Όριο μοναδιαίου πίνακα

Tolaso J Kos · #1

Έστω

μοναδιαίος ( unitary ) και $v \in \mathbb{C}^n$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell= \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 07, 2021 12:24 am
Έστω μοναδιαίος ( unitary ) και $v \in \mathbb{C}^n$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell= \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv}$

Έστω

o υπόχωρος $M=\{Au-u / u \in \mathbb{C}^n \}$ . Κάθε διάνυσμα γράφεται ως v= w+n

όπου $w\in M$ και $n\in M^{\perp }$ . Θα δείξουμε ότι

$\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv}= n}$ . Με άλλα λόγια, αν

η προβολή στον

, τότε $\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i =I-P}}$

Πράγματι, αν $n\in M^{\perp}$ έχουμε για κάθε

ότι

$\displaystyle{0= <n, Au-u>= <n,Au>-<n,u>=<A^*n,u>-<n,u>=<A^*n-n,u>}$ άρα A^*n-n=0

. Αλλά

unitary, άρα An=AA^*n=n

και επαγωγικά A^kn=n

. Έχουμε τότε για κάποιο

$\displaystyle{ \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i (w+n)= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i w + \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i n=}$

$\displaystyle{= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i (Au-u) + \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m n= \frac{1}{m} (A^{m+1}u-u) + n \, (*)}$ .

Αλλά $\displaystyle{ ||A^{m+1}u|| \le ||A||^{m+1} ||u|| =||u||}$ (διότι

unitary). Άρα στο δεξί μέλος της (*)

έχουμε $\displaystyle{||\frac{1}{m} (A^{m+1}u-u) || \le \frac{1}{m} ||A^{m+1}u|| + \frac{1}{m} ||u ||\to 0}$ , που σημαίνει ότι το δεξί μέλος της (*)

τείνει στο 0+n

, όπως θέλαμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να το δούμε διαφορετικά.
Ο πίνακας

σαν unitary είναι κανονικός .
Αρα υπάρχει ορθοκανονική βάση από ιδιοδιανύσματα.
Επίσης κάθε ιδιοτιμή του έχει μέτρο

.
Εστω τα ιδιδιανύσματα e_1,e_2,....e_k

της ιδιοτιμής

και $e_{k+1},.....e_n$
τα ιδιοδιανύσματα των ιδιοτιμων $l_{k+1},.....l_n$
Είναι σαφές ότι αν το $\upsilon$
είναι κάποιο από τα e_1,e_2,....e_k

τότε το όριο είναι το ίδιο.
Αν το $\upsilon$ είναι από το $e_{k+1},.....e_n$
τότε το όριο είναι

γιατί αν

είναι κάποιο από τα $l_{k+1},.....l_n$
έχουμε
$\sum_{k=1}^{m}l^{k}=l(\frac{l^{m}-1}{l-1})$
Ετσι γράφοντας το $\upsilon$ ως $\upsilon =\upsilon _{1}+\upsilon _{2}$
με $\upsilon _{1}\in <e_1,e_2,....e_k>$
το όριο είναι το $\upsilon_1$

Όριο μοναδιαίου πίνακα

Όριο μοναδιαίου πίνακα

Re: Όριο μοναδιαίου πίνακα

Re: Όριο μοναδιαίου πίνακα

Μέλη σε σύνδεση