Άθροισμα ψηφίων

#1

Έστω

το άθροισμα ψηφίων του θετικού ακεραίου

Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\frac{n}{s_n},}$ αν

είναι τετραψήφιος θετικός ακέραιος.

Μπορούμε να βρούμε και τη μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\frac{n}{s_n};}$

Maria-Eleni Nikolaou · #2

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 09, 2022 6:41 pm
Έστω το άθροισμα ψηφίων του θετικού ακεραίου Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\frac{n}{s_n},}$ αν είναι τετραψήφιος θετικός ακέραιος.

Μπορούμε να βρούμε και τη μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\frac{n}{s_n};}$

Παραθέτω την λύση μου με κώδικα σε γλώσσα Python...

Έστω: $U=\dfrac{n}{s_n}=\dfrac{\overline{abcd}}{a+b+c+d}$

Για την ελάχιστη τιμή είναι:

: minval.png (23.44 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Που μας δίνει:

: minvalueresult.png (3.55 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Για τη μέγιστη προφανώς είναι:

$U_{max}=1000$ για τους τετραψήφιους $n=\overline{abcd}$ όπου: a={1,2,...,9}

και

.

#3

Ας δούμε και μια απόδειξη για την ελάχιστη τιμή:

Έστω

η ελάχιστη τιμή. Για n = 1999

έχουμε

, άρα

. Επίσης, αν $n = \overline{abcd}$ έχουμε n-10s_n = 900a + 90b - 9d > 0

, άρα

. Επειδή

τότε

$\displaystyle n-ks_n = (1000-k)a + (100-k)b - (k-10)c - (k-1)d \geqslant 1000-k - 9(k-10) -9(k-1) = \frac{1099}{19}$

με ισότητα αν και μόνο αν n=1099

.

Άθροισμα ψηφίων

Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Re: Άθροισμα ψηφίων

Μέλη σε σύνδεση