Γραμμική Αλγεβρα

TrItOs · #1

Έστω $A \in \mathbb{C}^n ^ \times ^n$ ο οποίος είναι θετικά ορισμένος. Τότε να δειχθεί ότι:
$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^- ^< ^A ^x ^, ^x ^> dx = (\sqrt{\pi})^n / \sqrt{det(A)} \quad , \quad \forall n \in \mathbb{N}$ .

Σημειώνουμε ότι:
συμβολίζουμε με $<. \text{ } , \text{ } .>$ το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον $\mathbb{C}^n ^\times ^1$ , και η μεταβλητή x στο ολοκλήρωμα είναι της μορφής $x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^T \in \mathbb{C}^n ^\times ^1$ .
Επιπλέον ένας πίνακας A καλείται θετικά ορισμένος εάν:
$\forall u \in \mathbb{C}^n ^\times ^1 (u \neq 0) : u^T A u > 0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

TrItOs έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 08, 2020 11:08 am
Έστω $A \in \mathbb{C}^n ^ \times ^n$ ο οποίος είναι θετικά ορισμένος. Τότε να δειχθεί ότι:
$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^- ^< ^A ^x ^, ^x ^> dx = (\sqrt{\pi})^n / \sqrt{det(A)}$

Γράψε σωστά την εκφώνηση.
Εχει πολλά πράγματα χωρις νόημα.
Π.χ Εχεις γράψει < ^A ^x ^, ^x ^>

που σημαίνει ότι $x\in \mathbb{C}^{n}$ αντε να πούμε στον
$\mathbb{R}^{n}$ .
Ολοκληρώνεις όμως στον $\mathbb{R}$ .
Πρέπει να υπάρχουν επιπλέον υποθέσεις για τον πίνακα.

Tolaso J Kos · #3

TrItOs έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 08, 2020 11:08 am
Έστω $A \in \mathbb{C}^n ^ \times ^n$ ο οποίος είναι θετικά ορισμένος. Τότε να δειχθεί ότι:
$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^- ^< ^A ^x ^, ^x ^> dx = (\sqrt{\pi})^n / \sqrt{det(A)}$

Τη γνωρίζω την άσκηση, αλλά την έχω δει σε αυτή τη μορφή.

Ας δηλώσουμε με $\langle \cdot, \cdot \rangle$ το εσωτερικό γινόμενο του $\mathbb{R}^m$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle \mathcal{M} = \int \limits_{\mathbb{R}^m} \exp \left( - ( \langle x, \mathcal{S} ^{-1} x \rangle )^a \right) \, {\rm d}x$
όπου $\mathcal{S}$ θετικά ορισμένος $m \times m$ πίνακας και .

Στη περίπτωση σου είναι m=1

.

Μία λύση είναι εδώ στο blog μου εν αγγλιστί.

Γραμμική Αλγεβρα

Γραμμική Αλγεβρα

Re: Γραμμική Αλγεβρα

Re: Γραμμική Αλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση