Το ημικύκλιο και η διχοτόμος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Απάντηση
cool geometry
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Το ημικύκλιο και η διχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Κυρ Αύγ 07, 2022 10:58 pm

Φέρουμε ημικύκλιο διαμέτρου AB και με κορυφή το A γράφουμε δύο εφεξής γωνίες \widehat{BAC}=\widehat{CAF}=10^{0}, όπου F,C σημεία της ημιπεριφέρειας. Επί των AB,AF παίρνουμε σημεία D,E αντίστοιχα, τέτοια ώστε DE=DB=2FC.. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat{FED}.
Πανέμορφη άσκηση, παρακαλώ μην τη λύσετε με τριγωνομετρία.


Λέξεις Κλειδιά:
κύκλοι
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το ημικύκλιο και η διχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Αύγ 08, 2022 1:11 am

cool geometry έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 07, 2022 10:58 pm
 Φέρουμε ημικύκλιο διαμέτρου AB και με κορυφή το A γράφουμε δύο εφεξής γωνίες \widehat{BAC}=\widehat{CAF}=10^{0}, όπου F,C σημεία της ημιπεριφέρειας. Επί των AB,AF παίρνουμε σημεία D,E αντίστοιχα, τέτοια ώστε DE=DB=2FC.. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat{FED}.
Πανέμορφη άσκηση, παρακαλώ μην τη λύσετε με τριγωνομετρία.
Ας είναι S το σημείο τομής των AF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC .

Επειδή οι χορδές BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CF είναι ίσες και το τρίγωνο ABS έχει την AC διχοτόμο και ύψος θα είναι το C μέσο του BS.
Το ημικύκλιο και η διχοτόμος_oritzin_1.png
Το ημικύκλιο και η διχοτόμος_oritzin_1.png (33.97 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές
Έτσι αν BC = CF = k \Rightarrow SC = k \Rightarrow BD = 2k. Φέρνω τώρα από το B παράλληλη στην CF και τέμνει την AF σε σημείο E με το τρίγωνο EDB προφανώς ισόπλευρο .

Έτσι, \boxed{\widehat {FED} = 60^\circ + 80^\circ = 140^\circ } . Προφανώς ο κύκλος \left( {D,2k} \right) τέμνει ακόμα την AF σε σημείο E' και θα είναι : \boxed{\widehat {DE'F} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ }
Το ημικύκλιο και η διχοτόμος_oritzin_2.png
Το ημικύκλιο και η διχοτόμος_oritzin_2.png (37.25 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3283
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το ημικύκλιο και η διχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Αύγ 08, 2022 3:32 am

cool geometry έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 07, 2022 10:58 pm
 Φέρουμε ημικύκλιο διαμέτρου AB και με κορυφή το A γράφουμε δύο εφεξής γωνίες \widehat{BAC}=\widehat{CAF}=10^{0}, όπου F,C σημεία της ημιπεριφέρειας. Επί των AB,AF παίρνουμε σημεία D,E αντίστοιχα, τέτοια ώστε DE=DB=2FC.. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat{FED}.
Πανέμορφη άσκηση, παρακαλώ μην τη λύσετε με τριγωνομετρία.
Με Q συμμετρικό του B ως προς C είναι BQ=2FC=DB=DE και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο QPB

Τότε \angle PBA=20^0 και με PL//AB προφανώς το PLAB είναι υπερισοσκελές τραπέζιο και PLDB ρόμβος

Άρα, \angle DLE= \angle LED=40^0 \Rightarrow \angle FED=140^0
ημικύκλιο και διχοτόμος.png
ημικύκλιο και διχοτόμος.png (32.83 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές


Κορυφή
cool geometry
Δημοσιεύσεις: 292
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Το ημικύκλιο και η διχοτόμος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Τρί Αύγ 09, 2022 11:10 am

\cos 10^{0}=\frac{BC}{2R}\Rightarrow BC=2R\cdot \cos 10^{0}=FC
DE=DB=4R\cdot \cos 10^{0}\Rightarrow AD=2R-4R\cdot \cos 10^{0}=2R(1-2\cos 10^{0})\Rightarrow \frac{4R\cos 10^{0}}{\cos 20^{0}}=\frac{2R(1-2\cos 10^{0})}{\cos \angle AED}\Rightarrow \cos \angle AED=\sin 10^{0}-\cos 20^{0}=\cos 40^{0} ;)


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης