Κυρτότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με f(0) = f'(0) = 0

για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f''(x) > f'(x) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in [0, +\infty)}$
Να δειχθεί ότι:

(α) η συνάρτηση $h(x) = e^{-x} f(x) \, , \; x \in [0, +\infty)$ είναι γνησίως αύξουσα.

(β) η συνάρτηση f^2

είναι κυρτή στο $[0, +\infty)$ .

(γ) $\displaystyle{f \left( \frac{1}{2} \right) < \frac{f(1)}{\sqrt{2}}}$ .

(γ) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 14, 2021 6:48 pm
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f''(x) > f'(x) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in [0, +\infty)}$
Να δειχθεί ότι:

(α) η συνάρτηση $h(x) = e^{-x} f(x) \, , \; x \in [0, +\infty)$ είναι γνησίως αύξουσα.

(β) η συνάρτηση είναι κυρτή στο $[0, +\infty)$ .

(γ) $\displaystyle{f \left( \frac{1}{2} \right) < \frac{f(1)}{\sqrt{2}}}$ .

(γ) $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty}$ .

Για $x\ge 0$ έχουμε

$\displaystyle{f'(x)-f(x) = (f'(x)-f'(0)) -(f(x)-f(0)) = \int _0^xf''(t) dt -\int _0^xf'(t) dt = \int_0^x(f''(t)-f'(t))dt =}$

$\displaystyle{= \int_0^x(thetiko)dt \ge 0}$ (και μάλιστα γνήσια θετική αν x>0

).

Άρα $f'(x) \ge f(x)$ , δηλαδή με την αρχική $f''(x)>f'(x) \ge f(x) \,(*)$ .

α) Για x>0

είναι $\displaystyle{ (e^{-x}f(x) )' = e^{-x} (f'(x) - f(x)) >0}$ , άρα $\displaystyle{ e^{-x}f(x) }$ γνήσια αύξουσα στο $[0, +\infty)$ .

Για χρήση παρακάτω, έπεται ότι για $x\ge 0$ είναι $e^{-x} f(x) \ge e^{-0} f(0) = 0$ . Άρα $f(x) \ge 0$ και από την (*)

είναι

. Έπεται

γνήσια αύξουσα οπότε για x>0

είναι

.

β) $\displaystyle{ (f^2(x))'' = (2f(x)f'(x))'= 2f'^2(x)+2f(x)f''(x) = }$ άθροισμα θετικών, ίσον θετική (και μάλιστα γνήσια αν x>0

), οπότε

γνήσια κυρτή.

γ) Από την γνήσια κυρτότητα της f^2

έχουμε

$\displaystyle{ f ^2\left( \frac{1}{2} \right) < \dfrac{f^2(1)-f^2(0)}{2}= \dfrac{f^2(1)}{2}}$ , από όπου το ζητούμενο.

δ) Για x>1

και επειδή $e^{-x}f(x)$ είναι γνήσια αύξουσα έχουμε σε αυτό $e^{-1} f(1) >e^{-0}f(0)=0$ και άρα

$\displaystyle{f(x) = e^{-x}f(x) e^{x}\ge e^{-1}f(1) e^{x} \to \infty}$

Edit: Είχα ξεχάσει να γράψω την απάντηση στην τελευταία ερώτηση. Την προσθέτω τώρα.

Κυρτότητα

Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση