Απόλυτη υπεροχή

KARKAR · #1

: Απόλυτη υπεροχή.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 2282 φορές

Δείξτε αυτό που βλέπετε στο σχήμα , δηλαδή ότι για κάθε x>0

, είναι :

$(x+1)\ell n(x+1)>\ell n(x)+1$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2023 10:54 am
Απόλυτη υπεροχή.pngΔείξτε αυτό που βλέπετε στο σχήμα , δηλαδή ότι για κάθε , είναι :

$(x+1)\ell n(x+1)>\ell n(x)+1$ .

.
Να την βελτιώσουμε: $(x+1)\ln (x+1)>x \ge \ln (x)+1$ για x>0

.

Πράγματι, η $f(x) = (x+1)\ln (x+1)-x$ ικανοποιεί $f'(x) = \ln (x+1) >0$ για x>0

. Οπότε είναι γνήσια αύξουσα, και το ζητούμενο έπεται από το γεγονός ότι f(0)=0

H $g(x) = x- \ln (x)-1$ ικανοποιεί $g'(x) = 1- \dfrac {1}{x}$ που μηδενίζεται στο x=1

. Εκεί έχει ολικό ελάχιστο (κοιτάμε τα πρόσημα της

εκατέρωθεν), οπότε $g(x) \ge g(1)=0$ .

KARKAR · #3

: Απόλυτη υπεροχή.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 2263 φορές

Η παρεμβολή της y=x

, είναι μια θαυμάσια ιδέα

. Αλλιώς έχει παίδεμα ...

#4

αρκεί να έχουν κοινή εφαπτομένη Τα υπόλοιπα είναι θέμα κοιλότητας -κυρτότητας
για κάθε $\displaystyle{a>-1}$ να υπάρχει $\displaystyle{b>0}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{g(b)-f(a)=f'(a)(b-a)}$
Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{a=0,b=1}$ η προηγούμενη ισχύει Και δεν χρειάζεται να βρούμε όλα τα ζευγάρια (α,β) ώστε να έχουμε κοινή εφαπτόμενη

abgd · #5

Κάπως διαφορετικά....

Αφού $\displaystyle{lnx+1\leq x-1+1=x, \ \ \forall x>0}$ αρκεί να δείξουμε ότι: $\displaystyle{(x+1)ln(x+1)>x, \ \ \forall x>0}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=xlnx, \ \ x>0}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$

Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (1,x+1), \ \ x>0}$ ώστε $\displaystyle{f'(\xi)=\frac{f(x+1)-f(1)}{x}}$

Αφού η $\displaystyle{f' }$ είναι γνησίως αύξουσα $\displaystyle{f'(\xi)>f'(1)\Leftrightarrow f(x+1)>x\Leftrightarrow (x+1)ln(x+1)>x}$

Απόλυτη υπεροχή

Απόλυτη υπεροχή

Re: Απόλυτη υπεροχή

Re: Απόλυτη υπεροχή

Re: Απόλυτη υπεροχή

Re: Απόλυτη υπεροχή

Μέλη σε σύνδεση