Διπλάσια γωνία 56

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία.png (6.3 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές

Βόρεια της ευθείας x'x

βρίσκονται σημεία P , S

. Εντοπίστε την θέση του σημείου

της ευθείας ,

για το οποίο να προκύπτει : $\omega = 2\phi$ . Αν ο Ευκλείδης σας αγχώνει , ... δοκιμάστε τον Καρτέσιο .

#2

Με Καρτέσιο, τριγωνομετρία και λίγη άλγεβρα, ας λύσουμε αυτή τη γεωμετρική άσκηση...

: Διπλάσια γωνία.png (6.3 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Διακρίνω τρεις περιπτώσεις:

1η Έστω T(a,0), 0<a<9

, οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \frac{4}{{9 - a}},\;\;\varepsilon \varphi \varphi = \frac{3}{a}$ . Οι γωνίες είναι οξείες.

$\displaystyle \omega = 2\varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \varepsilon \varphi 2\varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{4}{{9 - a}} = \frac{{\frac{6}{a}}}{{1 - \frac{9}{{{a^2}}}}} \Leftrightarrow \frac{4}{{9 - a}} = \frac{{6a}}{{{a^2} - 9}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5{a^2} - 27a - 18 = 0$ με θετική ρίζα

.

2η Έστω T(a,0), a>9

, οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \frac{4}{{a - 9}},\;\;\varepsilon \varphi \varphi = \frac{3}{a}$ . Οι γωνίες είναι οξείες.

$\displaystyle \omega = 2\varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \varepsilon \varphi 2\varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{4}{{a - 9}} = \frac{{\frac{6}{a}}}{{1 - \frac{9}{{{a^2}}}}} \Leftrightarrow \frac{4}{{a - 9}} = \frac{{6a}}{{{a^2} - 9}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2} - 27a + 18 = 0$ με δεκτή ρίζα $\displaystyle a = \frac{{27 + 3\sqrt {73} }}{2}$

3η Έστω $T(a,0), a\le 0$ , οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \frac{4}{{9 - a}},\;\;\varepsilon \varphi \varphi = \frac{3}{{ - a}}$ . Οι γωνίες είναι οξείες.

$\displaystyle \omega = 2\varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \varepsilon \varphi 2\varphi \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{4}{{9 - a}} = \frac{{ - \frac{6}{a}}}{{1 - \frac{9}{{{a^2}}}}} \Leftrightarrow \frac{4}{{9 - a}} = \frac{{ - 6a}}{{{a^2} - 9}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2} - 27a + 18 = 0$ , που δεν έχει αρνητική ρίζα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 29, 2021 6:14 pm
Διπλάσια γωνία.pngΒόρεια της ευθείας βρίσκονται σημεία . Εντοπίστε την θέση του σημείου της ευθείας ,

για το οποίο να προκύπτει : $\omega = 2\phi$ . Αν ο Ευκλείδης σας αγχώνει , ... δοκιμάστε τον Καρτέσιο .

Κατασκευή.

: Διπλάσσια γωνία 56.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην ευθεία x'x

και

το συμμετρικό του

ως προς την x'x

.

Γράφω το κύκλο $\left( {K,OP} \right)$ και φέρνω από το

εφαπτόμενο τμήμα

προς αυτόν και τέμνει την x'x

στο

.

Απόδειξη .

Επειδή $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\phi _1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}$ θα έχω: $\boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\phi _{}}} + \widehat {{\phi _1}} = 2\widehat {{\phi _{}}}}$

Επειδή από κάθε εξωτερικό σημείου ενός κύκλου δυνάμεθα να φέρουμε 2 εφαπτόμενα τμήματα , το πρόβλημα έχει (εν γένει) δύο λύσεις .

Διπλάσια γωνία 56

Διπλάσια γωνία 56

Re: Διπλάσια γωνία 56

Re: Διπλάσια γωνία 56

Μέλη σε σύνδεση