Απορίες

miltosk · #1

Καλησπέρα. Δύο διαφορετικές απορίες:
i) Επί του θεωρήματος μοναδικού σημείου καμπής στις ανισότητες (δηλαδή αν f 2 φορές παραγωγίσιμη με μοναδικό σημείο καμπής, και $\sum_{i=1}^{n}x_i=c$ , όπου

σταθερά και x_i

πραγματικοί, τότε η παράσταση $E=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)$ παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή όταν n-1 από τις μεταβλητές της είναι ίσες-τα x_i

να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f- (*διορθώστε με αν κάνω λάθος διατύπωση*), πως θα γνωρίζω πότε η

παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή; Πρέπει να εξισώσω τις n-1 μεταβλητές και να θεωρήσω αυτή που απομένει ως μικρότερη ή ίση για το ελάχιστο (δηλαδή: $x_1=x_2=...=x_{n-1} \geq x_n$ για το ελάχιστο της Ε) και αντίστοιχα να θεωρήσω αυτήν που απομένει ως μεγαλύτερη ή ίση των άλλων (δηλαδή: $x_n \geq x_{n-1}=x_{n-2}=...=x_1$ για το μέγιστο);
Είναι σωστό αυτό; Αν όχι παρακαλώ βοηθήστε με.
ii) Αν $f,h: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ και f(f(x)-h(x))=0

για κάθε πραγματικό

μπορώ να βγάλω κάποια συμπεράσματα για την

ή για την σχέση των f,h

; (για παράδειγμα συμπεράσματα εννοώ του τύπου

σταθερή ή

όπου

σταθερά κλπ).

Christos.N · #2

Για το ii) έκανα μια σκέψη

Για διακριτό χώρο ριζών

Μια περίπτωση απλής ρίζας
Ας υποθέσουμε ότι f(x)=x+1,~h(x)=x+2

τότε

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
Δηλαδή αν η συνάρτηση

έχει μια ρίζα $\rho$ τότε υποχρεωτικά $h(x)=f(x)-\rho$

Μια περίπτωση πολλαπλών ριζών θα είχε ανάλογα αποτελέσματα
Ας υποθέσουμε ότι f(x)=x^2-1,~h(x)=x^2

τότε

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ αλλά και για h(x)=x^2-2

ανάλογα ισχύει.
Δηλαδή αν η συνάρτηση

έχει διακεκριμένες ρίζες $\rho_i$ τότε υποχρεωτικά θα υπάρχουν $h_i(x)=f(x)-\rho_i$

Οι τετριμμένη περίπτωση είναι η f(x)=0

άρα θα ισχύει για αυθαίρετη h(x)

Η περίπτωση να μην έχει η

ρίζες προφανώς αποκλείεται

Για τον συνεχή χώρο, δηλαδή γενικά για διαστήματα, ας πούμε γενικά

, που η

μηδενίζεται μπορούμε ανάλογα να θεωρούμε $h(x)=f(x)-\rho$ όπου $\rho \in A$

Το συμπέρασμα μου είναι ότι η γνώση μόνο των ριζών της

θα μας οδηγούσε σε πολύ λιτό συμπέρασμα, ότι η απλά οι f,h

θα διαφέρουν κατά κατάλληλη σταθερά. Η γνώση του τύπου της

κατασκευάζει πλήρως την

. Η γνώση της

και των ριζών της

επιλύουν το πρόβλημα για την

.
Το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή δοθέντος μιας συνάρτησης

μπορεί να βρεθεί ο τύπος της

είναι το "ζουμερό" της κατάστασης.
Αν υποθέσουμε ότι h(x)+g(x)=f(x)

τότε θα καταλήξουμε στο $f\circ g (x)=0$ το οποίο για να είναι επιλύσιμο πρόβλημα για κάθε $x \in \mathbb{R}$ πρέπει $g(x)=\rho{/}\rho\in A:=\{x/f(x)=0\}$

νομίζω σωστά επισημαίνεις γενικά

miltosk έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 14, 2020 4:53 pm
(για παράδειγμα συμπεράσματα εννοώ του τύπου σταθερή ή όπου σταθερά κλπ).

με την διαφορά ότι η

δεν είναι οποιαδήποτε σταθερή αλλά η μηδενική.

Εύχομαι να μην κούρασε η φλυαρία

#3

miltosk έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 14, 2020 4:53 pm
ii) Αν $f,h: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ και για κάθε πραγματικό μπορώ να βγάλω κάποια συμπεράσματα για την ή για την σχέση των ; (για παράδειγμα συμπεράσματα εννοώ του τύπου σταθερή ή όπου σταθερά κλπ).

Δεν μπορείς να βγάλεις απολύτως κανένα συμπέρασμα. Για παράδειγμα έστω για κάθε

είναι $f(x) \ge 0$ και $h(x) \le 0$ . Έστω ακόμη για τα θετικά

είναι

ενώ για τα αρνητικά η

είναι ότι θέλει. Λόγω του τελευταίου, δεν μπορούμε να πούμε απολύτως τίποτα για το αν η

είναι σταθερή και η

δεν έχει καμία σχέση με την

. Πλην όμως f(f(x)-h(x))= f(thetikou) = 0

.

miltosk · #4

Σας ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση και τις απαντήσεις σας.

Απορίες

Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Re: Απορίες

Μέλη σε σύνδεση