Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια

KARKAR · #1

: Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Με διάμετρο την κάθετη πλευρά

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

, γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα

στο σημείο

. Στην προέκταση της πλευράς

θεωρούμε τυχόν σημείο

.Ο κύκλος ( C , T , S )

τέμνει τον προηγούμενο στο σημείο

.

Δείξτε ότι τα σημεία B , P , S

είναι συνευθειακά .

thepigod762 · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 11:08 am
Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια.pngΜε διάμετρο την κάθετη πλευρά , ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο . Στην προέκταση της πλευράς

θεωρούμε τυχόν σημείο .Ο κύκλος τέμνει τον προηγούμενο στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

$\angle ATB=180^{\circ}-\angle BPA=90^{\circ}$

$\angle ATP=\angle ABP\Rightarrow \angle CTS=\angle ABP+90^{\circ}\Rightarrow \angle CSP=90^{\circ}-\angle ABP$

$\angle BAP=180^{\circ}-(90^{\circ}+\angle ABP)\Rightarrow PAS=\angle ABP$

$\angle PAS+\angle CSP+\angle SPA=180^{\circ}\Rightarrow \angle ABP+90^{\circ}-\angle ABP+\angle SPA=180^{\circ}\Leftrightarrow \angle SPA=90^{\circ}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 20, 2021 11:08 am
Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια.pngΜε διάμετρο την κάθετη πλευρά , ορθογωνίου τριγώνου , γράφουμε κύκλο ,

ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στο σημείο . Στην προέκταση της πλευράς

θεωρούμε τυχόν σημείο .Ο κύκλος τέμνει τον προηγούμενο στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

: Συνευθειακότητα.Κ..png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες από το εγγεγραμμένο CSPT

και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες(σχέση εγγεγραμμένης και χορδής εφαπτομένης).

Αλλά, $\displaystyle A\widehat TB = 90^\circ \Leftrightarrow A\widehat PS = 90^\circ$ και $\displaystyle B\widehat PA = 90^\circ$ (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#4

$CS \bot AB$ . $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,\,\left( * \right)$ ( χορδής κι εφαπτομένης) .

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο , TCSP

έχω: $\widehat {{S_{}}} = \widehat {{\theta _1}}\,\,\left( 1 \right)$ ( εξωτερική με εντός κι απέναντι εσωτερική).

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο APBT

είναι $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\left( 2 \right)$ . Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι $\boxed{\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{S_{}}}}\,\,\left( 3 \right)$ .

: Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια.png (19.19 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Αλλά αφού $\widehat {{\alpha _1}} + \widehat {{\theta _2}} = 90\,^\circ$ λόγω των $\left( * \right)$ και $\left( 3 \right)$ θα είναι : $\boxed{\widehat {{\alpha _1}} + \widehat {{S_{}}} = 90^\circ }$ .

Δηλαδή : $AP \bot PS$ αλλά και $BP \bot AP$ ( η εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή)

Συνεπώς : PB//PS

και από το Ευκλείδειο αίτημα θα είναι , B,P,S

συνευθειακά .

Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια

Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια

Re: Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια

Re: Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια

Re: Συνευθειακότητα χωρίς εμπόδια

Μέλη σε σύνδεση