Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Ginkn · #1

Καλησπέρα! Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\frac{lnx}{x-1}, x\neq 1$ , η οποία προφανώς απ' τον τύπο δεν ορίζεται στο 1. Όμως λόγω συνέχειας, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, μπορούμε να πούμε πως η τιμή $f(1)= \displaystyle \lim_{ x\to 1}f(x)=1$ . Άρα τελικά υπάρχει το f(1)

; Ή προσεγγίζουμε όσο θέλουμε τη συνάρτηση κοντά στο σημείο αυτό ; Ακόμη και γραφικά δεν φαίνεται κάποια ασυνέχεια.
Έχω μπερδευτεί αρκετά, οπότε μια βοήθεια εδώ θα με διευκόλυνε πολύ.

Μαθητής Γ' Λυκείου.

Άρης Μερσιέ · #2

Καλησπέρα. Το σχετικό θεώρημα του σχολικού βιβλίου λέει:

Αν οι συναρτήσεις

και

είναι συνεχείς στο x_0

, τότε είναι συνεχής στο x_0

και η συνάρτηση g/h

, με την προϋπόθεση ότι ορίζεται σε ένα διάστημα που περιέχει το x_0

.

Στο δικό σου παράδειγμα, g(x) = lnx

,

και

. Οι συναρτήσεις

και

ορίζονται και είναι συνεχείς στο x_0 = 1

, αλλά η $f \equiv g/h$ δεν ορίζεται σε κανένα διάστημα που περιέχει το

(γιατί απλά δεν ορίζεται στο

, όπως διαπίστωσες και μόνος σου). Άρα δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση του θεωρήματος.

To όριο $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ υπάρχει και είναι ίσο με

, αλλά δεν ορίζεται η τιμή f(1)

.

Σχετικά με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, το σημείο (1,1)

δεν ανήκει σε αυτήν. Επειδή όμως ανήκουν σημεία οσοδήποτε κοντά σε αυτό, σε λογισμικά προγράμματα φαίνεται σαν να είναι συνεχής.

Ginkn · #3

Κατάλαβα, ευχαριστώ πολύ !

Tolaso J Kos · #4

Οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x-1}$ και $g(x) = \left\{\begin{matrix} \dfrac{\ln x}{x-1} & , & 0< x \neq 1 \\\\ 1& , & x = 1 \end{matrix}\right.$ είναι διαφορετικές. Η

είναι συνεχής επέκταση της

.

#5

Άρης Μερσιέ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 04, 2022 5:18 pm
Καλησπέρα. Το σχετικό θεώρημα του σχολικού βιβλίου λέει:

Αν οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς στο , τότε είναι συνεχής στο και η συνάρτηση , με την προϋπόθεση ότι ορίζεται σε ένα διάστημα που περιέχει το .

.................................................................
Σχετικά με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, το σημείο δεν ανήκει σε αυτήν. Επειδή όμως ανήκουν σημεία οσοδήποτε κοντά σε αυτό, σε λογισμικά προγράμματα φαίνεται σαν να είναι συνεχής.

Σωστά, έτσι δείχνουν τα λογισμικά. Όμως μπορούμε να το ξεπεράσουμε, όπως αυτό φαίνεται
στο παρακάτω σχήμα:

: Ασυνέχεια σε σημείο 1.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 1161 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα έχουμε κάνει κάποια μεγένθυση στο σημείο $\displaystyle{A=(1,1)}$ , σε σχέση με τα γειτονικά του έτσι για να φαίνεται "με γυμνό οφθαλμό".

Πού να φανεί ένα σημείο; Αφού είναι μηδενικών διαστάσεων!

Όπως και μια ευθεία την κάνουμε "κάπως παχειά", έτσι για να φαίνεται

πάλι "με γυμνό οφθαλμό", όμως αυτή έχει μηδενικό πάχος.

Κάπως έτσι ξεπερνάμε τέτοια προβλήματα.

Κώστας Δόρτσιος

Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Re: Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Re: Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Re: Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Re: Συνάρτηση μη ορισμένη σε σημείο αλλά συνεχής σε αυτό

Μέλη σε σύνδεση