Ειδικό ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Ειδικό ορθογώνιο.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

σχεδιάσαμε το ημικύκλιο διαμέτρου

, κέντρου

και φέραμε την

, η οποία

τέμνει το τόξο στο σημείο

. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

, τέμνει τις AD , BC

στα

αντίστοιχα .

Βρείτε τον λόγο των πλευρών του ορθογωνίου , αν το

είναι το μέσο της

και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{SC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 01, 2022 9:35 am
Ειδικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο σχεδιάσαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , κέντρου και φέραμε την , η οποία

τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , τέμνει τις στα αντίστοιχα .

Βρείτε τον λόγο των πλευρών του ορθογωνίου , αν το είναι το μέσο της και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{SC}$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Επειδή MA = MT = MD

το τρίγωνο TDA

είναι ορθογώνιο με άμεσες συνέπειες :

1. Τα σημεία B,T,D

ανήκουν σε μια ευθεία και έτσι τα τρίγωνα $TCD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TOB\,$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\lambda = \dfrac{{TD}}{{TB}} = \dfrac{{DC}}{{OB}} = 2\,\,\left( 1 \right)$ .

2. $\dfrac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{TD}}{{TB}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \sqrt 2 \,\,\left( 2 \right) \Rightarrow AD = 2r\sqrt 2 \,\,\,\left( 3 \right)$

: Ειδικό ορθογώνιο_Κατασκευή.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

3. $MT = 2TS \Rightarrow r\sqrt 2 = 2TS \Rightarrow TS = r\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\left( 4 \right)$

Έτσι $SC = BC - BS = BC - TS = 2r\sqrt 2 - r\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{3}{2}r\sqrt 2$ και ο λόγος που ζητώ είναι :

$\dfrac{{BS}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}r\sqrt 2 }}{{\dfrac{3}{2}r\sqrt 2 }}\, = \dfrac{1}{3}$

Αλλιώς ο υπολογισμός του λόγου $\dfrac{{BS}}{{SC}}$
.

: Ειδικό ορθογώνιο_Κατασκευή_Λύση extra.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

.
Έστω ότι η ευθεία

τέμνει στο

την

. Θέτω , $TS = BS = k \Rightarrow MD = 2k$ .

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο TBN

έχω

,

δηλαδή το

είναι μέσο του

και άρα

, οπότε : $\boxed{\dfrac{{BS}}{{SC}} = \dfrac{k}{{3k}} = \dfrac{1}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 01, 2022 9:35 am
Ειδικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο σχεδιάσαμε το ημικύκλιο διαμέτρου , κέντρου και φέραμε την , η οποία

τέμνει το τόξο στο σημείο . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , τέμνει τις στα αντίστοιχα .

Βρείτε τον λόγο των πλευρών του ορθογωνίου , αν το είναι το μέσο της και υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{SC}$ .

Είναι $MA=MT=MD\Rightarrow \triangle MTC= \triangle MDC \Rightarrow TC=DC=b$ .

Ακόμη $OT=OB= \dfrac{b}{2}$ άρα $OC= \dfrac{3b}{2}$

Με Π.Θ στο $\triangle OBC \Rightarrow a^2+ \dfrac{b^2}{4} = \dfrac{9b^2}{4} \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \sqrt{2}$

είναι διχοτόμος της $\angle BOC \Rightarrow \dfrac{BS}{SC}= \dfrac{OB}{OC}= \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{ \dfrac{3b}{2} }= \dfrac{1}{3}$

: Ειδικό ορθογώνιο.png (72.1 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Ειδικό ορθογώνιο

Ειδικό ορθογώνιο

Re: Ειδικό ορθογώνιο

Re: Ειδικό ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση