Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων

#1

Καλή σας μέρα. Ας δούμε αυτό το ωραίο πρόβλημα στις συνεχείς συναρτήσεις.
Δίνεται μία ακολουθία $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , συνεχών συναρτήσεων, ώστε για κάθε $x_0 \in \mathbb{R}$ υπάρχει ζεύγος φυσικών m,n

διαφορετικών μεταξύ τους με f_n(x_0)=f_m(x_0)

. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ζεύγος φυσικών m,n

διαφορετικών μεταξύ τους και διάστημα

ώστε $f_n(x)=f_m(x), \forall x\in D$ .

Καραδήμας · #2

Θα βάλουμε $F_{n,m}=\{ x\in {\mathbb R}:f_n(x)=f_m(x)\}$ για $n\neq m$ . Αυτά τώρα είναι κλειστά και από την υπόθεση έχουν ένωση το ${\mathbb R}$ . Μετά θα εφαρμόσουμε το Baire: κάποιο $F_{n,m}$ περιέχει διάστημα.

#3

Στάθη, καλώς επανέκαμψες!!
Αυτή είναι η λύση του προβλήματος

Φιλικά

Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων

Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων

Re: Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων

Re: Ακολουθία συνεχών συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση