ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

G.Tsikaloudakis · #1

Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε f''(x) <0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
και $\displaystyle{f'(0) < 0}$ .
Αν η ευθεία y= ax είναι πλαγια ασύμτωτη της $\displaystyle{C_f }$ στο $\displaystyle{+ \infty }$ , να αποδείξετε ότι: a<0.
G.Tsik.
Y.Γ.
Ευχαριστώ θερμά όλους τους συναδέλφους για την υποδοχή
και το ενδιαφέρον τους για τις ασκήσεις και τα Μαθηματικα γενικότερα.
Ειδικά ευχαριστώ τον εξέρετο Μαθηματικό φίλο ,Μπάμπη Στεργίου για την θερμή υποδοχή , ακούραστο ταλαντούχο συγγραφέα , από τα βιβλία του
οποίου πολλά έχουμε διδαχθεί .

coheNakatos · #2

αποδεικνυεται οτι το οριο στο +οο της f ειναι -oo .. και επειτα για να δημιουργειται απροσδιοριστια ωστε το οριο f(x)-ax να ειναι ισο με 0 πρεπει α<0

A.Spyridakis · #3

Και μια... ψιλογεωμετρική προσέγγιση.
f ' ' (x) < 0 => f ' γν. φθίν., οπότε για x > 0 => f ' (x) < f ' (0) < 0 => f γν. φθίν. για x > 0. Οπότε για x-> +oo η ασύμπτωτη θα έχει αρνητικό συντελ. δ/νσης.

Edit: Συμπληρώνω: $x>0\Rightarrow f(x)<f(0)\Rightarrow \frac{f(x)}{x}<\frac{f(0)}{x}\Rightarrow lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}<lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(0)}{x}=0\Rightarrow \alpha <0$

G.Tsikaloudakis · #4

coheNakatos έγραψε:αποδεικνυεται οτι το οριο στο +οο της f ειναι -oo .. και επειτα για να δημιουργειται απροσδιοριστια ωστε το οριο f(x)-ax να ειναι ισο με 0 πρεπει α<0

Ναι , αλλά παρακάτω τίγίνεται;

G.Tsikaloudakis · #5

G.Tsikaloudakis έγραψε:
coheNakatos έγραψε:αποδεικνυεται οτι το οριο στο +οο της f ειναι -oo .. και επειτα για να δημιουργειται απροσδιοριστια ωστε το οριο f(x)-ax να ειναι ισο με 0 πρεπει α<0
Ναι , αλλά παρακάτω τίγίνεται;

G.Tsik.

hsiodos · #6

Μια αντιμετώπιση

Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της f στο (0,f(0)) είναι $\displaystyle{y = f{'} (0) \cdot x + f(0)}$

Η f είναι κοίλη και από το γνωστό σχόλιο του βιβλίου ισχύει $\displaystyle{f(x) \le f{'} (0) \cdot x + f(0)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f{'} (0) \cdot x + f(0)} \right) = - \infty }$ οπότε και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty }$

Η y = αx είναι πλάγια ασύμπτωτη της $\displaystyle{C_f \,\,\sigma \tau o\,\,\, + \infty }$ $\displaystyle{(\alpha \ne 0)}$ και έτσι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = a}$

Αν α > 0 τότε: $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x \cdot \frac{{f(x)}}{x}} \right) = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = + \infty }$ , άτοπο .

Άρα α < 0

Γιώργος

coheNakatos · #7

hsiodos έγραψε:Μια αντιμετώπιση

Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της f στο (0,f(0)) είναι $\displaystyle{y = f{'} (0) \cdot x + f(0)}$

Η f είναι κοίλη και από το γνωστό σχόλιο του βιβλίου ισχύει $\displaystyle{f(x) \le f{'} (0) \cdot x + f(0)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f{'} (0) \cdot x + f(0)} \right) = - \infty }$ οπότε και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty }$

Η y = αx είναι πλάγια ασύμπτωτη της $\displaystyle{C_f \,\,\sigma \tau o\,\,\, + \infty }$ $\displaystyle{(\alpha \ne 0)}$ και έτσι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = a}$

Αν α > 0 τότε: $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x \cdot \frac{{f(x)}}{x}} \right) = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = + \infty }$ , άτοπο .

Άρα α < 0

Γιώργος

Αυτη τη λυση εδωσα (Προς απαντηση στο παραπανω

)

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Μέλη σε σύνδεση