Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

KARKAR · #1

: Απαιτητικό.png (6.07 KiB) Προβλήθηκε 2812 φορές

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=1+\sqrt{x-2}$ .

α) Δείξτε ότι η

αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφή της .

β) Δείξτε ότι οι $C_{f} , C_{f^{-1}}$ , δεν έχουν κοινά σημεία .

γ) Βρείτε την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των $C_{f} , C_{f^{-1}}$ .

#2

Το ζουμί είναι το γ) Θανάση, δεν ξέρω τι είχες κατά νου όταν πρότεινες το θέμα, αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είμαστε εξασφαλισμένοι να θεωρήσουμε ότι η ελάχιστη απόσταση πιάνεται όταν $\displaystyle{AB\perp y=x}$ ή ότι η ελάχιστη απόσταση πιάνεται σε αντίστοιχα σημεία των $\displaystyle{f,f^{-1},}$ δηλαδή αν $\displaystyle{A(m,n)}$ , τότε $\displaystyle{B(n,m).}$

Παραθέτω μια απόδειξη που δεν θεωρεί τίποτα δεδομένο και βλέπουμε.

Ας είναι $\displaystyle{A(x,1+\sqrt{x-2})}$ με $\displaystyle{x\geq 2}$

και $\displaystyle{B(y,y^2-2y+3)}$ με $\displaystyle{y\geq 1.}$

Τότε είναι

$\displaystyle{AB^2=(x-y)^2+(\sqrt{x-2}-y^2+2y-2)^2.}$

Από την $\displaystyle{2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2}$ έχουμε

$\displaystyle{2AB^2\geq (\color{red}y-x \color{black}+\sqrt{x-2}-y^2+2y-2)^2}$ .

Το κόκκινο το τονίζω, γιατί αν κανείς βάλει αντί αυτού το $\displaystyle{x-y}$ δεν θα βρει το ελάχιστο.

Άρα $\displaystyle{2AB^2\geq \left((y-\frac{3}{2})^2+(\sqrt{x-2}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}\right)^2\implies 2AB^2\geq \frac{9}{4}\implies AB\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}}$

και η ισότητα πιάνεται όταν $\displaystyle{x=\frac{9}{4}, y=\frac{3}{2}.}$

KARKAR · #3

Θάνο , εξαιρετική προσέγγιση , νάσαι καλά

( μάλλον όμως για "Ευκλείδη" )

Αλλά ( παραβλέποντας το ελλιπές της απάντησης

) , θέλουμε αντιμετώπιση "εντός ύλης" ( όχι απαραίτητα

της περικεκομμένης τωρινής ) , στην οποία ούτε τα - σχεδόν προφανή - που δίνεις στην αρχή του κειμένου σου

θεωρούνται γνωστά ...

#4

Για το τρίτο ερώτημα (Δεν ξέρω κατά πόσο είναι "νόμιμο"). Η

είναι κοίλη και η $f^{-1}$ κυρτή.

Αναζητούμε δύο σημεία A, B

ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτά των $C_f,C_{f^{-1}}$ αντίστοιχα, να είναι παράλληλες.

Αρκεί να βρω σημείο

της

στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία $\varepsilon: y=x.$

$\displaystyle f'(x) = 1 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} = 1 \Leftrightarrow A\left( {\frac{9}{4},\frac{3}{2}} \right)$ και $\boxed{{(AB)_{\min }} = 2d(A,\varepsilon ) = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 9:02 am
Για το τρίτο ερώτημα (Δεν ξέρω κατά πόσο είναι "νόμιμο"). Η είναι κοίλη και η $f^{-1}$ κυρτή.

Αναζητούμε δύο σημεία ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτά των $C_f,C_{f^{-1}}$ αντίστοιχα, να είναι παράλληλες.

Αρκεί να βρω σημείο της στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία $\varepsilon: y=x.$

$\displaystyle f'(x) = 1 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} = 1 \Leftrightarrow A\left( {\frac{9}{4},\frac{3}{2}} \right)$ και $\boxed{{(AB)_{\min }} = 2d(A,\varepsilon ) = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}}$

Γενικά δεν είναι νόμιμο.
Μπορεί να αποδειχθεί(θα το βάλω σαν θέμα σε άλλο φάκελλο)
οτι οι εφαπτομένες είναι παράλληλες αν το ελάχιστο πιάνεται σε εσωτερικό σημείο.
Μάλιστα δεν έχει σχέση ούτε με κυρτότητα ούτε αν η μια είναι αντίστροφη της άλλης.
Αν πιάνεται σε άκρο δεν είναι απαραίτητο να είναι παράλληλες οι εφαπτομένες.

#6

Συμπληρώνω απλώς μερικές λεπτομέρειες για μία σχολική απάντηση στο γ). όπως ζητάει ο Θανάσης και πάνω στην βασική ιδέα του Θάνου.

Η εξίσωση f(x)-x=0

είναι αδύνατη (απλό). Επομένως η συνεχής f(x)-x

διατηρεί πρόσημο που είναι αρνητικό. Άρα η γραφική παράσταση της $\mathcal{C}_f$ είναι κάτω από την γραφική παράσταση της y=x

η οποία με την σειρά της λόγω συμμετρίας είναι κάτω από εκείνη της $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ . Είναι $(AB) \geq d_{1}+d_{2}=d_{2}+d_{3}$ . O τελευταίος αριθμός έχει ως ελάχιστη τιμή το διπλάσιο της ελάχιστης απόστασης

της $\mathcal{C}_f$ από την y=x

. Η

είναι το ελάχιστο της $\frac{\left| x-f\left( x\right) \right| }{\sqrt{2}}=\frac{x-f\left( x\right) }{\sqrt{2}}$ που βρίσκουμε εύκολα ότι επιτυγχάνεται όταν $x=\frac{9}{4}$ που δίνει $2m=\frac{3\sqrt{2}}{4}$ .

: mindist.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 2584 φορές

KARKAR · #7

: Ελάχιστη απόσταση αντίστροφων.png (6.21 KiB) Προβλήθηκε 2541 φορές

Αναδιατυπώνω την λύση του Νίκου προσαρμοσμένη πλήρως στη "σχολική" θεώρηση : Λόγω συμμετρίας ,

αρκεί να βρω την ελάχιστη απόσταση της μιας των καμπυλών από την ευθεία $\epsilon : x-y=0$ .

Χρησιμοποιώ λόγω ευκολίας την : $f^{-1}(x)=x^2-2x+3 , x\geq 1$ . Για το : B(x , x^2-2x+3)

,

είναι : $d(B , \epsilon)=d(x)=\dfrac{x^2-3x+3}{\sqrt{2}}$ , με : $d'(x)=\dfrac{2x-3}{\sqrt{2}}$ ... άρα : $d_{min}=\dfrac{3}{4\sqrt{2}}$ ,

επομένως η ελάχιστη απόσταση των καμπυλών είναι το : $2d_{min}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ .

Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών παραστάσεων

Μέλη σε σύνδεση