Γωνία διαμέσου - διχοτόμου

KARKAR · #1

: Γωνία διαμέσου - διχοτόμου.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , στο οποίο η γωνία που σχηματίζουν

η διάμεσος

με την διχοτόμο

, να ισούται με το μισό της γωνίας $\hat{B}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 28, 2024 8:57 am
Γωνία διαμέσου - διχοτόμου.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , στο οποίο η γωνία που σχηματίζουν

η διάμεσος με την διχοτόμο , να ισούται με το μισό της γωνίας $\hat{B}$ .

Κατασκευάζω το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με πλευρές $b, c=2b, a=b\sqrt 5.$ .

: Γωνία διαμέσου-διχοτόμου.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Απόδειξη: Φέρνω και τη διχοτόμο BE.

Είναι $\displaystyle AD = \frac{{bc}}{{a + b}} = \frac{{2b}}{{1 + \sqrt 5 }},AE\frac{{bc}}{{a + c}} = \frac{{2b}}{{\sqrt 5 + 2}}$

$\displaystyle \tan \omega = \frac{b}{{AD}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \tan \theta = \tan (\omega - 45^\circ ) = \frac{{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} - 1}}{{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} + 1}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{3 + \sqrt 5 }} = \sqrt 5 - 2$

$\displaystyle \tan \frac{B}{2} = \frac{{AE}}{{2b}} = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = \sqrt 5 - 2 = \tan \theta .$ Άρα, $\boxed{\frac{\widehat B}{2}=\theta}$ και ολοκληρώνεται η απόδειξη.

Ανδρέας Πούλος · #3

Βασίζομαι στο σχήμα του Γιώργου.
Γνωρίζουμε ότι η γωνία που σχηματίζει το ύψος με τη διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου, ισούται με την απόλυτη τιμή της ημιδιαφοράς των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι:
Γωνία $\widehat{ACD} = \frac{90-2\vartheta }{2}=45-\vartheta$ .
Άρα, γωνία $\widehat{ADC} =45+\vartheta \Rightarrow \widehat{CDM}=135-\theta \Rightarrow \widehat{AMC} = 45$ .

Άρα, το τρίγωνο AMD

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Η συνέχεια της κατασκευής είναι απλή.
Πρέπει να σημειωθεί - επειδή τις λύσεις τις διαβάζουν και ενδιαφερόμενοι μαθητές και κυρίως αυτοί - ότι για να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα γεωμετρικής κατασκευής έχει προηγηθεί η φάση της Ανάλυσης.
Σε αυτήν υποθέτουμε ότι έχουμε κατασκευάσει το ζητούμενο τρίγωνο. Από παρατηρήσεις, χρήση θεωρημάτων και από υπολογισμούς βρίσκουμε χρήσιμες πληροφορίες για το σχήμα μας και στη συνέχεια προχωρούμε στην κατασκευή του.
Φυσικά, αποδεικνύουμε υποχρεωτικά ότι η κατασκευή μας είναι ορθή
και εξετάζουμε αν υπάρχουν και άλλα σχήματα που ικανοποιούν αυτά τα δεδομένα.

Γωνία διαμέσου - διχοτόμου

Γωνία διαμέσου - διχοτόμου

Re: Γωνία διαμέσου - διχοτόμου

Re: Γωνία διαμέσου - διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση