2025

[mick7]

Γράψτε το 2025 σαν άθροισμα θετικών ακέραιων έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι το μέγιστο δυνατό.
Πόσο είναι αυτό ;

[Mathmagic24]

1012 + 1013

[mick7]

Αυτό κάνει 1025156 (το γινόμενο) αλλά 2025=25+1000+1000 το γινόμενο είναι 25.000.000...

1012 + 1013

[Mihalis_Lambrou]

Γράψτε το 2025 σαν άθροισμα θετικών ακέραιων έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι το μέγιστο δυνατό.
Πόσο είναι αυτό ;

Απάντηση:

Στους θετικούς ακέραιους με άθροισμα δεν θέλουμε να εμφανίζεται ο γιατί αν κάποιος άλλος προσθετέος, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ζεύγος με τον . Σε αυτήν την περίπτωση το μεν άθροισμα δεν αλλάζει αλλά το γινόμενο μεγαλώνει καθώς .

Επίσης δεν θέλουμε να εμφανίζεται αριθμός γιατί μπορούμε να τον αντικαταστήσουμε με τους . Πράγματι, σε αυτήν την περίπτωση το μεν άθροισμα δεν αλλάζει αλλά το γινόμενο μεγαλώνει καθώς . Έλεγχος: .

Μπορούμε χωρίς βλάβη να θεωρήσουμε ότι ούτε ο εμφανίζεται ως προσθετέος γιατί μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με δύο . Τώρα δεν αλλάζει ούτε το άθροισμα ούτε το γινόμενο.

Συμπέρασμα μέχρι τώρα (ισχύει για όλους τους αριθμούς, όχι μόνο τον ). Για μέγιστο γινόμενο οι προσθετέοι μπορούν να επιλεχθούν ως ή .

Επίσης, δεν θέλουμε να εμφανίζονται ως προσθετέοι τρία γιατί μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε δύο . Πράγματι, σε αυτήν την περίπτωση το μεν άθροισμα δεν αλλάζει αλλά το γινόμενο μεγαλώνει καθώς .

Γενικό συμπέρασμα (το προηγούμενο βελτιωμένο). Για μέγιστο γινόμενο οι προσθετέοι μπορούν να επιλεχθούν ως και το πολύ ένα ή δύο . (*)

Τώρα, στον αριθμό μας . Ο ίδιος είναι πολλαπλάσιο του , συγκεκριμένα . Από τις επιλογές μας στην (*), έχουμε μόνο μία (άθροισμα από , χωρίς , διότι οι και δεν είναι πολλαπλάσια του )

Συνοψίζοντας, , των οποίων το γινόμενο είναι .

[KARKAR]

Παρόμοιο θέμα , δείτε : εδώ

[Mihalis_Lambrou]

Παρόμοιο θέμα , δείτε : εδώ

.
Θανάση, ευχαριστούμε που μας θύμισες ένα ωραίο παλιό θέμα, αλλά προσοχή: Η εκεί λύση είναι προβληματική, ιδίως στο σημείο
.

... αφού σύμφωνα με την

απόδειξη του Γιώργου παραπάνω οι προσθετέοι οφείλουν να είναι πλησίον του ( διπλά ή τριάρια ) .

.
Πρώτα απ' όλα η λέξη "οφείλουν" προέρχεται από μελέτη κάποιας συνάρτησης συνεχούς μεταβλητής. Το τι κάνουν οι διακριτές μεταβλητές δεν είναι αυτονότητο χωρίς αιτιολογία. Δεύτερον, τι ακριβώς σημαίνει "πλησίον". Π.χ. το είναι ή δεν είναι πλησίον του .

Tα λέω αυτά γιατί για μία συνάρτηση όπως αυτήν που σχεδίασα παρακάτω, με μέγιστο στο , οι τιμές της στο που είναι πλήσιον του σημείου μεγίστου είναι μικρότερες από τις τιμές στο που είναι μακρυά, αλλά "οφείλουν" να είναι μεγαλύτερες. Να που δεν είναι.

Με άλλα λόγια, πώς βγάζεις το συμπέρασμα οτι οι προσθετέοι πρέπει να είναι και ; Στο σχήμα που παραθέτω είναι καλύτεροι οι και και , και λοιπά.
.

[KARKAR]

Μιχάλη ως προς το "πλησίον του " , ίσως θα έπρεπε να γράφω " οι ακέραιοι οι πλησιέστεροι προς το "

αλλά δεν νομίζω ότι μπέρδεψε κάποιους αυτό .

Η αιτιολόγηση όντως ίσως να μην είναι επαρκής ( κάτι που κάνεις παραπάνω ) . Είναι πάντως περίεργο που

δεν το παρατήρησε κανείς ( τότε το forum ήταν στις δόξες του ) . Ίσως επειδή ήταν στα "Διασκεδαστικά " .

Ίσως πάλι επειδή η " μαθηματική διαίσθηση " , εδώ δεν σφάλλει ....

[Mihalis_Lambrou]

Ίσως πάλι επειδή η " μαθηματική διαίσθηση " , εδώ δεν σφάλλει ....

.
Θανάση, τον συλλογισμό τον βρήκα υπέροχο. Και θα συμφωνήσω ότι στα Μαθηματικά η διαίσθηση είναι πάντα εξαιρετικός σύμβουλος.

Η μέθοδος που περιέγραψες έχει ακριβώς τα στοιχεία που μας οδηγούν στο να δούμε "τι τρέχει". Δεν έχω κανένα πρόβλημα με την λύση που έγραψες. Ίσα-ίσα μας δίνει καλή ερμηνεία γιατί τα δυάρια και τριάρια έχουν κυρίαρχο ρόλο στην εν λόγω άσκηση. 'Οταν έλυνα την άσκηση μου πήρε κάποιο χρόνο να αντιληφθώ ότι στα δυάρια και τριάρια είναι η λύση. Η πρώτη μου σκέψη ήταν σε ¨μεγάλους παράγοντες". Τελικά οι "μικροί παράγοντες" είναι το μυστικό. Μικροί αλλά πολλοί. Αν ήξερα εξ αρχής τον συλλογισμό σου, θα είχα πλεονέκτημα.

Να 'σαι καλά.

[Mathmagic24]

Μιχάλη ως προς το "πλησίον του " , ίσως θα έπρεπε να γράφω " οι ακέραιοι οι πλησιέστεροι προς το "

αλλά δεν νομίζω ότι μπέρδεψε κάποιους αυτό .

Η αιτιολόγηση όντως ίσως να μην είναι επαρκής ( κάτι που κάνεις παραπάνω ) . Είναι πάντως περίεργο που

δεν το παρατήρησε κανείς ( τότε το forum ήταν στις δόξες του ) . Ίσως επειδή ήταν στα "Διασκεδαστικά " .

Ίσως πάλι επειδή η " μαθηματική διαίσθηση " , εδώ δεν σφάλλει ....

Ας υποθέσουμε πως υπάρχει κάποιος θετικός αριθμός n, ώστε 2025=κn + λ, όπου κ θετικός ακέραιος και λ≥0
Έστω P = (2025/n)ⁿ
ln(P) = n ln(2025/n)
= n (ln 2025 - ln n)


d/dn [n (ln 2025 - ln n)] = ln 2025 - ln n - 1

ln 2025 - ln n - 1 = 0

ln n = ln 2025 - 1
n = 2025/e
Άρα έχουμε 744 φορές το e και (περίπου) το 2.808

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη ως προς το "πλησίον του " , ίσως θα έπρεπε να γράφω " οι ακέραιοι οι πλησιέστεροι προς το "

αλλά δεν νομίζω ότι μπέρδεψε κάποιους αυτό .

Η αιτιολόγηση όντως ίσως να μην είναι επαρκής ( κάτι που κάνεις παραπάνω ) . Είναι πάντως περίεργο που

δεν το παρατήρησε κανείς ( τότε το forum ήταν στις δόξες του ) . Ίσως επειδή ήταν στα "Διασκεδαστικά " .

Ίσως πάλι επειδή η " μαθηματική διαίσθηση " , εδώ δεν σφάλλει ....

Ας υποθέσουμε πως υπάρχει κάποιος θετικός αριθμός n, ώστε 2025=κn + λ, όπου κ θετικός ακέραιος και λ≥0
Έστω P = (2025/n)ⁿ
ln(P) = n ln(2025/n)
= n (ln 2025 - ln n)


d/dn [n (ln 2025 - ln n)] = ln 2025 - ln n - 1

ln 2025 - ln n - 1 = 0

ln n = ln 2025 - 1
n = 2025/e
Άρα έχουμε 744 φορές το e και (περίπου) το 2.808

Γράψε σε παρακαλώ με latex (όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας αλλά και) για να καταλάβουμε και εμείς αυτά που γράφεις.

Όπως τα βλέπω, εκ πρώτης όψεως αλλά παρακαλώ διόρθωσέ με, οι ισχυρισμοί σου είναι γεμάτοι λάθη. Για παράδειγμα, από ότι αντιλαμβάνομαι, το είναι σταθερό με . Αλλά αμέσως παρακάτω παραγωγίζεις ως προς . Τέτοια ενέργεια δεν έχει έχει νόημα. Κάνω λάθος;

Επίσης δεν καταλαβαίνω πιο είναι το συμπέρασμά σου και τι σχέση έχει με την άσκηση. Δηλαδή, ρωτάω, το που κατέληξες, τι ακριβώς δηλώνει;

[KARKAR]

Προς mathmagic24 . Πέραν των παρατηρήσεων του κ. Λάμπρου , πρόσεξε την εκφώνηαη :

Γράψτε το 2025 σαν άθροισμα θετικών ακέραιων έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι

το μέγιστο δυνατό. Πόσο είναι αυτό ;