Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

BAGGP93 · #1

Έστω $f\colon \left(0,\infty\right)\to \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\left(0,\infty\right)$ με $f^{\prime \prime}(x)<0,\,\,\forall\,x>0.$

Έστω τυχαία, αλλά σταθερά, $\lambda\in\left(0,1\right)$ και y>0.

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y)\geq \lambda\,f(x)+(1-\lambda)\,f(y)}$ για κάθε x>0.

Στη συνέχεια, αν $x,\,y>0$ και p>1,

θέτω $q=\frac{p}{p-1}>0.$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geq x\,y}$ και στη συνέχεια να

ερμηνεύσετε την τελευταία ανισότητα γεωμετρικά.

Προθεσμία: 22/2/2025

abgd · #2

BAGGP93 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 4:26 pm
Έστω $f\colon \left(0,\infty\right)\to \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\left(0,\infty\right)$ με $f^{\prime \prime}(x)<0,\,\,\forall\,x>0.$

Έστω τυχαία, αλλά σταθερά, $\lambda\in\left(0,1\right)$ και Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y)\geq \lambda\,f(x)+(1-\lambda)\,f(y)}$ για κάθε

Στη συνέχεια, αν $x,\,y>0$ και θέτω $q=\frac{p}{p-1}>0.$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geq x\,y}$ και στη συνέχεια να

ερμηνεύσετε την τελευταία ανισότητα γεωμετρικά.

Προθεσμία: 22/2/2025

Μια συνοπτική απάντηση....

Αποδεικνύουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{ \lambda\,x+(1-\lambda)\,y}$ βρίσκεται μεταξύ των x,y

Η ανισότητα $\displaystyle{f(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y)\geq \lambda\,f(x)+(1-\lambda)\,f(y) \ \ \bf (1)}$ για κάθε x>0.

θα προκύψει με τη βοήθεια του θεωρήματος μέσης τιμής στα δύο διαστήματα που ορίζουν οι αριθμοί $\displaystyle{x, \lambda\,x+(1-\lambda)\,y), y}$ .

Η ανισότητα $\displaystyle{\frac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geq x\,y, \ \ x>0, y>0 \ \ \bf{(2)}}$ θα προκύψει με την εφαρμογή της $\bf(1)$ για τη συνάρτηση $f(x)=\ln x$ και για

$x:x^p, \ \ y:y^q$ και $\lambda: \dfrac{1}{p}$ .

Τέλος, η γεωμετρική ερμηνεία της $\bf{(2)}$ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα...

: Embada.png (47.54 KiB) Προβλήθηκε 1771 φορές

KARKAR · #3

Δείτε ένα παρόμοιο θέμα εδώ .

BAGGP93 · #4

Τέλεια. Να τονίσω ότι αυτή η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη της ανισότητας Holder στους χώρους $\ell^p(\mathbb{N}).$

#5

BAGGP93 έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 24, 2025 3:46 pm
Τέλεια. Να τονίσω ότι αυτή η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη της ανισότητας Holder στους χώρους $\ell^p(\mathbb{N}).$

Και είναι γνωστή ως Ανισότητα Young. Βλέπε εδώ.

Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

Re: Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

Re: Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

Re: Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

Re: Γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης

Μέλη σε σύνδεση