Πίνακας 8 x 8

[socrates]

Είναι δυνατό να συμπληρώσετε έναν πίνακα 8 × 8 με εξάρια και εφτάρια, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά να διαιρείται με το πέντε και το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη να διαιρείται με το επτά;

[Mihalis_Lambrou]

Είναι δυνατό να συμπληρώσετε έναν πίνακα 8 × 8 με εξάρια και εφτάρια, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά να διαιρείται με το πέντε και το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη να διαιρείται με το επτά;

Απάντηση: Δεν μπορούμε.

Κοιτάμε τις στήλες. Οι πιθανές κατανομές από 7-ρια και 6-ρια σε μία στήλη έχουν αθροίσματα είτε α) ή β) ή γ) ή .... ή ή η) ή θ) . Από τους αριθμούς αυτούς τα μόνα πολλαπλάσια του είναι τα (έκανα διόρθωση εδώ και σε αυτά που συμπαρασύρει) και . Αν έχουμε περιπτώσεις από ρια και από ρια, τότε το άθροισμα όλων των αριθμών του πίνακα είναι

Εργαζόμαστε όμοια με τις γραμμές. Τα μόνα πολλαπλάσια του είναι τα και . Αν έχουμε περιπτώσεις από ρια και από ρια, τότε το άθροισμα όλων των αριθμών του πίνακα είναι .

Συγκρίνοντας θα έχουμε , ισοδύναμα . Σαρώνοντας τις επιτρεπτές τιμές του , δηλαδή τις έως , θα βρούμε μοναδική λύση την . Μένει να την απορρίψουμε με κάποιο επιχείρημα.

Το σημαίνει ότι έχουμε φορές την εκδοχή αθροίσματος της στήλης ίσον (είναι η α) παραπάνω). Δηλαδή θα έχουμε στήλες με (μόνο) ρια. Άρα οι γραμμές θα έχουν τουλάχιστον επτάρια η καθεμία. Θα δούμε ότι αυτό δεν είναι συμβατό με την λύση δηλαδή 4 φορές την εκδοχή (είναι η β) παραπάνω) και εκδοχές (είναι η ζ) παραπάνω). Πράγματι, το τελευταίο μας λέει ότι κάποιες γραμμές έχουν μόνο δύο ρια, σε αντίθεση με το προηγούμενο συμπέρασμα.

[Mihalis_Lambrou]

Είχα ένα λογιστικό σφάλμα στην προηγούμενη λύση, το οποίο την χάλαγε. Τώρα έκανα διόρθωση προσθέτοντας την τελευταία παράγραφο.

Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.

Ευχαριστώ τον Γενικό μας Συντονιστή Δημήτρη Χριστοφίδη, για την επισήμανση.