Λόγος να σου πετύχει

KARKAR · #1

: Λόγος να σου πετύχει.png (8.36 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

Από την κορυφή

, του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ABCD

,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 12:52 pm
Λόγος να σου πετύχει.pngΑπό την κορυφή , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

Το τετράπλευρο

ALCS

είναι παραλληλόγραμμο και

AL=CS=LS=x,DL=SB

από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $ADL.SCB,CL=AS=x\sqrt{2},$ ,

Στο τριγωνο

LCS

Από Θ.Δ.

$x=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{5}},(1), 2DL+x=DB\Leftrightarrow DL=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}.\dfrac{5-\sqrt{5}}{5},(2),$

Από μετρικές σχέσεις στο

$DCB,\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=1+\dfrac{x}{DL},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\Phi$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 12:52 pm
Λόγος να σου πετύχει.pngΑπό την κορυφή , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

Έστω

το σημείων τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS$ .

Επειδή $CS \bot BD$ και $\widehat {DSA} = 45^\circ$ , αναγκαστικά $\widehat {AST} = 45^\circ$ και το τετράπλευρο DATS

είναι εγράψιμο οπότε :

Οι χορδές των $45^\circ$ , εγγεγραμμένων γωνιών θα είναι ίσες, δηλαδή $AT = AD = b\,\,\left( 1 \right)$ .

Ταυτόχρονα θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{SD}}{{SB}} = \frac{{D{C^2}}}{{C{B^2}}} \hfill \\ \frac{{SD}}{{SB}} = \frac{{DC}}{{TB}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: λόγος να σου πετύχει.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Η πρώτη είναι γνωστή σχέση σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο και η δεύτερη από την ομοιότητα των $\vartriangle DCS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BTS$ .

Δηλαδή : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{SD}}{{SB}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \hfill \\ \frac{{SD}}{{SB}} = \frac{a}{{a - b}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Θέτω : a = bx

κι εξισώνω τα δεύτερα μέλη , οπότε:

$a(a - b) = {b^2} \Rightarrow bx\left( {bx - b} \right) = {b^2} \Rightarrow {x^2} - x - 1 = 0$ , Δηλαδή $\boxed{x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 12:52 pm
Λόγος να σου πετύχει.pngΑπό την κορυφή , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου DSC.

Το

είναι εγγράψιμο,

οπότε $\displaystyle D\widehat TA = T\widehat CS = 45^\circ \Rightarrow DT = b,TC = a - b$

: Λόγος να σου πετύχει.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

θεώρημα διχοτόμου στο DSC,

$\displaystyle \frac{b}{{a - b}} = \frac{{DS}}{{SC}} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a}{b}=\Phi}$

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 12:52 pm
Από την κορυφή , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

: shape.png (23.84 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 25, 2023 12:52 pm
Λόγος να σου πετύχει.pngΑπό την κορυφή , του - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογωνίου ,

φέρουμε $CS \perp BD$ . Αν $\widehat{ASD}=45^\circ$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

Με $SE\bot AS$ προφανώς D,E,S,Z,A

είναι ομοκυκλικά και $\angle DEA=45^0 \Rightarrow DE=b$

Ισχύει $CE.CD=CS.CZ=b^2\Rightarrow (a-b)a=b^2 \Rightarrow a^2=b(a+b) \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \Phi$

: Λόγος να σου πετύχει.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #7

Για την Καλημέρα στους $\Phi$ ίλους! Με τη βοήθεια του σχήματος.

: 27-1 Λόγοςγια να τον..πετύχεις!.png (117.38 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Με το Π.Θ στο $\triangleleft BAN$ : $a^2=x^2+\left ( x+1 \right )^2$ , ενώ από τα όμοια BAD,DAN

προκύπτει $\dfrac{a^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2}{1^2}\Rightarrow a^2=x^4+x^2$ .

Εξισώνουμε: $x^4+x^2=x^2+\left ( x+1 \right )^2$ $\Leftrightarrow x^4-\left ( x+1 \right )^2=0\Leftrightarrow \left ( x^2-x-1 \right )\left ( x^2+x+1 \right )=0$ .

οπότε x^2=x+1

δηλ $x=\Phi$ . Άρα $\dfrac{a}{b}=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AN}{DN}=x=\Phi$

$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

Λόγος να σου πετύχει

Λόγος να σου πετύχει

Re: Λόγος να σου πετύχει

Re: Λόγος να σου πετύχει

Re: Λόγος να σου πετύχει

Re: Λόγος να σου πετύχει

Re: Λόγος να σου πετύχει

Re: Λόγος να σου πετύχει

Μέλη σε σύνδεση