Διγάμμα στους μισούς ακεραίους

Tolaso J Kos · #1

Σε συνέχεια αυτού του θέματος δημοσιεύω ένα πιο εύκολο.

Έστω $n \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = -\gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}}$ όπου $\psi^{(0)}$ η διγάμμα.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 8:36 pm

Έστω $n \in \mathbb{N}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = -\gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}}$ όπου $\psi^{(0)}$ η διγάμμα.

Είναι σχεδόν ταυτολογία, και βγαίνει εύκολα από έτοιμους τύπους που υπάρχουν στην παραπάνω παραπομπή της "δίγαμμα". Συγκεκριμένα τον

$\displaystyle{ \psi^{(0)} (z) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty } \left ( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+z} \right ) }$ , οπότε και

$\displaystyle{ \psi^{(0)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = -\gamma + \sum_{k=0}^{\infty } \left ( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{2}{2k+2n +1} \right ) }$

και, επίσης, τον γνωστό

$\displaystyle{ \log 2 = \sum_{k=0}^{\infty } \dfrac{(-1) ^{k}}{k+1} }$ , που υπάρχει σε όλους τους Απειροστικούς Λογισμούς, στο κεφάλαιο περί σειρών Taylor.

Δεν νομίζω ότι θα δυσκολευτεί κανείς κάνοντας τις αντικαταστάσεις στο δεξί μέλος της ζητούμενης. Δεν μπαίνω στον κόπο γιατί η πληκτρολόγιση είναι επίπονη αλλά το ζητούμενο απλό.

Διγάμμα στους μισούς ακεραίους

Διγάμμα στους μισούς ακεραίους

Re: Διγάμμα στους μισούς ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση