Τριψήφιοι με ειδική αποστολή

#1

Ο αριθμός

ισούται με

φορές το άθροισμα των ψηφίων του (190=19(1+9+0)).

Να βρείτε όλους τους τριψήφιους αριθμούς με αυτή την ιδιότητα.

24 ώρες για μαθητές Γυμνασίου.

Joaakim · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 04, 2021 5:37 pm
Ο αριθμός ισούται με φορές το άθροισμα των ψηφίων του

Να βρείτε όλους τους τριψήφιους αριθμούς με αυτή την ιδιότητα.

24 ώρες για μαθητές Γυμνασίου.

Έστω $\overline {abc}$ ένας τριψήφιος αριθμός, με $9 \geqslant a \geqslant 1, 9 \geqslant b, c \geqslant 0$ , ο οποίος ισούται με

φορές το άθροισμα των ψηφίων του.
Τότε θα ισχύει ότι
$\overline {abc}=19(a+b+c) \Rightarrow 100a+10b+c=19a+19b+19c \Rightarrow 81a=9b+18c=9(b+2c) \Rightarrow 9a=b+2c$ .
Παρατηρούμε ότι
$9+2*9=3*9 \geqslant b+2c=9a \Rightarrow 3 \geqslant a$ .

- Αν a=3

, τότε η ισότητα πιάνεται για b=c=9

, και έτσι ο τριψήφιος $\overline {abc}=399$ .
- Αν a=2

, τότε

. Δουλεύοντας mod.2

λαμβάνουμε ότι

άρτιος. Ελέγχουμε με το χέρι τις περιπτώσεις b=0, 2, 4, 6, 8

, για να πάρουμε
αντίστοιχα τις τιμές c=9, 8, 7, 6, 5

. Έτσι έχουμε τους αριθμούς $\overline {abc}=209, 228, 247, 266, 285$ .
- Αν a=1

, τότε

. Δουλεύοντας mod.2

παίρνουμε ότι

περιττός. Ελέγχουμε με το χέρι τις περιπτώσεις b=1, 3, 5, 7, 9

, για να πάρουμε
αντίστοιχα τις τιμές c=4, 3, 2, 1, 0

. Έτσι έχουμε τους αριθμούς $\overline {abc}=114, 133, 152, 171, 190$ .

2nisic · #3

Έστω

ο αριθμός ξέρουμε ότι:
a1.....an=19(a1+....an)

Αν $n\geqslant 4$ τότε
$LHS\geq 10^{n-1}> 19*n*9\geq RHS$

Για

Joaakim έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 04, 2021 6:45 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 04, 2021 5:37 pm
Ο αριθμός ισούται με φορές το άθροισμα των ψηφίων του

Να βρείτε όλους τους τριψήφιους αριθμούς με αυτή την ιδιότητα.

24 ώρες για μαθητές Γυμνασίου.
Έστω $\overline {abc}$ ένας τριψήφιος αριθμός, με $9 \geqslant a \geqslant 1, 9 \geqslant b, c \geqslant 0$ , ο οποίος ισούται με φορές το άθροισμα των ψηφίων του.
Τότε θα ισχύει ότι
$\overline {abc}=19(a+b+c) \Rightarrow 100a+10b+c=19a+19b+19c \Rightarrow 81a=9b+18c=9(b+2c) \Rightarrow 9a=b+2c$ .
Παρατηρούμε ότι
$9+2*9=3*9 \geqslant b+2c=9a \Rightarrow 3 \geqslant a$ .

- Αν , τότε η ισότητα πιάνεται για , και έτσι ο τριψήφιος $\overline {abc}=399$ .
- Αν , τότε . Δουλεύοντας λαμβάνουμε ότι άρτιος. Ελέγχουμε με το χέρι τις περιπτώσεις , για να πάρουμε
αντίστοιχα τις τιμές . Έτσι έχουμε τους αριθμούς $\overline {abc}=209, 228, 247, 266, 285$ .
- Αν , τότε . Δουλεύοντας παίρνουμε ότι περιττός. Ελέγχουμε με το χέρι τις περιπτώσεις , για να πάρουμε
αντίστοιχα τις τιμές . Έτσι έχουμε τους αριθμούς $\overline {abc}=114, 133, 152, 171, 190$ .

Για

εξετάζουμε με το χέρι τα πολλαπλάσια του

Άρα οι αριθμοί είναι: $\overline {abc}=114, 133, 152, 171, 190$ .

Τριψήφιοι με ειδική αποστολή

Τριψήφιοι με ειδική αποστολή

Re: Τριψήφιοι με ειδική αποστολή

Re: Τριψήφιοι με ειδική αποστολή

Μέλη σε σύνδεση