $ST^2=AT.TB\Rightarrow 16y^2=(r+x)(r-x)=r^2-x^2$ από τις οποίες

εύκολα παίρνουμε 15x^2-16rx+r^2=0

με δεκτή λύση $x=\dfrac{r}{15}$

Επομένως το

προσδιορίζεται ως η τομή του ημικυκλίου με την κάθετη στην

στο σημείο της

με $AT=\dfrac{16r}{15}$

Το PMBT

είναι παραλ/μμο ,άρα PM=TB=r-x

και

$PM.MQ=SM.MZ \Rightarrow (r-x)MQ=12y^2=12x(r-x) \Rightarrow MQ=12x= \dfrac{12r}{15}$

Είναι, $y^2=x(r-x)= \dfrac{14r^2}{225}$ και $AT=\dfrac{16r}{15}$ κι από Π.Θ στα $\triangle SMQ,AMT$ παίρνουμε $QS^2=\dfrac{200r^2}{225}$ , $AT^2= \dfrac{312r^2}{225}$

Άρα $\dfrac{AT}{QS}= \dfrac{ \sqrt{39} }{5}$

: ισότητα και λόγος.png (68.61 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 06, 2025 9:13 am
Ισότητα και λόγος.pngΑπό σημείο ημικυκλίου διαμέτρου , φέρουμε $ST \perp AB$ και την μεσοκάθετο του ,

η οποία τέμνει το τόξο στα σημεία . Βρείτε την θέση του για την οποία :

και υπολογίστε τότε τον λόγο : $\dfrac{AM}{SQ}$ .

$\displaystyle PS = BM \Leftrightarrow PM = TB,$ άρα το PMBT

είναι παραλληλόγραμμο και όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

Η

τέμνει την

στο

και το ημικύκλιο στο

Προφανώς το

είναι μέσο του

όπως και το

μέσο

του BS.

Θέτω

οπότε

και στη συνέχεια MK=x,

οπότε

: Ισότητα και λόγος.Κ.png (30.66 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle PN \cdot NS = BN \cdot NL \Leftrightarrow {y^2} = 3yNL \Leftrightarrow NL = \frac{y}{3} \Rightarrow$ $\boxed{AL=\frac{10y}{3}}$ και από την ομοιότητα των

τριγώνων MTB, ALB

είναι, $\displaystyle \frac{{2y}}{{2r}} = \frac{{2x}}{{\frac{{10y}}{3}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{5y^2=3rx}$ (1)

$\displaystyle M{T^2} = \frac{{S{T^2}}}{4} = \frac{{4x(r - x)}}{4} \Leftrightarrow 4{y^2} - 4{x^2} = rx - {x^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} x = \frac{{7r}}{{15}} \Leftrightarrow$ $\boxed{BT=2x=\frac{14r}{15}}$

Εύκολα τώρα με Π.Θ στο AMT

βρίσκω $AM^2=\dfrac{312r^2}{225}.$

$\displaystyle S{B^2} = 4rx = \frac{{28{r^2}}}{{15}} \Leftrightarrow BK \cdot KS = \frac{{7{r^2}}}{{15}} = PK \cdot KQ = 3xKQ \Leftrightarrow KQ = \frac{r}{3}$ και $MQ=\dfrac{4r}{5}.$

με Π.Θ τώρα στο SMQ

είναι $\displaystyle S{Q^2} = \frac{{8{r^2}}}{9}$ και τελικά $\displaystyle \frac{{A{M^2}}}{{S{Q^2}}} = \frac{{39}}{{25}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{AM}{SQ}=\frac{\sqrt{39}}{5}}$

Ισότητα και λόγος

Ισότητα και λόγος

Re: Ισότητα και λόγος

Re: Ισότητα και λόγος

Μέλη σε σύνδεση