Προοδευτικό μέγιστο

KARKAR · #1

: Προοδευτικό μέγιστο.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές

Το σημείο

κινείται επί του ύψους

και οι

τέμνουν τις πλευρές AB , AC

στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου POT

.

#2

Έστω

τα μήκη των πλευρών και έστω ότι BO =ra, CT = sb

και

. Από τις συνθήκες έχουμε $r = \frac{1}{4}$ . Επίσης, από Ceva έχουμε rst = (1-r)(1-s)(1-t)

.

Έχουμε

$\displaystyle \frac{(BOP) + (COT) + (APT)}{(ABC)} = r(1-t) + (1-r)s + (1-s)t = (r+s+t)-(rs+st+tr) = 1-2rst$

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου POT

μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιήσουμε το 2rst

. Αφού το

είναι σταθερό, αυτό συμβαίνει όταν μεγιστοποιήσουμε το

.

Έχουμε st = 3(1-s)(1-t)

άρα $0 = 2st - 3(s+t) + 3 \leqslant 2st - 6\sqrt{st} + 3$ . Άρα $\displaystyle \sqrt{st} \leqslant \frac{6-\sqrt{36-24}}{4} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ ή $\displaystyle \sqrt{st} \geqslant \frac{3+\sqrt{3}}{2}$ . Η δεύτερη περίπτωση απορρίπτεται αφού έχουμε $(3+\sqrt{3})/2 > 1 > st$ . Άρα $\sqrt{st} \leqslant (3-\sqrt{3})/2$ με την ισότητα να επιτυγχάνεται όταν $s = t = (3-\sqrt{3})/2$ .

Το μέγιστο εμβαδόν ισούται με $\displaystyle 2rst(ABC) = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3-\sqrt{3}}{2} \right)^2 \cdot 36 = \frac{9}{2}(12-6\sqrt{3}) = 9(6-3\sqrt{3}).$

Προοδευτικό μέγιστο

Προοδευτικό μέγιστο

Re: Προοδευτικό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση