Λήμμα-2.

Φανης Θεοφανιδης · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με $\angle A=90^{0}$ και το ύψος του

.
Αν για τυχαίο σημείο

του ύψους

ισχύει ότι $\angle PBA=\angle PCA$ ,
δείξτε ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές.

Manolis Petrakis · #2

Έστω ότι

τότε $\widehat{ACB}>\widehat{ABC} (1)$
Είναι $\widehat{ABP}=\widehat{ACP}\Rightarrow$ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABP

και

είναι ίσοι(αφού οι 2 αυτές ίσες γωνίες βαίνουν στο

). Έτσι αφού AB>AC

έχουμε: $\widehat{APB}>\widehat{APC}\Leftrightarrow \widehat{BPH}<\widehat{CPH}$
$\Leftrightarrow\widehat{PBH}>\widehat{PCH}\Leftrightarrow \widehat{ABC}>\widehat{ACB}$ άτοπο λόγω της (1)

$\Rightarrow AB=AC$

: 20201018_201217.jpg (23.54 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 18, 2020 7:23 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με $\angle A=90^{0}$ και το ύψος του .
Αν για τυχαίο σημείο του ύψους ισχύει ότι $\angle PBA=\angle PCA$ ,
δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Έστω ότι δεν είναι ισοσκελές και AC>AB.

Τότε υπάρχει σημείο

του τμήματος

ώστε

: Λήμμα - 2.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

Είναι $\displaystyle P\widehat CA = P\widehat BA = P\widehat EA,$ άρα το APEC

είναι εγγράψιμο και $\displaystyle B\widehat AH = \widehat C = H\widehat PE = B\widehat PH > B\widehat AH.$

Οπότε καταλήγουμε σε άτοπο. Ομοίως αποκλείουμε και την περίπτωση να είναι AC<AB.

Επομένως, $\boxed{AB=AC}$

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 7.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Ονομάζω

και

τις προβολές του

στην

και

αντίστοιχα
και $K\equiv MN\cap AH$ .
Το AMPN

είναι ορθογώνιο. Οπότε το

μέσο της

(οι διαγώνιοι ορθογωνίου διχοτομούνται).
Αλλά $\angle NHA=\angle MHA=\theta$ (από τα εγγράψιμα CHPN, BMPH

).
Άρα η

είναι μεσοκάθετος του

.
Επομένως $\angle MAH=\angle HAC=45^{0}\Rightarrow AH$ ύψος και διχοτόμος $\Rightarrow \triangle ABC$ ισοσκελές.

Ακολουθεί άσκηση.

Φανης Θεοφανιδης · #5

: 101.png (7.96 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος είναι ισοσκελές με AB=AC

.
Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 25, 2020 1:22 pm
101.png

Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές με .
Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Έστω $\displaystyle A\widehat BE = \omega ,A\widehat CD = \varphi.$

: Λήμμα - 2Φ.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

$\displaystyle \omega + \theta = 2\theta + \varphi \Leftrightarrow \omega = \theta + \varphi = A\widehat ED,$ άρα $\displaystyle A\widehat EB = 90^\circ.$ Σύμφωνα λοιπόν με το Λήμμα-2,

θα είναι AC=BC,

οπότε το

είναι ισόπλευρο και εύκολα τώρα $\displaystyle \varphi = 2\theta = 30^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=15^\circ}$

Manolis Petrakis · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 25, 2020 1:22 pm

Το τρίγωνο του σχήματος είναι ισοσκελές με .
Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Καλησπέρα σας!
Άμεσα προκύπτει ότι:
$\widehat{ABE}=90^{\circ}-3\theta$ (από το ορθογώνιο BDC

), $\widehat{ECA}=90^{\circ}-4\theta$ (διότι $\widehat{B}=\widehat{C}$ ), $\widehat{BAE}=3\theta$ (από το ορθογώνιο ADC

)
Έτσι από την τριγωνομετρική εκδοχή του θεωρήματος του Ceva έχουμε:
$\frac{\sin(90^{\circ}-3\theta)}{\sin\theta}\frac{\sin2\theta}{\sin(90^{\circ}-4\theta)}\frac{\sin\theta}{\sin3\theta}=1$
$\Leftrightarrow \cos3\theta \sin2\theta=\cos4\theta \sin3\theta$
$\Leftrightarrow \sin5\theta+\sin\theta=\sin7\theta+\sin\theta$
$\Leftrightarrow \sin7\theta-\sin5\theta=0 \Leftrightarrow \sin\theta\cos6\theta=0$
Αλλά $\sin\theta\neq0 \Rightarrow \cos6\theta=0$
$\Leftrightarrow 6\theta=90^{\circ} \Leftrightarrow \theta=15^{\circ}$

: 20201025_161532.jpg (28.89 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

#8

: Φάνης Λήμμα 2.png (30.97 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Οι κύκλοι $\left( {A,E,C} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {B,E,C} \right)$ είναι ίσοι αφού το τμήμα

φαίνεται από τα A,B

υπό ίσες γωνίες .

Ας είναι, αντίστοιχα, $L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ τα κέντρα τους. Το τετράπλευρο EKCL

είναι ρόμβος

Και έτσι η KL//AB

( κάθετες στην ευθεία

) , άρα το τραπέζιο ABKL

είναι

ισοσκελές , οπότε η

ως μεσοκάθετος στην

θα είναι και στην

.

Αυτό μας εγγυάται ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο άρα αβίαστα έχω; $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 15^\circ }$

Λήμμα-2.

Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Re: Λήμμα-2.

Μέλη σε σύνδεση